จำนวน ?

[Thamma]

จงหาจำนวนเต็มบวก x ที่น้อยที่สุด ที่ผลบวกของเลขโดดของ x และ x+1 ทั้งคู่สามารถหารด้วย 7 ลงตัว

[gon]

โจทย์ imso 2004 ข้อนี้ คำตอบคือ 69999 ครับ.

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thamma

จงหาจำนวนเต็มบวก x ที่น้อยที่สุด ที่ผลบวกของเลขโดดของ x และ x+1 ทั้งคู่สามารถหารด้วย 7 ลงตัว

สมมติ x เป็นจำนวนเต็ม , a,b,c,... เป็นเลขโดดในแต่ละหลักของ x และให้ [m] แทนผลรวมเลขโดดของ m

สมมติ $x=abcd...z$

ผลรวมเลขโดด

$[x]=a+b+c+..+z$

$[x+1] = \cases{a+b+...+y+z+1 & , z\not= 9 \cr a+b+...+y+1 & , z = 9} $

แต่เนื่องจาก $(a+b+...+y+z+1)-(b+c+..+z)=1$ ดังนั้น $z=9$

$[x]=a+b+c+...+y+9$

$[x+1] =a+b+...+y+1$ เมื่อ $ y\not= 9$

$[x]-[x+1]=9-1$ ดังนั้น 7 ไม่หารทั้งสองพร้อมกัน ดังนั้น $y=9$



$[x]=a+b+c+...+x+9+9$

$[x+1] =a+b+...+x+1$ เมื่อ $ x\not= 9$

$[x]-[x+1]=2(9)-1$ ดังนั้น 7 ไม่หารทั้งสองพร้อมกัน ดังนั้น $x=9$

...
เนื่องจาก $9(4)-1$ หารด้วย 7 ลงตัว

ดังนั้น

$[x]=a+b+c+...+v+9+9+9+9$

$[x+1] =a+b+...+v+1$ เมื่อ $ v\not= 9$

$[x]-[x+1]=9(4)-1$

เราต้องการ x น้อยที่สุด โดยไม่เสียนัยสำคัญโดยทั่วไป สามารถตัดหลัก $b,c,...,v$ ออกได้

$[x]=a+9+9+9+9$

$[x+1]=a+1$

$[x]$ และ $[x+1]$ ต้องหารด้วย 7 ลงตัว

ดังนั้น $a+1$ หารด้วย $7$ ลงตัว จะได้ $a=6,13,...$ แต่เนื่องจาก $a$ เป็นเลขโดด ดังนั้น $a=6$ ค่าเดียว

จะได้ $x_{min}=69,999$

[gnap]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o

สมมติ x เป็นจำนวนเต็ม , a,b,c,... เป็นเลขโดดในแต่ละหลักของ x และให้ [m] แทนผลรวมเลขโดดของ m

สมมติ $x=abcd...z$

ผลรวมเลขโดด

$[x]=a+b+c+..+z$

$[x+1] = \cases{a+b+...+y+z+1 & , z\not= 9 \cr a+b+...+y+1 & , z = 9} $

แต่เนื่องจาก $(a+b+...+y+z+1)-(b+c+..+z)=1$ ดังนั้น $z=9$

$[x]=a+b+c+...+y+9$

$[x+1] =a+b+...+y+1$ เมื่อ $ y\not= 9$

$[x]-[x+1]=9-1$ ดังนั้น 7 ไม่หารทั้งสองพร้อมกัน ดังนั้น $y=9$



$[x]=a+b+c+...+x+9+9$

$[x+1] =a+b+...+x+1$ เมื่อ $ x\not= 9$

$[x]-[x+1]=2(9)-1$ ดังนั้น 7 ไม่หารทั้งสองพร้อมกัน ดังนั้น $x=9$

...
เนื่องจาก $9(4)-1$ หารด้วย 7 ลงตัว

ดังนั้น

$[x]=a+b+c+...+v+9+9+9+9$

$[x+1] =a+b+...+v+1$ เมื่อ $ v\not= 9$

$[x]-[x+1]=9(4)-1$

เราต้องการ x น้อยที่สุด โดยไม่เสียนัยสำคัญโดยทั่วไป สามารถตัดหลัก $b,c,...,v$ ออกได้

$[x]=a+9+9+9+9$

$[x+1]=a+1$

$[x]$ และ $[x+1]$ ต้องหารด้วย 7 ลงตัว

ดังนั้น $a+1$ หารด้วย $7$ ลงตัว จะได้ $a=6,13,...$ แต่เนื่องจาก $a$ เป็นเลขโดด ดังนั้น $a=6$ ค่าเดียว

จะได้ $x_{min}=69,999$

[gon]

โจทย์แนวเดียวกันครับ EMIC 2007 TEAM จะยากกว่านิดหน่อย

4. จงหาจำนวนเต็มสองจำนวนซึ่งมีค่าน้อยที่สุดซึ่ง สอดคล้องเงื่อนไขทั้งสองสองต่อไปนี้

(1) ผลต่างของจำนวนเต็มทั้งสองมีค่าเท่ากับ 3

(2) แต่ละจำนวน ผลบวกของเลขโดดเป็นพหุคูณของ 11

[น้องเจมส์]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

โจทย์แนวเดียวกันครับ EMIC 2007 TEAM จะยากกว่านิดหน่อย

4. จงหาจำนวนเต็มสองจำนวนซึ่งมีค่าน้อยที่สุดซึ่ง สอดคล้องเงื่อนไขทั้งสองสองต่อไปนี้

(1) ผลต่างของจำนวนเต็มทั้งสองมีค่าเท่ากับ 3

(2) แต่ละจำนวน ผลบวกของเลขโดดเป็นพหุคูณของ 11

ผมได้ 89999 ครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ น้องเจมส์

ผมได้ 89999 ครับ

ได้ตรงกันครับ.