ขอถามโจทย์ข้อนี้หน่อยค่ะ (หาฟังก์ชันทั่วถึง)

[Sailomab]

กำหนด A={1,2,3,4,5} B={p,q,r} จะมีกี่ฟังก์ชันที่เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B

[กขฃคฅฆง]

$|A\cup B\cup C| = |A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|B\cap C|-|C\cap A|+|A\cap B\cap C|$

[Sailomab]

ไม่เข้าใจน่ะค่ะ

[tngngoapm]

ฝึกการแยกแยะดีครับ
$\frac{3!}{2!}( \binom{5}{3} \binom{2}{1}+\binom{5}{2} \binom{3}{2} )=(3)(20+30)=150$

[กิตติ]

ลองอ่านที่เคยมีคนถามแล้วหรือยัง
หาจำนวนฟังก์ชันทั่วถึง ช่วยที

[กิตติ]

จากสูตรของการสร้างฟังก์ชั่นจากเซต A ไป B เท่ากับ $n(B)^{n(A)}$
ความหมายของฟังก์ชั่นทั่วถึงคือ เรนจ์ของฟังก์ชั่นเท่ากับเซต $B$
$A=\left\{\,1,2,3,4,5\right\} ,B=\left\{\,p,q,r\right\} $
ดังนั้นต้องลบกรณีที่มีฟังก์ชั่นที่มีเรนจ์ไม่เท่ากับเซต $B$ ตามโจทย์ที่กำหนดให้ $B=\left\{\,p,q,r\right\}$
เรนจ์ที่ไม่เท่ากับเซต แยกเป็นกรณีต่างๆคือ $\left\{\,p\right\},\left\{\,q\right\},\left\{\,r\right\} ,\left\{\,p,q\right\} ,\left\{\,p,r\right\},\left\{\,q,r\right\}$
จำนวนฟังก์ชั่นจาก A ไป $\left\{\,p\right\}$ เท่ากับ $1$
จำนวนฟังก์ชั่นจาก A ไป $\left\{\,q\right\}$ เท่ากับ $1$
จำนวนฟังก์ชั่นจาก A ไป $\left\{\,r\right\}$ เท่ากับ $1$
จำนวนฟังก์ชั่นจาก A ไป $\left\{\,p,q\right\} $ เท่ากับ $2^5=32$...ต้องลบออกด้วยกรณีที่มีเรนจ์เท่ากับ $\left\{\,p\right\}$ และ $\left\{\,q\right\}$ เท่ากับ $1+1=2$ ได้จำนวนฟังก์ชั่นเท่ากับ $32-2=30$
จำนวนฟังก์ชั่นจาก A ไป $\left\{\,q,r\right\} $ เท่ากับ $2^5=32$...ต้องลบออกด้วยกรณีที่มีเรนจ์เท่ากับ $\left\{\,q\right\}$ และ $\left\{\,r\right\}$ เท่ากับ $1+1=2$ ได้จำนวนฟังก์ชั่นเท่ากับ $32-2=30$
จำนวนฟังก์ชั่นจาก A ไป $\left\{\,p,r\right\} $ เท่ากับ $2^5=32$...ต้องลบออกด้วยกรณีที่มีเรนจ์เท่ากับ $\left\{\,p\right\}$ และ $\left\{\,r\right\}$ เท่ากับ $1+1=2$ ได้จำนวนฟังก์ชั่นเท่ากับ $32-2=30$

จำนวนฟังก์ชั่นจากเซต A ไปทั่วถึง B เท่ากับ $3^5-1-1-1-30-30-30=243-93=150$

[Sailomab]

อ๋อ เข้าใจแล้วค่ะ โดยเฉพาะคุณกิตติที่อธิบายได้เข้าใจเป็นอย่างมาก ขอบคุณมากนะคะ

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tngngoapm

ฝึกการแยกแยะดีครับ
$\frac{3!}{2!}( \binom{5}{3} \binom{2}{1}+\binom{5}{2} \binom{3}{2} )=(3)(20+30)=150$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

จำนวนฟังก์ชันที่ต้่องการจะมีจำนวนเท่ากับจำนวนวิธีที่แบ่งคน 4 คน เข้าห้องโดยมีเงื่อนไขว่าจะห้องแต่ละห้องจะมีคนอย่างน้อย 1 คน

