โจทย์แนว ค่าสูงสุด ค่าต่ำสุด

[Hirokana]

เป็นโจทย์ที่น่าสนใจที่ไปเจอมาครับ ขอแนวคิดด้วยครับ อิอิ

$1.$ จงหาค่าสูงสุดของ $\displaystyle{\frac{x^2}{x^4+1}}$ เมื่อ $x\in \cal R$

$2.$ กำหนดให้ $kx-x^m,b>1,a>o,y\geqslant 0$ มีค่าสูงสุดเมื่อ $x=\left(\,\displaystyle{\frac{k}{m}}\right)^{\displaystyle{\frac{1}{m-1}}} $ จงหาค่าสูงสุดของ $\sin{x}\sin{2x}$

$3.$กำหนดให้ $\left|\,X\right|\leqslant s $ เมื่อ $s$ เป็นค่าคงตัว และ $\left|\,x-x_1\right|\leqslant 1 $ จงหาค่าสูงสุดของ $\left|\,x^2_1-x^2\right| $

$4.$ จงหาจำนวนจริงบวก x ที่มากที่สุดซึ่งทำให้ค่าของนิพจน์ $\sqrt{x^2+x}-x$ ต่างจาก $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ ไม่เกิน $0.02$ หน่วย

[-Math-Sci-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Hirokana

เป็นโจทย์ที่น่าสนใจที่ไปเจอมาครับ ขอแนวคิดด้วยครับ อิอิ

$1.$ จงหาค่าสูงสุดของ $\displaystyle{\frac{x^2}{x^4+1}}$ เมื่อ $x\in \cal R$

$\displaystyle{\frac{x^2}{x^4+1}}$

$\displaystyle{\frac{1}{x^2+\frac{1}{x^2}}}$


จาก $(x-\frac{1}{x})^2 \geqslant 0$ เมื่อ $x\in \cal R$

$x^2-2+\frac{1}{x^2} \geqslant 0$

$x^2+\frac{1}{x^2} \geqslant 2$

$\displaystyle{\frac{1}{x^2+\frac{1}{x^2}}} \leqslant \frac{1}{2}$

ตอบ $\frac{1}{2}$

[~ToucHUp~]

$ข้อ 4 ตอบ X=5.76 ป่าวครับ$

My_Soln

ให้ $0.02 = \frac{2}{100}$

จะได้ $\frac{1}{2}\pm \frac{2}{100}=\frac{24}{50}หรือ\frac{26}{50}$

จากสมการที่กำหนดให้จะพบว่า $\sqrt{x^2+x} = \frac{24}{50}+x$

กำลัง 2 ทั้งสองข้างแล้วแก้สมการจะได้x =5.76 มั้งครับ

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Hirokana

$3.$กำหนดให้ $\left|\,X\right|\leqslant s $ เมื่อ $s$ เป็นค่าคงตัว และ $\left|\,x-x_1\right|\leqslant 1 $ จงหาค่าสูงสุดของ $\left|\,x^2_1-x^2\right| $

ให้หาในรูปของ $s$ รึเปล่าครับ

ถ้าใช่

$2s+1$

[~ToucHUp~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

ให้หาในรูปของ $s$ รึเปล่าครับ

ถ้าใช่

$2s+1$

ทำยังไงหรอครับ อยากรู้

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ToucHUp~

ทำยังไงหรอครับ อยากรู้

คือถ้าให้ตอบเป็นตัวเลขเลยมันก็เเปลกๆนะ
ผม พิจารณาตรง $\left|\,x-x_1\right| \leq 1 \Rightarrow -1\leq x-x_1\leq 1$
เเล้วจับบวกไปบวกมา

[~ToucHUp~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

คือถ้าให้ตอบเป็นตัวเลขเลยมันก็เเปลกๆนะ
ผม พิจารณาตรง $\left|\,x-x_1\right| \leq 1 \Rightarrow -1\leq x-x_1\leq 1$
เเล้วจับบวกไปบวกมา

ขอบคุณครับ

ผมอยากทราบว่า #3 ถูกเปล่าครับ

ทิ้งโจทย์ไว้ 1 ข้อครับ

จงหาจำนวนนับ $n\succ 1$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $(8044n+1)(8052n+1)$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

[Hirokana]

ขอบคุณคุณ จูกัดเหลียง กับ คุณ ~ToucHUp~ มากครับที่มาร่วมแสดงวิธีคิด

โจทย์ที่ทิ้งไว้ไม่ยากมากนะครับ ให้ $x=8044, x+8=8052$ แล้วค่อยๆจัดรูปจะเห็นเองว่าทำไงต่อ อิอิ

[จูกัดเหลียง]

#7
ไม่มี $n$ ที่สอดคล้องครับ

[~ToucHUp~]

ขอบคุณครับ

ปล.คุณ Hirokana ตื่นตั้งแต่ตีสองเลยหรอครับเนี่ย

[Hirokana]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ToucHUp~

ขอบคุณครับ

ปล.คุณ Hirokana ตื่นตั้งแต่ตีสองเลยหรอครับเนี่ย

เปล่าครับผมยังไม่ได้นอนครับตอนนั้น

[~ToucHUp~]

ผมคิดคำถามของ #7 ไม่ออกช่วยวิธีทำหน่อยครับ

อยากรู้วิธีคิดครับ

[Hirokana]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ToucHUp~

จงหาจำนวนนับ $n\succ 1$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $(8044n+1)(8052n+1)$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

ให้ $x=8044, x+8=8052$

จะได้ว่า $(8044n+1)(8052n+1)=(xn+1)(xn+8n+1)$

และ $(xn+1)(xn+1+8n)=k^2$

$(xn+1)^2+8n(xn+1)=k^2$

$(xn+1)^2+8n(xn+1)+(4n)^2=k^2+(4n)^2$

$(xn+1+4n)^2=k^2+(4n)^2$

จะได้ $k^2+(4n)^2=((x+4)n+1)^2$

จากความรู้สมัยเด็กๆ $(2ab)^2+(a^2-b^2)^2=(a^2+b^2)$

เทียบ สปส. โดยให้ $2ab = 4n$ และ $a^2+b^2=(x+4)n+1$

พิจารณา กรณีที่ $b=1$

จะได้ $a=2n$ แล้ว $4n^2=(x+4)n$

สนใจ $n>1$

$\therefore n=\frac{x+4}{4}$

แทนค่า $x$ กลับเข้าไป จะได้ $n=\frac{8044+4}{4}=2012$

จริงๆแล้วเราอาจลองใช้การแทนค่าช่วยก็ได้นะครับมีอีกวิธีนึง

$(8044n+1)(8052n+1)=k^2$

$(8044)(8052)n^2+16096n+1=k^2$

$8n[(2011\times 4026)n+2012]=(k-1)(k+1)$

จะเห็นว่าถ้าเราแทนค่า $n$ ดู ถ้าแทนไปเรื่อยๆจะเห็นเองว่าเราไม่สามารถจัดรูป ได้

แต่ถ้าเราใช้ค่าที่เห็นชัดเจนว่า ถ้าแทน $n=2012$ จะสามารถจัดรูปได้

ดังนั้น แทน $n=2012$

จะได้ $8(2012)(2012)[(2011)(4026)+1]= (16192576)(16192574)$

ถ้าผิดยังไงก็ขอโทษด้วยนะครับ อิอิ

[~ToucHUp~]

ขอบคุณสำหรับความรู้ครับ

[จูกัดเหลียง]

น่าเเตกเลย 555+
ลองดูนะครับ
จงหาค่าสูงสุดของ $xy$ เมื่อ $x+y=4$