เพชรยอดมงกุฎ ปี 53

[banker]

$ \because \ \ 1011121314...9899 \ $มีผลรวมเลขโดด = 855

ซึ่งหารด้วย 3 ลงตัว และหารด้วย 9 ลงตัว (หารด้วย 27 ไม่ลงตัว หารด้วย 64 ไม่ลงตัว) ดังนั้น

$N = 3^2 n$

$m = 2 $

ตอบ ข้อ 2

[กิตติ]

รบกวนModeratorย้ายกระทู้นี้ไปไว้ห้องข้อสอบมัธยมปลายให้ถูกหมวดหมู่ดีกว่าครับ

[banker]

ให้ $ \ 0.00000000002 = x, \ \ 0.00000000004 = 2x$

$A = \frac{2+2x}{(1+2x)^2 + 2 +2x} = \frac{2+2x}{4x^2+6x+3}$

$B = \frac{2+x}{(1+x)^2 + 2 +x} = \frac{2+x}{x^2+3x+3}$

$B - A = \frac{2+x}{x^2+3x+3} - \frac{2+2x}{4x^2+6x+3} = \frac{2x^3+6x^2+3x}{(x^2+3x+3)(4x^2+6x+3)}$

$ \because x > 0 \ \ \to \ \frac{2x^3+6x^2+3x}{(x^2+3x+3)(4x^2+6x+3)} > 0 $

นั่นคือ $B > A$

แก่แล้ว ขอพักก่อน


มาต่อ


$P = \frac{2^{100} -1}{2^{101}-1} \ $ ..........(1)

$ Q = \frac{3^{100}-1}{2\cdot 3^{100} -1} \ $....(2)

ให้ $ \ 3^{100} = m, \ 2^{100} = n $

$Q - P = \frac{m-1}{2m-1} - \frac{n-1}{2n-1} $

$ = \frac{(m-1)(2n-1)-(n-1)(2m-1)}{(2n-1)(2m-1)}$

$ = \frac{(2mn-m-2n+1)-(2mn-n-2m+1)}{(2n-1)(2m-1)}$

$ = \frac{m-n}{(2n-1)(2m-1)}$

$ \because \ m > n \ \ \to \ \frac{m-n}{(2n-1)(2m-1)} > 0$

$ Q > P$


ตอบ ข้อ 3 A<B และ P<Q

[Bally]

ผมยังเหลือข้อที่ทำไม่ได้อยู่ ช่วยหน่อยครับ
ข้อ 4 ผมงงตรง f(1) $\not=$ f(2) $\not=$ f(3) $\not=$ f(4) $\not=$ f(1)
ข้อ 7 แก้สมการไม่ถูกเลย เจอแบบนี้ TT
ข้อ 21 ผมหา BD ไม่ได้
ข้อ 23 ทำไม่เป็น
ข้อ 24 ผมไม่รูว่า C อยู่ตรงไหน tan ถึงจะมากที่สุด
ข้อ 26 ทำไม่เป็น
ข้อ 28 ผมไม่แน่ใจว่าข้อ ก. ผิดตรงไหน เฉลยในหนังสือตอบข้อ 3
ข้อ 29 ทำไม่เป็น
ข้อ 37 ทำไม่เป็น
ข้อ 39 ทำไม่เป็น

[Keehlzver]

ผมชอบข้อนี้มากครับ อยากดูวิธีที่สั้นและกระชับกว่านี้ครับ

39.
1.เพราะว่า $f(1),f(i) \in \mathbb{R}$ ต้องได้ว่า $4+i+\alpha+\gamma$ และ $-4+(\alpha-1)i+\gamma \in \mathbb{R}$ ด้วย

2.เพราะว่า $\alpha,\gamma$ $\in \mathbb{C}$ ดังนั้นต้องมี $a,b,c,d$ ที่ทำให้
$\alpha=a+bi$ และ $\gamma=c+di$

3.จาก 1. ต้องได้ $4+a+c+(b+d+1)i$ และ $-b+c-4+(a+d-1)i\in \mathbb{R}$ ด้วย
ซึ่งบังคับว่า $b+d=-1$ และ $a+d=1$

4.โจทย์ต้องการหา $|\alpha|+|\gamma|$ น้อยสุด แต่จากอสมการสามเหลี่ยมในจำนวนเชิงซ้อน
เรามี $|\alpha|+|\gamma| \geq |\alpha+\gamma|$ ซึ่งจะเกิดสมการก็ต่อเมื่อ Re$(\alpha \overline{\gamma})=|\alpha||\gamma|$ หรือ $\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}=ac+bd$
แต่ว่าจากเอกลักษณ์ $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$
ทำให้ได้เงื่อนไขเพิ่มขึ้น 2 เงื่อนไขคือ $ad-bc=0$ และ $ac+bd\geq 0$

