Inequality (APMO2004)

[จูกัดเหลียง]

#15 ขอบคุณครับสุดยอดมาก

[จูกัดเหลียง]

เติมโจทย์ครับ เป็นข้อสอบของ Shortlist TMO9 mWIT
$x,y,z>0$ Prove that $$\sum_{cyc} \Big(\frac{6xyz}{x+y}+z\sqrt{x^2-xy+y^2}\Big)\le 4(xy+yz+zx)$$
ผมอยากดูวิธีสวยๆอื่นๆบ้างน่ะครับ

MY_Soln

หาร xyz ตลอดเเล้วเปลี่ยนตัวเเปร ให้ $a,b,c=1/x,1/y,1/z$ ตามลำดับ
it suffices to prove that $$2\Big(\frac{a^2-ab+b^2}{a+b}\Big)\ge \sqrt{a^2-ab+b^2}\leftrightarrow 3(a-b)^2\ge 0$$

[TU Gifted Math#10]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

เติมโจทย์ครับ เป็นข้อสอบของ Shortlist TMO9 mWIT
$x,y,z>0$ Prove that $$\sum_{cyc} \Big(\frac{6xyz}{x+y}+z\sqrt{x^2-xy+y^2}\Big)\le 4(xy+yz+zx)$$

หารอสมการทั้งสองข้างด้วย $xyz$ แล้วพิสูจน์ว่า $\frac{2}{x}+\frac{2}{y}-\frac{6}{x+y}\ge \frac{\sqrt{x^2-xy+y^2}}{xy}$

[kongp]

เป็นผมนะจะลองวาดกราฟของแต่ละขั้นตอนไปด้วย แต่ตอนนี้ติดมีโปรเจควิศวกรรมค้างคาเพียบ จนไม่แน่ใจว่าจะได้ลุยเรื่องตามโจทย์นี้เมื่อไหร่

[TU Gifted Math#10]

@ฟินิกส์เหินฟ้า ขอโทษด้วยครับ พอดีเพิ่งเห็นแล้วพบว่ามันไม่จริง - -