49th IMO 2008, Madrid, Spain

[Onasdi]

...ใช่ครับ...

[Art_ninja]

ข้อนี้ผมนับเอาธรรมดาเลยครับ(วิธีนี้ออกจะมั่วๆหน่อยนะครับ ถ้าผิดพลาดอย่างไรก็ขออภัยด้วยนะครับ)
5.ให้ $k,n \in \mathbb{N}$ ซึ่ง $k \geq n$ และ $k-n$ เป็นจำนวนคู่
ขั้นตอนที่ $1$ หาค่า $N$
พิจารณาการเลือกลำดับโดยให้ $k_i$ คือจำนวนของขั้นตอนที่กระทำที่โคมไฟที่ $i$ จะอยู่ในสถานะเปิดซึ่งเป็นจำนวนคู่เสมอ โดยไม่นับการกระทำที่ต้องกระทำกับโคมไฟที่ $1$ ถึงโคมไฟที่ $n$ เพราะเป็นการกระทำที่ต้องทำอยู่แล้ว ซึ่งเห็นได้ชัดว่า $\sum_{i = 1}^{2n}k_i=k-n$ ดังนั้นจำนวนลำดับทั้งหมดของ $N$ คือ $\sum {{k-n}\choose{k_1,k_2,...,k_{2n}}}=(2n)^{k-n}$
ขั้นตอนที่ $2$ หาค่า $M$
ในทำนองเดียวกับการหาค่า $N$ แต่จะเห็นว่า $\sum_{i=1}^{2n}k_i=\sum_{i=1}^{n}k_i=k-n$ เพราะว่า $k_{n+i}=0$ สำหรับทุก $i=1,2,3,...,n$ อันเนื่องมาจากไม่มีการกระทำเกิดกับโคมไฟที่ $n+1$ ถึง $2n$ ดังนั้นจำนวนลำดับทั้งหมดของ $M$ คือ $\sum {{k-n}\choose{k_1,k_2,...,k_{n}}}=n^{k-n}$
ชั้นตอนที่ $3$ หาค่า $N/M$ จากขั้นตอนที่ $1$ และ $2$ จะได้ว่า
$$N/M=\frac{(2n)^{k-n}}{n^{k-n}}=2^{k-n}$$

ป.ล.ขอรบกวนให้เพื่อนๆพี่ๆน้องๆที่ทำข้อ 3 กับข้อ 6 ได้แล้วมาช่วยแสดงให้ผมดูด้วยนะครับ ผมคิดไม่ออกครับ

[Anonymous314]

คุณ Art_Ninja เก่งจังเลยนะครับเนี่ย ทำได้ตั้งเยอะแหนะ

[Onasdi]

การหาค่า $N$ กับ $M$ ยังไม่ถูกนะครับ เพราะว่าเราจะต้องเอาการที่เราสับสวิตช์ $n$ ครั้งแรกเข้าไปเรียงสับเปลี่ยนด้วย

ผมคิดว่าคงจะหา $N,M$ ออกมาเป็นตัวเลขไม่ได้ คงหาได้แต่อัตราส่วน $N/M$

เมื่อเราเดาคำตอบได้แล้ว ก็ลองสร้างฟังก์ชั่น f จาก A(เซตของลำดับแบบแรก) ไปยัง B(เซตของลำดับแบบที่สอง) โดยให้ {a | f(a)=b} มีขนาด $2^{k-n}$ สำหรับ b ใดๆ

[nooonuii]

Hojoo Lee นี่สุดยอดจริงๆครับ โจทย์ของเขาได้รับคัดเลือกเกือบทุกปีเลย

Walther Janous นี่ก็เซียนอสมการคนนึงครับ

ผมเห็นโจทย์อสมการของเขาใน Crux Mathematicorum

เยอะแยะไปหมด

[Art_ninja]