5.ถึงตรงนี้เรามีเงื่อนไข 4 เงื่อนไขคือ
$b+d=-1$
$a+d=1$
$bc=ad$
$ac+bd\geq 0$
แก้ออกมา จะได้ว่า $(a,b,c,d)=(-r+1,-r-1,\frac{r^2-r}{r+1},r)$
โดยที่ $-1\leq r\leq0 $

6.อสมการสามเหลี่ยมดังกล่าวจะเป็นสมการได้โดยผ่านเงื่อนไข 4 เงื่อนไข
จึงเป็นการเพียงพอที่จะดูค่าต่ำสุดที่เกิดกับ $|\alpha+\gamma|=\sqrt{(\frac{r-1}{r+1})^2+1}$
ภายใต้เงื่อนไข $-1 \leq r \leq 0$
จากเงื่อนไขนี้เราได้ว่า $(\frac{r-1}{r+1})^2 \geq 1$ เพราะมันสมมูลกับ $r\leq 0$
เราต้องการค่าขีดสุด ดังนั้นเลือก $r=0$ ได้ค่าสูงสุด $\sqrt{2}$ เกิดเมื่อ $(a,b,c,d)=(1,-1,0,0)$ หรือ $(\alpha,\gamma)=(1-i,0)$

[lek2554]

ผมคิดแบบนี้ครับ

$|\alpha|+|\gamma|=\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}=\sqrt{(d-1)^2+(d+1)^2}+\sqrt{c^2+d^2}$

ค่าตำสุดของ $|\alpha|+|\gamma|$ เกิดเมื่อ $c=0 ; d= 0$

[Bally]

ในข้อสอบนี่มีเกินหลักสูตรบ้างไหมครับ
แล้วต้องได้คะแนนประมาณเท่าไหร่ถึงจะ
ได้เข้ารอบไปแข่งในตอนบ่ายครับ

[Keehlzver]

เยี่ยมครับ ท่านเล็กปีเถาะ

เรื่องคะแนน ต่ำสุดจะอยู่ประมาณ 32/40 ครับ ลองกะๆดูเอาครับ แต่ละปีไม่เหมือนกัน ส่วนเรื่องเกินหลักสูตรหรือไม่นั้น ตอบว่าไม่ครับ เพราะวัดกันที่ความ tricky ของโจทย์ (บางข้อ)

ว่าแต่คุณเข้าใจความหมายของคำว่า Weak, Strong, Tricky, ถึก หรือยังครับ?

[Bally]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

เยี่ยมครับ ท่านเล็กปีเถาะ

เรื่องคะแนน ต่ำสุดจะอยู่ประมาณ 32/40 ครับ ลองกะๆดูเอาครับ แต่ละปีไม่เหมือนกัน ส่วนเรื่องเกินหลักสูตรหรือไม่นั้น ตอบว่าไม่ครับ เพราะวัดกันที่ความ tricky ของโจทย์ (บางข้อ)

ว่าแต่คุณเข้าใจความหมายของคำว่า Weak, Strong, Tricky, ถึก หรือยังครับ?

Weak อ่อนแอ
Strong แข็งแรง
Tricky มีเล่ห์เหลี่ยม
ถึก ก็ถึก คล้ายๆ กับคำว่า Strong

ใช่แบบนี้หรือเปล่าครับ

[-InnoXenT-]

มาเฉลยข้อที่เหลือให้ครับ

ข้อ 4.

ข้อนี้ผมงงคำถาม

ข้อ 6.

ประพจน์แรกไม่เป็นจริง เมื่อ
$a < 0, b > 0$ และ $\left| a\,\right| > \left| b\,\right|$
ประพจน์ที่สองไม่เป็นจริง เมื่อ $a = 0$
ประพจน์ที่สามไม่เป็นจริง เมื่อ $a < 0$
ประพจน์ที่สี่เป็นจริง

ตอบข้อ 1.

ข้อ 7.

