|
|
#2
29 กันยายน 2001, 15:14
|
|||
|
|||
ถ้าเป็นตอนนี้ นึกได้วิธีเดียวคือการ integrate ครับ
รวมพื้นที่เข้าด้วยกัน มันก็จะกลายเป็นปริมาตรครับ แต่คุ้น ๆ ว่าเคยเห็นวิธีอื่น ๆ เช่น เรขาคณิตนะครับ 
|
|
#3
29 กันยายน 2001, 15:22
|
||||
|
||||
ยังไม่ได้คิดหาวิธีทางเรขาคณิตเช่นกัน ใช้แต่ Calculus
ปริมาตรของปิรามิด จากรูป ให้ A(h) เป็นพื้นที่หน้าตัดของปิรามิดที่ระยะความสูง h ใดๆ (วัดจากจุดยอดลงมา)  เป็นปิรามิด รูปหน้าตัดจึงเป็นรูปคล้าย ที่จุดสมนัยกันอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน \ A(h) ต h2 หรือ A(h) = k h2ปริมาตรของปิรามิด = 0๒H A(h) dh = 0๒H k h2 dh = kH3 / 3 = (1/3) * kH2 * H = (1/3) * พื้นที่ฐาน * สูง 
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson.
|
|
#5
01 ตุลาคม 2001, 01:12
|
|||
|
|||
|
ผมว่า ถ้าเป็นปิรามิดฐาน 4 เหลี่ยมจัตุรัสนี่ คิดกันได้ไม่น่าจะยากนะครับ (คิดจาก integrate นั่นแหละ) จากนั้น เราก็พิจารณาในกรณีของปิรามิดที่มีรูปหน้าตัดใดๆโดยตัดมันเป็นปิรามิดฐาน 4 เหลี่ยมจัตุรัสอันเล็กๆ มันก็น่าจะได้นะ
หยั่งงี้ง่ายกว่ามั้ยครับ
|
|
#6
02 ตุลาคม 2001, 08:26
|
||||
|
||||
|
คิดว่าความยากง่ายพอๆกันครับ เพราะการหาปริมาตรของปิรามิดที่มีฐานเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส โดยการอินทิเกรตจะใช้วิธีเดียวกันกับที่ผมใช้
สำหรับคำอธิบายเพิ่มเติมในส่วนที่ไม่เกี่ยวข้องกับ Calculus ขอให้ลองไปพิจารณาทฤษฏีบทต่อไปนี้ (ไปหาวิธีพิสูจน์นั่นแหละ)
 จะสามารถสรุปได้ว่า A(h) ต h2 หรือ A(h) = k h2ปริมาตรทรงกลมเรามาดูวิธีการหาปริมาตรทรงกลมที่อาร์คิมิดิสใช้กันดีกว่า วิธีที่เขาใช้ก็เป็นการอินทิเกรตอีกรูปแบบหนึ่ง สมมติให้ทรงกลมที่ต้องการหามีรัศมี r สร้างรูปทรงกระบอกและรูปทรงกรวยมาล้อมรอบทรงกลมของเรา (จากรูปเป็นภาพหน้าตัด ถ้าเราหมุนสี่เหลี่ยม NABS และสามเหลี่ยม NCS รอบแกน NS จะได้รูปทรงกระบอกและรูปทรงกรวยตามลำดับ ) ตัดวัตถุทั้งสามตามแนวที่ได้แรเงาไว้ ตำแหน่งที่ตัดมีระยะห่างจากจุด N เป็น x และความกว้างของแถบที่แรเงาคือ Dx จะได้ปริมาตรโดยประมาณตามแนวที่ตัดออกมา แบ่งตามวัตถุทั้งสามได้ดังนี้
(px(2r - x) Dx + px2 Dx) 2r = 4pr2x Dx = 4 x(pr2 Dx) จะสังเกตได้ว่าผลรวมของโมเมนต์ที่ได้เป็น 4 เท่าของโมเมนต์ของชิ้นที่มาจากทรงกระบอก (ชิ้นนี้ยังวางไว้ที่เดิม ไม่ได้เคลื่อนย้ายไปไหน) รอบจุด N เช่นกัน หากเราทำการตัด เริ่มจากตำแหน่ง N ไปจนถึง S โดยให้ได้ Dx มีขนาดเล็กมากๆ และเคลื่อนย้ายเฉพาะชิ้นที่เป็นของทรงกลมและทรงกรวยไปวางไว้ที่ตำแหน่ง T จะได้ว่า 2r (ปริมาตรทรงกลม + ปริมาตรทรงกรวย) = 4r (ปริมาตรทรงกระบอก) หมายเหตุ: เนื่องจากชิ้นส่วนของวัตถุทรงกระบอกยังวางไว้ที่เดิม การคิดโมเมนต์ของทรงกระบอก จึงคิดจากจุดศูนย์กลางมวล เนื่องจาก อาร์คิมิดิส ได้คิดมาก่อนหน้านี้แล้วว่า ปริมาตรทรงกรวย = 8pr3 / 3 และ ปริมาตรทรงกระบอก = 2pr3 แทนค่าลงไปจะได้ 2r (ปริมาตรทรงกลม + 8pr3 / 3) = 8pr4นั่นคือ ปริมาตรทรงกลม = 4pr3 / 3 สิ่งที่อาร์คิมิดิสค้นพบอีกอย่างนั่นคือ หากทรงกระบอก ทรงกลม และทรงกรวยมีเส้นผ่านศูนย์กลางและความสูงเท่ากัน จะได้ว่า ปริมาตรทรงกระบอก : ปริมาตรทรงกลม : ปริมาตรทรงกรวย = 3 : 2 : 1 ช่างสวยงามอะไรเช่นนี้ !!! 
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. 02 ตุลาคม 2001 10:53 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 5 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ TOP
|
|
#7
08 ตุลาคม 2001, 15:53
|
||||
|
||||
|
วารสารฉบับเดือนตุลาคมของ NRICH Online Maths Club มีลงเรื่องปริมาตรของปิรามิดและทรงกรวยด้วยแฮะ สงสัยออกบทความเพื่อมาตอบคำถามของเว็บเรา
 ใครสนใจก็ไปอ่านกันได้ที่ Volume of a Pyramid and a Cone
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson.
|
|
#10
30 เมษายน 2002, 11:29
|
||||
|
||||
ใช่แล้วครับ px (2r - x) Dx ก็คือปริมาตรทรงกระบอกที่มี ึx(2r - x) เป็นค่ารัศมีนั่นเอง
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson.
|
  |
|
|
