ขึ้นบันได ได้กี่แบบครับ !!!!!

[LOSO]

บ้าน 2 ชั้น หลังหนึ่ง มีบันไดจากชั้นล่างขึ้นชั้นบน 10 ขั้น ถ้าเจ้าของบ้านจะขึ้นบันไดจากชั้นล่างขึ้นชั้นบน จะขึ้นได้ทั้งหมดกี่แบบครับ โดยมีเงื่อนไขว่าก้าวได้ครั้งละไม่เกิน 3 ขั้นบันได

[TOP]

สมมติว่มีบันได $n$ ขึ้น โดยที่ $n > 3$
เราสามารถแบ่งวิธีขึ้นบันได้ได้เป็น 3 กลุ่มใหญ่คือ

1. ก้าวแรกเดินขึ้นไป 1 ขั้น เหลือขั้นบันไดอีก $n-1$ ขั้น จำนวนวิธีเดินต่อจากนี้มีค่าเท่ากับ จำนวนวิธีเดินขึ้นบันไดที่มี $n-1$ ขั้น
2. ก้าวแรกเดินขึ้นไป 2 ขั้น เหลือขั้นบันไดอีก $n-2$ ขั้น จำนวนวิธีเดินต่อจากนี้มีค่าเท่ากับ จำนวนวิธีเดินขึ้นบันไดที่มี $n-2$ ขั้น
3. ก้าวแรกเดินขึ้นไป 3 ขั้น เหลือขั้นบันไดอีก $n-3$ ขั้น จำนวนวิธีเดินต่อจากนี้มีค่าเท่ากับ จำนวนวิธีเดินขึ้นบันไดที่มี $n-3$ ขั้น

กรณีที่มีำจำนวนขั้นบันไดเป็น 1 , 2 และ 3 ขั้นตามลำดับ จะมีจำนวนวิธีเดินขึ้นบันไดทั้งสิ้น 1 , 2 และ 4 วิธีตามลำดับ (ลองนับดูเองนะครับ หรือจะใช้หลักการแบบข้างบนก็ได้ )

กรณีที่มีจำนวนขั้นบันไดเป็น 4 ขั้น จึงมีจำนวนวิธีเดินขึ้นบันไดเท่ากับ 1 + 2 + 4 = 7 วิธี
กรณีที่มีจำนวนขั้นบันไดเป็น 5 ขั้น จึงมีจำนวนวิธีเดินขึ้นบันไดเท่ากับ 2 + 4 + 7 = 13 วิธี
กรณีที่มีจำนวนขั้นบันไดเป็น 6 ขั้น จึงมีจำนวนวิธีเดินขึ้นบันไดเท่ากับ 4 + 7 + 13 = 24 วิธี
กรณีที่มีจำนวนขั้นบันไดเป็น 7 ขั้น จึงมีจำนวนวิธีเดินขึ้นบันไดเท่ากับ 7 + 13 + 24 = 44 วิธี
......

ไล่แบบนี้ไปเรื่อยๆก็จะได้คำตอบตามต้องการครับ

[t.B.]

สามารถเขียนเป็นความสัมพันธ์เวียนบังเกิดเลยได้มั้ยครับ

[หยินหยาง]

ผมใช้รูปแบบของการเดินในการแบ่่งกรณี เช่น กรณีที่รูปแบบการเดิน เป็น 2 ก้าวอย่างเดียวก็มี 1 งิธี ซึ่งจากวิธีที่ีึ่ว่าจะได้ 266 วิธี

[Furry]

โจทย์ข้างต้นเคยใช้ในการแข่งขันคณิตศาสตร์โลกที่ฮ่องกงครั้งที่6พ.ศ.2545ประเภททีมครับ...คำตอบเป็นไปตามที่คุณTopแนะนำครับ..อาจใช้แผน ภาพแสดงจำนวนวิธีก็ได้..ง่ายกว่าการใช้แผนภูมิต้นไม้ครับ