จัดรูปข้างใน $\log$ ฟังก์ชันภายในฟังก์ชัน $\log$ ต้องมีค่ามากกว่า $0$
$\sin{(\pi x)}\sin{(2\pi x)}\sin{(4\pi x)}\sin{(8\pi x)}$
$= 64\sin^4{(\pi x)}\cos^3{(\pi x)}\cos^2{(2\pi x)}\cos{(4\pi x)} > 0$
จากพจน์แรก และพจน์ที่สาม จะได้ $x \neq 0,\pm\frac{1}{4}, \pm\frac{3}{4}$

กรณีที่หนึ่ง $\cos^3{(\pi x)} > 0$ และ $\cos{(4\pi x)} > 0$
$\cos^3{(\pi x)} > 0 \rightarrow x\in (\frac{3}{2},2)\cup (0,\frac{1}{2})$
$\cos{(4\pi x)} > 0 \rightarrow x\in (\frac{3}{8},\frac{1}{2})\cup (0,\frac{1}{8})$
ดังนั้น จากกรณีที่หนึ่งจะได้ $x \in (0,\frac{1}{8})\cup (\frac{3}{8},\frac{1}{2})$

กรณีที่สอง $\cos^3{(\pi x)} < 0$ และ $\cos{(4\pi x)} < 0$
$\cos^3{(\pi x)} < 0 \rightarrow x\in (\frac{1}{2},\frac{3}{2})$
$\cos{(4\pi x)} < 0 \rightarrow x\in (\frac{1}{8},\frac{3}{8})\cup (\frac{5}{8},\frac{7}{8})$
เมื่อหักลบจาก คำตอบจากพจน์ที่สาม และพจน์แรก และ นำมา intersect กันจะเหลือ
$x \in (\frac{5}{8},\frac{3}{4})\cup (\frac{3}{4},\frac{7}{8})$

ตอบข้อ 1.

ข้อ 8.

ข้อ 1. จะได้ $\frac{14}{36}$
ข้อ 2. จะได้ $\frac{7}{36}$
ข้อ 3. นี่ไม่ต้องคิดเพราะว่า $7$ เป็นจำนวนเฉพาะตัวหนึ่ง ข้อ 3. ย่อมน้อยกว่าข้อ 1. แน่นอน
ข้อ 4. จะได้ $\frac{12}{36}$
ตอบข้อ 1.

ข้อ 14.

$ab < 0$
ข้อ 1. $(a-b)^2 < (a+b)^2 \rightarrow -2ab < 2ab \rightarrow ab > 0$ ผิด
ข้อ 2. $(a-b)^2 = (a+b)^2 \rightarrow ab = 0$ ผิด
ข้อ 3. $(a-b)^2 > (a+b)^2 \rightarrow ab < 0$ ถูก
ข้อ 4. แทนค่า $a = 1, b= -1$ ก็ผิดแล้ว
ตอบข้อ 3.

ข้อ 15.

สังเกตจุดผิดที่บางส่วนจะได้
ข้อ 4. ผิดที่ $a^4 < -a^4$
ข้อ 2. ผิดที่ $a < \frac{1}{a}$
ข้อ 1. ผิดที่ $-a^4 < a^3$
ตอบข้อ 3.
ดูจนมึนเลย ข้อนี้

ข้อ 19.

$\cos{(\arctan{2}+\arctan{3})} = \cos{(\arctan{2})}\cos{(\arctan{3})}-\sin{(\arctan{2})}\sin{(\arctan{3})}$
$= \frac{1}{\sqrt{5}}\frac{1}{\sqrt{10}}-\frac{2}{\sqrt{5}}\frac{3}{\sqrt{10}}$
$= -\frac{1}{\sqrt{2}}$ ข้อ ก. ถูก
$\sin{(\arctan{2}+\arctan{3})} = \sin{(\arctan{2})}\cos{(\arctan{3})}+\cos{(\arctan{2})}\sin{(\arctan{3})}$
$= \frac{2}{\sqrt{5}}\frac{1}{\sqrt{10}}+\frac{1}{\sqrt{5}}\frac{3}{\sqrt{10}}$
$= \frac{1}{\sqrt{2}}$ ข้อ ข. ถูก
ตอบข้อ 1.

แค่นีก่อนละกัน เดี๋ยวมาต่อ

[น้องกร]

ข้อ16. ผมคิดได้ผิดทั้ง2ข้อนะ ไม่รู้มีใครคิดได้เหมือนผมบอกด้วย

[<KAB555>]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

Attachment 9370

$ \because \ \ 1011121314...9899 \ $มีผลรวมเลขโดด = 855

ซึ่งหารด้วย 3 ลงตัว และหารด้วย 9 ลงตัว (หารด้วย 27 ไม่ลงตัว หารด้วย 64 ไม่ลงตัว) ดังนั้น

