กำลังสองสมบูรณ์

[Cachy-Schwarz]

อยากรู้วิธีคิดคับว่าทำยังไง
1.$n^2+59n+881$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ จงหาผลคูณของ n ทั้งหมด
2.$n^2+13n+51$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ จงหาผลบวกของ n ทั้งหมด
n เป็นจำนวนเต็มคับ ช่วยเหลือด้วยคับ

[LightLucifer]

ข้อ 2 ก่อนนะ
สมมติให้ $n>2$ จะได้
$n^2+14n+49>n^2+13n+51>n^2+12n+36$
หรือก็คือ
$(n+7)^2>n^2+13n+51>(n+6)^2$ นั่นคือ $n^2+13n+51$ จะไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์
ก็พิจรณาแค่ $n=1,2$ จะได้ $n=2$ ค่าเดียว

ปล อีกข้อลองทำเอง

[Cachy-Schwarz]

ขอบคุณมากคับเเต่โจทย์ที่ผมหามาบอกว่า n เป็นจำนวนเต็มนะคับ
เเล้วดูยังไงอะคับว่าจะกำหนด n มากกว่า 2

[gon]

2.$n^2+13n+51$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ จงหาผลบวกของ n ทั้งหมด n เป็นจำนวนเต็ม

answer

ให้ $x = m+n, y=m-n$

จะได้ $n = \frac{2x-2y}{4} = \frac{a^2-26a-35}{4a}$

เมื่อ a เป็นตัวประกอบของ 35 ได้แก่ $\pm 1, \pm 5, (\pm7, \pm 35)$

แทนค่า a จะได้ $n = -15, 2, -7, -6$

[LightLucifer]

$n = \frac{2x-2y}{4} = \frac{a^2-26a-35}{4a}$

มายังไงอ่ะครับ สอนที

กรณีที่ $n<0$ ของผมนั่งหา $n^2-13|n|+51=(|n|-1)^2,(|n|-2)^2,...,(|n|-7)^2$ เอาอะครับ

[Amankris]

ผมก็อ่าน #4 ไม่รู้เรื่องเหมือนกัน

ผมใช้วิธีนี้

Hide

$4(n^2+13n+51)=(2n+13)^2+35$

[Cachy-Schwarz]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

ผมก็อ่าน #4 ไม่รู้เรื่องเหมือนกัน

ผมใช้วิธีนี้

Hide

$4(n^2+13n+51)=(2n+13)^2+35$

ไปต่อไม่เป็นอ่าคับขอวิธีต่ออีกซักนิดคับ

[Amankris]

สมการอยู่ในรูปของ $x^2-y^2=35$ ครับ

[Keehlzver]

ข้อสอง

สมมติ $n>0$ $(n+29)^2=n^2+58n+841<n^2+59n+881<n^2+60n+900=(n+30)^2$

ไม่มี square ที่อยู่ระหว่าง 2 square ที่ติดกัน กรณี $n<0$ ไม่ทราบว่าจะหายังไงให้ครบครับ (ถ้า $n<0$ จะได้ว่ามี $n=-19,-40$ ที่สอดคล้อง 2 คำตอบละ)

[gon]

ให้ $n^2+bn + c = m^2 ...(1)$
ให้ $x = m + n$
และ $y = m -n$
จะได้ $n = \frac{x-y}{2} = \frac{2x-2y}{4}$ ...(*)

จากสมการ (1) จะได้
$b(\frac{x-y}{2}) + c = xy$
จัดรูปได้ $y = \frac{bx+2c}{2x+b}$
ดังนั้น $2y = \frac{2bx+4c}{2x+b} = \frac{b(2x+b)-b^2+4c}{2x+b} = b - \frac{b^2-4c}{2x+b}$
ให้ $a = 2x+b$ แล้วจะได้ $2x = a - b$ และ $2y = b - \frac{b^2-4c}{a}$
ดังนั้น $n = \frac{2x-2y}{4} = \frac{a-b-b+\frac{b^2-4c}{a}}{4} = \frac{a^2-2ab+b^2-4c}{4a}$

สรุปได้ว่า

ถ้า $n^2+bn+c $ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ โดยที่ b, c เป็นจำนวนเต็ม และ b เป็นจำนวนคี่ โดยที่ $b^2-4c \ne p^2$ (p เป็นจำนวนคี่) แล้วจะได้ว่า
$n = \frac{(a-b)^2-4c}{4a} $
เมื่อ a เป็นตัวประกอบคี่ครึ่งแรก (หรือครึ่งหลัง) ของ $b^2-4c$

ถ้า $b^2-4c = p^2$ แล้วต้องแทนเกินครึ่งไป 1 ชุด (อีก 2 ตัว)

เช่น $n^2+59n+881$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์เมื่อ n = ?

$b^2-4c = 59^2 - 4(881) = -43 \ne 0$

ดังนั้น $n = \frac{(a-59)^2-4(881)}{4a}$

ตัวประกอบของ -43 ได้แก่ $\pm 1, \pm 43$

ตัวประกอบคี่ครึ่งแรกของ -43 คือ $\pm 1$

ถ้า a = 1 จะได้ n = -40
ถ้า a = -1 จะได้ n = -19

[LightLucifer]

แบบนี้ก็มีด้วย

[Cachy-Schwarz]

ขอบคุณวิธีของทุกท่านมากๆเลยนะคับ
กำลังปรับความเข้าใจ T.T

[ด้วยใจปราถนา]

ตบมือไห้เลยครับบบ

[Washirawit101]

สุดยอดครับ

[bookbun]

ยากจริงๆครับ เรื่อง กำลังสองสมบูรณ์