48th IMO 2007, Hanoi, Vietnam

[nongtum]

ข้อสอบวันแรก 25 กรกฎาคม 2550
อ้างอิงจาก mathlinks.ro

1. Real numbers $a_{1},\ a_{2}, \ldots,\ a_{n}$ are given. For each $i,\ (1 \leq i \leq n )$, define
$$d_{i}= \max \{ a_{j}\mid 1 \leq j \leq i \}-\min \{ a_{j}\mid i \leq j \leq n \}$$
and let $d = \max \{d_{i}\mid 1 \leq i \leq n \}$.

(a) Prove that, for any real numbers $x_{1}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n}$,
$$\max \{ |x_{i}-a_{i}| \mid 1 \leq i \leq n \}\geq \frac{d}{2}. \quad \quad (*)$$
(b) Show that there are real numbers $x_{1}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n}$ such that the equality holds in (*).

2. Consider five points $A,\ B,\ C,\ D$ and $E$ such that $ABCD$ is a parallelogram and $BCED$ is a cyclic quadrilateral. Let $\ell$ be a line passing through $A$. Suppose that $\ell$ intersects the interior of the segment $DC$ at $F$ and intersects line $BC$ at $G$. Suppose also that $EF=EG=EC$. Prove that $\ell$ is the bisector of angle $DAB$.

3. In a mathematical competition some competitors are friends. Friendship is always mutual. Call a group of competitors a clique if each two of them are friends. (In particular, any group of fewer than two competitors is a clique.) The number of members of a clique is called its size.

Given that, in this competition, the largest size of a clique is even, prove that the competitors can be arranged into two rooms such that the largest size of a clique contained in one room is the same as the largest size of a clique contained in the other room.

4. In triangle $ABC$ the bisector of angle $BCA$ intersects the circumcircle again at $R$, the perpendicular bisector of $BC$ at $P$, and the perpendicular bisector of $AC$ at $Q$. The midpoint of $BC$ is $K$ and the midpoint of $AC$ is $L$. Prove that the triangles $RPK$ and $RQL$ have the same area.

5. Let $a$ and $b$ be positive integers.
Show that if $4ab-1$ divides $(4a^{2}-1)^{2}$, then $a=b$.

6. Let $n$ be a positive integer. Consider

$S = \left\{ (x,y,z) \mid x,y,z \in \{ 0, 1, \ldots, n\}, x+y+z > 0 \right \}$

as a set of $(n+1)^{3}-1$ points in the three-dimensional space. Determine the smallest possible number of planes, the union of which contains $S$ but does not include $(0,0,0)$.

[Switchgear]

ผมลองเข้าไปดูตาม link เห็นมีคนเริ่มเฉลยไปบ้างแล้ว ผมว่าน่าจะมีการรวบรวมวิธีเฉลยหลายๆ แบบ มาไว้ในกระทู้นี้
จะได้เป็นที่รวบรวมข้อมูลให้คนรุ่นต่อไปเข้ามาศึกษาต่อได้

[gools]

ขอบคุณพี่ nongtum และพี่ gonมากครับ
แปลเป็นภาษาไทยครับ

IMO 2007 วันแรก
25 กรกฎาคม 2550


1. กำหนดจำนวนจริง $a_{1},\ a_{2}, \ldots,\ a_{n}$ เมื่อแต่ละ $i,\ (1 \leq i \leq n )$ นิยามให้
$$d_{i}= \max \{ a_{j}\mid 1 \leq j \leq i \}-\min \{ a_{j}\mid i \leq j \leq n \}$$
และให้ $d = \max \{d_{i}\mid 1 \leq i \leq n \}$.