$N = 3^2 n$

$m = 2 $

ตอบ ข้อ 2

จะรู้ได้อย่างไรคะว่า N หารด้วย 27 ไม่ลงตัว มีหลักเกณฑ์อะไรมั้ยคะ

[tngngoapm]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ <KAB555>

จะรู้ได้อย่างไรคะว่า N หารด้วย 27 ไม่ลงตัว มีหลักเกณฑ์อะไรมั้ยคะ

ทฤษฎีการหาเศษจากการหารด้วย$27$
1) การประเมินขั้นต้น(First order evaluation)
เป็นการประเมินว่าเศษที่ได้จากการหารจำนวน $N$ ด้วย $27$ ว่าควรจะอยู่กลุ่มไหน แต่ไม่สามารถบอกได้ว่าเศษมีค่าเท่าไร? เริ่มกันเลย อันดับแรกกำหนดให้ $N\in I^{+}$ และเราต้องการรู้ว่า $N$ หารด้วย $27$ เหลือเศษเท่าไร ให้ทำดังนี้ ให้นำเลขโดดในแต่ละหลักของ$N$ มาบวกกัน แล้วหารด้วย $27$ ดูว่าเหลือเศษเท่าไร นำเลขโดดของเศษที่หาได้มาบวกกันอีกแล้วดูว่าได้เท่าไร ค่าที่ได้จะแบ่งออกเป็น $9$ กลุ่ม คือ
กลุ่มที่1-ค่า0หรือ9 จะสรุปได้ว่าจำนวน $N$ หารด้วย $27$ จะเหลือเศษเป็น 0,9,18 ตัวใดตัวหนึ่งใน3ตัวนี้แน่นอน
กลุ่มที่2-ค่า1 จะสรุปได้ว่าจำนวน $N$ หารด้วย $27$ จะเหลือเศษเป็น 1,10,19 ตัวใดตัวหนึ่งใน3ตัวนี้แน่นอน
กลุ่มที่3-ค่า2 จะสรุปได้ว่าจำนวน $N$ หารด้วย $27$ จะเหลือเศษเป็น 2,11,20 ตัวใดตัวหนึ่งใน3ตัวนี้แน่นอน
กลุ่มที่4-ค่า3 จะสรุปได้ว่าจำนวน $N$ หารด้วย $27$ จะเหลือเศษเป็น 3,12,21 ตัวใดตัวหนึ่งใน3ตัวนี้แน่นอน
กลุ่มที่5-ค่า4 จะสรุปได้ว่าจำนวน $N$ หารด้วย $27$ จะเหลือเศษเป็น 4,13,22 ตัวใดตัวหนึ่งใน3ตัวนี้แน่นอน
กลุ่มที่6-ค่า5 จะสรุปได้ว่าจำนวน $N$ หารด้วย $27$ จะเหลือเศษเป็น 5,14,23 ตัวใดตัวหนึ่งใน3ตัวนี้แน่นอน
กลุ่มที่7-ค่า6 จะสรุปได้ว่าจำนวน $N$ หารด้วย $27$ จะเหลือเศษเป็น 6,15,24 ตัวใดตัวหนึ่งใน3ตัวนี้แน่นอน
กลุ่มที่8-ค่า7 จะสรุปได้ว่าจำนวน $N$ หารด้วย $27$ จะเหลือเศษเป็น 7,16,25 ตัวใดตัวหนึ่งใน3ตัวนี้แน่นอน
กลุ่มที่9-ค่า8 จะสรุปได้ว่าจำนวน $N$ หารด้วย $27$ จะเหลือเศษเป็น 8,17,26 ตัวใดตัวหนึ่งใน3ตัวนี้แน่นอน
ตัวอย่างเช่น ถ้าอยากรู้ว่า $123456789$ หารด้วย $27$ เหลือเศษเท่าไร ให้นำเลขโดดในแต่ละหลักมาบวกกัน $1+2+3+4+5+6+7+8+9=45$ แล้ว คำนวณตามขั้นตอนดังนี้
1.นำ $45$ หารด้วย $27$ เหลือเศษ $18$
2. จาก $18$ นำเลขโดดมาบวกกันอีกได้ $1+8=9$
ได้ค่า$9$ แสดงว่าเศษจะอยู่ในกลุ่ม1 คือเศษอาจเป็น 0(หารลงตัว) หรือ 9 หรือ 18 ก็ได้
................................................................................................................
2) การประเมินขั้นที่2(Second order evaluation)
การประเมินขั้นนี้จะสามารถบอกได้แน่นอนเลยว่าเศษที่ได้จากการหาร $N$ ด้วย $27$ เหลือเศษเท่าไร แต่ใช้เวลาคำนวณและมีรายละเอียดมากกว่าการประเมินขั้นต้น
บทเฉพาะ
ถ้า $N$ เป็นจำนวนที่เกิดจากลำดับเลขคณิต2หลักที่มีผลต่างร่วม $d$ มาเรียงต่อกันจากซ้ายไปขวา เช่น
$N=2022242628$ เกิดจากลำดับเลขคณิต2 หลักคือ $20,22,24,26,28$ ซึ่งมีผลต่างร่วม $d=2$ มาเรียงต่อกัน
การหาเศษที่เกิดจากการหารด้วย $27$ หาได้ทางอ้อมจาก(ผลรวมของลำดับเลขคณิตนั้น)(10)-(9)(d)(จำนวนเต็มที่มากที่สุดที่ไม่เกินค่าของจำนวนพจน์หารด้วย3)...........แต่มีเงื่อนไขคือจำนวนพจน์หารด้วย3แล้วเศษต้องไม่เท่ากับ1
........$$r=(\sum_{n = 1}^{n} a_{n})(10)-(9d)\bmatrix{\frac{n}{3} },n\not\equiv 1(mod 3) $$
เมื่อ $r$=ค่าลดทอนที่จะนำใช้ไปหาเศษจากการหาด้วย $27$
$a_{n}$=ลำดับเลขคณิต2หลักที่เรียงกันเป็นจำนวน $N$
$d$=ผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิต 2 หลัก
$\bmatrix{\frac{n}{3} }$=จำนวนเต็มที่มากที่สุดที่ไม่เกิน$\frac{n}{3} $
$n$=จำนวนพจน์ของลำดับเลขคณิต2หลัก
ในกรณี $N=1011121314....979899$ หาค่า $r=?$.....
$n=90$........90 หาร 3 ได้เศษ0($\not= 1)$
$$r=(\sum_{n = 1}^{90} a_{n})(10)-(9)(1)\bmatrix{\frac{90}{3} } $$
$$r=(\frac{90}{2}) (10+99)(10)-(9)(1)\bmatrix{30 } $$
$$r=(45) (109)(10)-(9)(1)(30) $$
$$r=(45) (109)(10)-(9)(1)(30) $$
$$r=48780 $$
.............................................
นำ $48780$ มาหารด้วย $27$ ได้เศษ $18$...(1011121314...9899 หารด้วย 27 เหลือเศษ 18)
สรุป $1011121314...9899\equiv 48780 (mod 27)\equiv 18 (mod 27)$
แล้วยังมีบททั่วไปที่ใช้หาเศษจากการหารNด้วย27เมื่อ Nป็นจำนวนเต็มบวกใดๆอีกครับ เนื้อที่ไม่พอ