ขอบคุณมากครับที่ช่วยแนะนำที่ผิดให้ ถ้าเป็นอย่างนั้นก็คงจะหาค่าของ M และ N ไม่ได้จริงครับ ว่าแต่วิธีของพี่ Onasdi ผมไม่เข้าใจน่ะครับว่าจะทำอย่างไร ขอพี่ Onasdi แสดงให้ดูด้วยได้ไหมครับ

[RoSe-JoKer]

Solution ข้อ 1 ของคุณ Art_ninja นั้นช่วยอธิบายให้ผมหน่อยได้ไหมครับ พอดีผมไปอ่าน solution แบบเดียวกับคุณ Art_ninja ที่ mathlinks แล้วไม่เข้าใจว่าทำไมวงกลม 2 วงนั้นมันต้องตัด BH อะไรประมาณนี้ที่จุดเดียวกัน
อะครับ มันอาจจะตัดกันที่คนละจุดก็ได้นิครับ อธิบายผมทีครับ ผมอ่านมาที่ mathlinks ไม่ค่อยเข้าใจอะครับ
ส่วน Solution ข้อ 3 กับ 6 ก็ไปดูที่
http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=215221 ข้อ 3 กับ
http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=215427 ข้อ 6 เหมือนที่น้องๆเคยทำสิครับ โธ่จะไปยากอะไร

[Art_ninja]

จริงๆแล้วจุดสำคัญของข้อนี้คือการแสดงให้ได้ว่าคอร์ดร่วมของวงกลมทั้งสอง ซึ่งในที่นี้ก็คือ $HG$ อยู่บนเส้นตั้งฉากที่ลากจากมุม $B$ ไปยัง $AC$ ครับ ซึ่งผมก็แสดงไว้แล้วนั่นคือทั้งสองเส้นขนานกัน(ต่างก็ตั้งฉากกับ $EF$) และผ่านจุดเดียวกัน $1$ จุดซึ่งก็คือจุด $H$ ตามเงื่อนไขที่โจทย์บอกมาครับส่วนวิธีทำข้อ 3 กับข้อ 6 ผมได้ดูแล้วครับ ขอบคุณมากครับ

[RoSe-JoKer]

ผล IMO ปีนี้ออกแล้วนะครับ http://www.imo-official.org/year_ind...aspx?year=2008 Thailand ปีนี้ที่ 6 โหดจริงๆ ;-)

[dektep]

ยินดีด้วยครับ สุดยอดครับ

[Art_ninja]

ยินดีกับพี่ๆทุกคนครับ หวังว่าปีหน้าคงจะได้เหรียญทองกันมากกว่านี้ครับ

[หยินหยาง]

ถึงเวลาที่จะต้องปรบมือให้กับตัวแทนทุกท่านอีกครั้ง ยินดีด้วยครับ กับ 2 เหรียญทอง 3 เหรียญเงิน กับ 1 เหรียญทองแดง สุดยอดจริงๆ

[คusักคณิm]

ปีนี้มี
เหรียญทอง
วรัตถ์ สุขสมปอง
พศิน มนูรังษี
เงิน
สุธี เรืองวิเศษ
ศุภณัฐ คำตื้อ
ปยุต พันธวงศ์เดชา
ทองแดง
พชรพล สุเทพารักษ์
ยินดีกับทุกๆท่านด้วย
ปล.พิมพ์ชื่อใครผิดบ้างเนี่ย??
ปล.(2)เว็บเรามีใครบ้างอ่ะ

[dektep]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คusักคณิm

ปีนี้มี
เหรียญทอง
วรัตถ์ สุขสมปอง
สุธี เรืองวิเศษ
พศิน มนูรังษี
เงิน
ศุภณัฐ คำตื้อ
ปยุต พันธวงศ์เดชา
ทองแดง
พชรพล สุเทพารักษ์
ยินดีกับทุกๆท่านด้วย
ปล.พิมพ์ชื่อใครผิดบ้างเนี่ย??

ผลผิดนะครับ

[RoSe-JoKer]

แต่ผมอยากให้ผลเป็นแบบนั้นนะครับ ผมเศร้าแทนมากๆๆเลย T_T