ฟังก์ก่อกำเนิด รูปทั่วไปรูปหนึ่ง

[แม่ให้บุญมา]

จากโจทย์ที่มีคนถามมาใน กลุ่มคณิตศาสตร์
$1\leqslant x1,x2,..,xp\leqslant 6$ ให้หาผลลัพท์ของ
x1+x2++..+xp = k
จะได้รูปสมการฟังก์ชันก่อกำเนิดเป็นดังนี้
$(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^p$
=$x^p(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)^p$
=$x^p(\frac{1-x^6}{1-x})^p$
=$x^p[1-px^6+\binom{p}{2}x^{12}++(-1)^r\binom{p}{r}x^{6r}++][1+\binom{p}{1}x+\binom{p+1}{2}x^2++\binom{p+r-1}{r}x^r++]$
=$x^p+\binom{p}{1}x^{p+1}+\binom{p+1}{2}x^{p+2}++\binom{p+4}{5}x^{p+5} +$

$[\binom{p+5}{6}-p]x^{p+6} +[\binom{p+6}{7}-p^2]x^{p+7}++[\binom{p+10}{11}-p\binom{p+4}{5}]x^{p+11} +$

$[\binom{p}{2}+p\binom{p+5}{6}+\binom{p+11}{12}]x^{p+12} +[\binom{p+12}{13}-\binom{p+6}{7}p+p\binom{p}{2}]x^{p+13}++[\binom{p+16}{17}-\binom{p+10}{11}p+\binom{p+4}{5}\binom{p}{2}]x^{p+17} +$
$[\binom{p+17}{18}-\binom{p+10}{11}p+\binom{p+4}{5}\binom{p}{2}]x^{p+18} +[\binom{p+18}{19}-\binom{p+12}{13}p+\binom{p+6}{7}\binom{p}{2}-p\binom{p}{3}]x^{p+19}+
+[\binom{p+22}{23}-\binom{p+16}{17}p+\binom{p+10}{11}\binom{p}{2}-\binom{p+4}{5}\binom{p}{3}]x^{p+23} ++$

ถ้าให้ k=24, p=5 จะได้ผลลัพท์ เท่ากับ สัมประสิทธิ์ของ $x^{p+19}$ เมื่อแทนค่า p=5 ได้เป็นตัวเลขออกมา
ถ้าผิดช่วยแย้งด้วยนะครับ