[<KAB555>]

ขอบคุณ คุณ tngngoapm มากๆค่ะ

ขอรบกวนถามข้อ 24 ,28 ,37
24. ให้ O,A,B เป็นจุดที่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน โดยที่ OA=AB=2 หน่วย $\ell $ เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด O และ ทำมุม 60 องศา กับ OB ถ้า C เป็นจุดบน $\ell $ จงหาว่า tan ACB ที่มีค่ามากที่สุดที่เป็นไปได้มีค่าตรงกับข้อใด
1. $\frac{\sqrt{3} }{6} $
2. $\frac{\sqrt{3} }{3} $
3. $\frac{\sqrt{3} }{2\sqrt{2} } $
4. $\frac{\sqrt{3} }{-3+4\sqrt{2} } $
28. ให้ f เป็นฟังก์ชันที่กำหนดโดย $f(x)=\frac{1}{1+|x|}+ \frac{1}{1+|x-2|}$ ข้อใดถูก
1. โดเมนของ f คือ $\mathbb{R} $
2. เรนจ์ของ f คือ $\mathbb{R^+} $
3. มี $x\in \mathbb{R} $ ที่ทำให้ $f(x)=\sqrt{2}$
4. มี $x\in \mathbb{R} $ ที่ทำให้ $f(x)=\sqrt{3}$
37. ให้ f เป็นพหุนามที่สอดคล้องกับ $\lim_{h \to 0}\frac{f(x-3h)-f(x+3h)}{h} =-3x^2 $ และ f(1)=2 แล้ว f(2) มีค่าตรงกับข้อใด
1. -1
2. 1
3. $\frac{-13}{3} $
4. $\frac{13}{3} $

[tngngoapm]

ข้อ 24 น่าสนใจนะครับ ข้อสอบถือว่ายากใช้วัดนักเรียนหัวกะทิจริงๆ.....ลองมาแลกเปลี่ยนแนวคิดกันดูครับ
หมายเหตุ:$OA=AB=2$หน่วย