(a) จงพิสูจน์ว่า ทุกๆจำนวนจริง $x_{1}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n}$ จะได้ว่า
$$\max \{ |x_{i}-a_{i}| \mid 1 \leq i \leq n \}\geq \frac{d}{2} \quad \quad (*)$$
(b) จงแสดงว่ามีจำนวนจริง $x_{1}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n}$ ที่ทำให้สมการเป็นจริงใน (*)

2. พิจารณาจุด 5 จุด $A,\ B,\ C,\ D$ and $E$ ที่ทำให้ $ABCD$ เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานและสี่เหลี่ยม $BCED$ มีวงกลมล้อมรอบ ให้ $\ell$ เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด $A$ โดยที่ $\ell$ ตัดกับส่วนของเส้นตรง $DC$ ที่ $F$ และตัดกับเส้นตรง $BC$ ที่ $G$ โดยที่ $EF=EG=EC$ จงพิสูจน์ว่า $\ell$ เป็นเส้นแบ่งครึ่งมุม $DAB$

3. ในการแข่งขันคณิตศาสตร์มีผู้เข้าร่วมแข่งขันบางคนเป็นเพื่อนกัน เรียกกลุ่มผู้เข้าร่วมแข่งขันแข่งขันว่า clique ถ้าสองคนใดๆในกลุ่มนั้นเป็นเพื่อนกัน (เรียกกลุ่มที่มีผู้เข้าร่วมแข่งขันน้อยกว่า 2 คนว่า clique เช่นเดียวกัน) จำนวนสมาชิกของแต่ละ clique เรียกว่า size ของ clique นั้นๆ

ในการแข่งขันนี้ให้ size ของ clique ที่มากที่สุดเป็นจำนวนคู่ จงพิสูจน์ว่าเราสามารถจัดผู้เข้าร่วมแข่งขันให้อยู่ในห้องสองห้องโดยที่ size ของ clique ที่มากที่สุดในห้องแรกเท่ากับ size ของ clique ที่มากที่สุดในห้องที่สอง

IMO 2007 วันที่สอง
26 กรกฎาคม 2550

4. ในสามเหลี่ยม $ABC$ เส้นแบ่งครึ่งมุม $BCA$ ตัดกับวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยมอีกครั้งที่ $R$, ตัดกับเส้นแบ่งครึ่งและตั้งฉากด้าน $BC$ ที่ $P$ และตัดกับเส้นแบ่งครึ่งและตั้งฉากด้าน $AC$ ที่ $Q$ จุดกึ่งกลางของด้าน $BC$ คือ $K$ และจุดกึ่งกลางของด้าน $AC$ คือ $L$ จงพิสูจน์ว่าสามเหลี่ยม $RPK$ และสามเหลี่ยม $RQL$ มีพื้นที่เท่ากัน

5. ให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก
จงแสดงว่าถ้า $4ab-1$ หาร $(4a^{2}-1)^{2}$ ลงตัวแล้ว $a=b$

6. ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก พิจารณา

$S = \left\{ (x,y,z) \mid x,y,z \in \{ 0, 1, \ldots, n\}, x+y+z > 0 \right \}$

เป็นเซตของจุด $(n+1)^{3}-1$ จุดในพื้นที่ว่างสามมิติ(space) จงหาจำนวนระนาบ(planes)ที่น้อยที่สุดที่มี $S$ แต่ไม่รวมจุด $(0,0,0)$

[gools]

ข้อ 1a ก่อนแล้วกันครับ
ให้ $d=a_k-a_l$ ดังนั้น $k \leq l,x_l-x_k \geq 0$
ดังนั้น $|x_k-a_k|+|x_l-a_l|\geq |x_l-x_k+a_k-a_l|=|x_l-x_k+d| \geq d$
จะได้ว่า $max\{ |x_k-a_k|,|x_l-a_l| \} \geq \frac{d}{2}$
ดังนั้น $max\{ |x_i-a_i| \} \geq \frac{d}{2}$

[tatari/nightmare]

