ยากมากเลย 2

[opaaru]

ผมเจอโจทย์อย่างงี้แล้วงงมากเลยคับ
1.พิสูจน์ว่า n^a+1/a+1 < 1^a+2^a+3^a+...+n^a < (n+1)^a+1/a+1 กำหนดให้ n เป็นจำนวนนับ ,a>0 , เมื่อ a>1 จะได้ (1+x)^a ณ 1+ax สำหรับทุกๆ xณ-1
2.ให้ x,y,z ฮ R⁺ จงแสดงว่า xy/z+yz/x+zx/y ณ x+y+z
ขอขอบคุณไว้ล่วงหน้าสำหรับคำตอบครับ

[nithi_rung]

ข้อ 2 ลองทำย้อนกลับดูครับ
ก็คูณตลอดด้วย xyz แล้วก็ คูณตลอดด้วย 2 มันจะไปสมมูลกับอสมการ
(xy-yz)²+(yz-zx)²+(zx-xy)²ณ0 ครับ

[gon]

มาต่อข้อ 1. ให้นะครับ.
จาก สมการแบร์นูลีที่ว่า (1+x)^a ณ 1 + ax เมื่อ a>1 และ x ณ-1
เนื่องจาก a + 1 > 1
ดังนั้นถ้าเราแทน x ้ด้วย 1/n และ แทน a ด้วย a + 1 แล้วจัดรูปก็จะได้ว่า
n^a <[ (n+1)^a+1 - n^a+1 ] / a+1 ....... (*)
ทำนองเดียวกัน เมื่อแทน x = -1/n และ a ด้วย a+1 ก็จะได้ว่า
n^a >[ n^a+1 - (n-1)^a+1 ] / a+1 ....... (**)
แล้วจับสมการทั้งสองมาเขียนเป็นอสมการต่อเนื่องกัน เช่น 3 < x < 5

จากนั้นก็แทนค่า n = 1 ลงในสมการที่ตั้งไว้เมื่อกี๊นี้ เป็นสมการที่ (1)แทน ืn= 2 เป็นสมการที่ (2)
ทำอย่างนี้ไปเรื่อย ๆ จนถึง n = n เป็นสมการที่ (n)
สุดท้ายจึงเอาสมการทั้งหมด มาบวกกัน มันก็จะตัดกันจนเหลือแต่พจน์ที่ต้องการพิสูจน์นะ ลองทำดูล่ะกัน ถ้าถามคำถามอย่างนี้ได้ เขียนอย่างนี้น่าจะเข้าใจนะครับ

ใช้ math induction ดิ