Maximum and minimum value

[PURE MATH]

1. Find the maximum value of the following integral
$\int_{0}^{\infty}\,e^{-x}sintxdx $
2. Find the minimum value of $\int_{0}^{\pi }\,(asinx+bsin2x+csin3x-x)^2dx $
3. Find the minimum value of $\int_{0}^{\pi }\,|cosx-a|sinxdx $

ถ้าเจอโจทย์แนว นี้ ควรทำอย่างไรดีอ้ะครับ ช่วยแนะนำหน่อยครับ

[Amankris]

No_1

$\displaystyle\int e^{-x}\sin tx\,dx=-\dfrac{e^{-x}(t\cos tx+\sin tx)}{1+t^2}+C$

$\displaystyle\int_0^\infty e^{-x}\sin tx\,dx=\dfrac{t}{1+t^2}\le\dfrac{1}{2}$

$\displaystyle\int_0^\infty e^{-x}\sin x\,dx=\dfrac{1}{2}$

No_2

$\displaystyle\int_0^\pi(a\sin x+b\sin2x+c\sin3x-x)^2\,dx=\dfrac{(a^2+b^2+c^2)\pi}{2}+\dfrac{\pi^3}{3}-2a\pi-\dfrac{2c\pi}{3}\ge\dfrac{\pi}{9}(3\pi^2-20)$

$\displaystyle\int_0^\pi(2\sin x+\dfrac{2}{3}\sin3x-x)^2\,dx=\dfrac{\pi}{9}(3\pi^2-20)$

No_3

$\displaystyle\int|\cos x-a|\sin x\,dx=-\dfrac{(\cos x-a)|\cos x-a|}{2}+C$

$\displaystyle\int_0^\pi|\cos x-a|\sin x\,dx=\dfrac{(1+a)|1+a|+(1-a)|1-a|}{2}\ge1$

$\displaystyle\int_0^\pi|\cos x|\sin x\,dx=1$

[PURE MATH]

ขอบคุณมากนะครับ ที่ช่วยแสดงวิธีทำ แต่ผม ไม่เข้าใจเลยอ้ะครับ T T ไม่รู้จะเริ่มยังไงด้วย

[gools]

ข้อ 1. integrate ตรงๆ เลยครับ ลองใช้ by parts หรือลองเดาดูจากการคำนวณ $\frac{d}{dx} e^{-x}\sin(tx)$ กับ $\frac{d}{dx} e^{-x}\cos(tx)$

ข้อ 2. คงต้องให้คุณ Amanris มาอธิบายเพิ่มแล้วครับเพราะผมก็ไม่เข้าใจเหมือนกัน
ส่วนตัวผมใช้ application ของ dominated convergence theorem ลองดู theorem 4.4.3 ใน link นี้ดูครับ http://www.maths.tcd.ie/~richardt/MA2224/MA2224-ch4.pdf

condition จะค่อนข้างเยอะ แต่เรากำลัง integrate ฟังก์ชันต่อเนื่องบน bounded interval เลยทำให้ค่าไม่ลู่ออก(หรือที่ในนั้นเรียกว่า integrable) ดังนั้นถ้าเรานิยาม
ให้ $f(x,a)$ เป็น integral ในข้อสองและ fix $b,c$
นิยาม $f(x,b),f(x,c)$ คล้ายๆกัน
ทฤษฎีนี้บอกว่าเราสามารถหา $\frac{d}{da} f(x,a)$ ได้โดยการหาอนุพันธ์ข้างใน integral ได้เลย
จากข้างบนทำให้เราสามารถหาคำตอบของสมการ $\frac{d}{da} f(x,a)=0,\frac{d}{db} f(x,b)=0,\frac{d}{dc} f(x,c)=0$ หาค่า $a,b,c$ ออกมาแล้วใส่กลับเขาไปแล้ว integrate เพื่อหาค่าต่ำสุด (ไม่มีค่าสูงสุดนะครับ ลองสังเกตว่าทำไม)
integrate จะค่อนข้างยุ่งยากหน่อย ให้ใช้ $\int_0^{\pi} \sin(mx)\sin(nx) dx =0$ ทุกๆจำนวนเต็ม $m,n$ ที่ $m \neq n$ จะช่วยได้เยอะครับ
เป็นวิธีที่ไม่ค่อยสวยเท่าไหร่ต้องขออภัยด้วย

[Amankris]

ข้อสอง ผมก็อินทิเกรตตรงๆนะครับ ไม่ได้ใช้อะไรซับซ้อนเลย เพียงแต่ว่าต้องอินทิเกรตตรีโกณแม่นๆหน่อย

แล้วก็ตัวอินทิกรัลไม่จำกัดเขตนี่ใหญ่มาก แต่เมื่อจำกัดช่วงแค่นั้น ทำให้พจน์อื่นๆหายไปเหลือแค่ที่เห็นนั่นละครับ

[gools]

เข้าใจละครับ

แต่คิดว่าน่าจะตกเทอม $b\pi$ ไปนะครับ

[t.B.]

มีเทคนิค complexifying integral มาแนะนำครับ แปลง cos,sin ให้อยู่ในรูป e แล้วไป integrate exponential แทน ถ้าไม่ใช้ by part

ดูตัวอย่างได้ที่
http://en.wikibooks.org/wiki/Calculu..._Complexifying
http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=511534

[PURE MATH]

ขอบคุณทุกๆท่านมากๆ ครับ