4.ผมขอเฉลยแค่แนวคิดนะครับ ช่วงนี้ผมไม่ค่อยมีเวลาด้วย ถ้าผิดตรงไหนก็ขออภัยด้วยนะครับ
ให้ o เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบ ให้$kcp=a $ จะเห็นได้ชัดว่า$ okcl $ มีวงกลมล้อมรอบได้ ได้ว่า มุม$pol$=มุม$kcl$=2a พิจารณา$\bigtriangleup pkc$ ได้ มุม$ kpc=90-a $ จะได้ว่า$\bigtriangleup opq $เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วซึ่ง $op=oq$
ต่อ $or$ กับ $oc$ได้ว่าสามเหลี่ยม $roc$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วได้ มุม$orp$=มุม$ocq$และ$or=oc $และจากที่$op=oq$
ได้ว่า$ \bigtriangleup rpo$ $\cong $ $\bigtriangleup cqo $ ได้ว่า $rp=cq $
ถ้าดูรูปดีๆไล่มุมไปเรื่อยๆได้ มุม$rpk$=มุม$rql$ ได้$[rpk]$=$\frac{1}{2}\bullet rp\bullet pk\bullet sin rpk$ และ $[rql]$=$\frac{1}{2}\bullet rq\bullet ql\bullet sinrql$
ซึ่งถ้าพิสูจน์ได้ว่า $rp\bullet pk=rq\bullet ql$ ก็จบการพิสูจน์ซึ่งทำได้โดยอาศัยtrigo แล้วก็พวกด้านต่างๆที่เท่ากันซึ่งเราได้พิสูจน์ไปแล้ว

[YOYO123]

ขอบคุณพี่ gools ที่แปลเปนภาษาไทยให้ ผมอ่านอังกฤษไม่ค่อยออก เดี๊ยวผมจะลองทำข้อสอบดู

[tatari/nightmare]

ขอโทษนะครับ คือผมอ่านโจทย์ข้อ 6 ไม่clear อะครับ ช่วยไขกระจ่างให้ผมด้วยครับ ขอบคุณครับ

[SOS_math]

ข้อ6 แปล(ปรับ)ใหม่นิดหน่อยนะครับ "ให้หาจำนวนระนาบที่น้อยที่สุดที่ทำให้บรรจุทุกจุดใน $S$ แต่ไม่บรรจุจุด $(0,0,0)$"

[t.B.]

ช่วยดูให้ทีว่าทำอย่างนี้ได้ไหม
ข้อ5
$4ab-1|(4a^2-1)^2 $ ลงตัวแล้ว $4ab-1|4a^2-1 $ ลงตัวด้วย
แล้วตั้งหารยาวจะได้เศษ
$-1+\frac{a}{b}=0$
$\frac{a}{b}= 1$
$\therefore a=b $

ปล.คือพอดีเห็นเฉลยในlinkที่คุณnongtumให้มาเค้าสมมุติตัวแปรแล้วตั้งเป็นสมการเลย ไม่เข้าใจว่าทำไมต้องทำถึงขนานนั้น

[Art_ninja]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ t.B.

ช่วยดูให้ทีว่าทำอย่างนี้ได้ไหม
ข้อ5
$4ab-1|(4a^2-1)^2 $ ลงตัวแล้ว $4ab-1|4a^2-1 $ ลงตัวด้วย
แล้วตั้งหารยาวจะได้เศษ
$-1+\frac{a}{b}=0$
$\frac{a}{b}= 1$
$\therefore a=b $

ปล.คือพอดีเห็นเฉลยในlinkที่คุณnongtumให้มาเค้าสมมุติตัวแปรแล้วตั้งเป็นสมการเลย ไม่เข้าใจว่าทำไมต้องทำถึงขนานนั้น

มันไม่จำเป็นเสมอไปครับเพราะว่าจำนวนตัวประกอบของ $(4a^2-1)$ น้อยกว่า $(4a-1)^2$
จึงไม่จำเป็นเสมอไปครับ

[mathstudent2]

เฉลยข้อสอบ IMO มีที่ไหนครับ

[nongtum]

#11
ตามไปดูที่ลิงค์ mathlinks.ro ในหัวกระทู้เลยครับ