นั่นคือ
1. แบ่งคนออกเ้ป็น 3 กลุ่ม คือ 1, 1, 2 แบ่งได้ ....... วิธี
2. กลุ่มที่ 1 เลือกห้อง (a, b, c) ได้....... วิธี
3. กลุ่มที่ 2 เลือกห้อง ได้....... วิธี
4. กลุ่มที่ 3 เลือกห้อง ได้....... วิธี

โดยกฎการคูณ จะมีจำนวนวิธีในการแบ่งคน 4 คนเข้าห้อง โดยแต่ละห้องจะมีคนอย่างน้อย 1 คน เท่ากับ ........ วิธี

ใช้วิธีนี้ก็ได้ครับ เหมือนการแบ่งของต่างกัน ลงกล่องที่ต่างกัน พอดีเป็นตัวเลขน้อยๆ วิธีนี้ก็ใช้ได้แบบไม่งงมาก

[mathislifeyess]

ขอบคุณครับนะครับผม

[tngngoapm]

ปัญหาเรื่องการหาจำนวนฟังก์ชันทั่วถึงเป็นปัญหาที่น่าสนใจครับ คือถ้าเซต $A$ มีจำนวนสมาชิกเท่ากับ 5 และเซต $ฺB$
มีจำนวนสมาชิกเท่ากับ 3 จำนวนฟังก์ชันทั่วถึงจาก A ไป B ที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะเท่ากับ 150 แต่ถ้าเพิ่มจำนวนสมาชิก
ของเซต $A$ เล่นๆเข้าไปอีก 5 ตัวและเซต$B$ อีก 3 ตัว กลายเป็น $n(A)=10$ และ $n(B)=6$ แล้วให้หาคำตอบใหม่คือนั่งคิดอยู่
นานสองนานก็ยังหาคำตอบไม่ได้ ก็เลยคิดเล่นๆเลยเถิดไปอีกว่า ถ้าเพิ่ม A เท่าใดแล้วก็น่าจะเพิ่ม B เท่านั้นด้วย กลายเป็นว่า
$n(A)=10$ และ $n(B)=8$ ไม่น่าเชื่อเลยครับ ปรากฏว่าพอจะหาคำตอบไหวได้ตั้ง $(750)(8!)$ ฟังก์ชัน......
ขอนำเสนอสูตรการหาเผื่อจะเป็นประโยชน์สำหรับท่านอื่นๆและเพื่อเป็นการตรวจสอบความถูกต้องด้วยนะครับ.........
คือตามความเข้าใจของผมนะครับ ฟังก์ชันทั่วถึงจากAไปB จะหาได้ก็ต่อเมื่อ $n(A)\geqslant n(B)$
ความซับซ้อนของคำตอบของจำนวนฟังก์ชันทั่วถึงจากAไปB น่าจะไม่ได้ขึ้นกับจำนวนสมาชิกของเซต A หรือเซต B
แต่น่าจะขึ้นกับว่าจำนวนสมาชิกของเซต A มากกว่าเซต Bอยู่เท่าใด..........
ผมเลยกำหนดให้ $T(a,r)=$จำนวนฟังก์ชันทั่วถึงจากAไปB โดยที่ $n(A)=a$และ $n(A)-n(B)=r$
1.$T(a,1)=$จำนวนฟังก์ชันทั่วถึงจากAไปB โดยที่จำนวนสมาชิกของเซตA=a และ
จำนวนสมาชิกของเซตB=a-1 เช่น n(A)=10,n(B)=9 เป็นต้น
........$T(a,1)=\frac{a-1}{2} a!$
2.$T(a,2)=$จำนวนฟังก์ชันทั่วถึงจากAไปB โดยที่จำนวนสมาชิกของเซตA=a และ
จำนวนสมาชิกของเซตB=a-2 เช่น n(A)=10,n(B)=8 เป็นต้น
........$T(a,2)=\frac{a!}{24} (3a-5)(a-2)$
....... และกรณี $T(a,3)=$จำนวนฟังก์ชันทั่วถึงจากAไปB โดยที่จำนวนสมาชิกของเซตA=a และ
จำนวนสมาชิกของเซตB=a-3 เช่น n(A)=10,n(B)=7 เริ่มจะซับซ้อนขึ้นเรื่อยๆครับ
ถ้าผิดพลาดตรงไหนชี้แนะด้วยนะครับ

[gon]

เห็นผลลัพธ์แปลก ๆ ที่คุณ tngngoapm เขียน เพ่งไปเพ่งมาแล้วเพิ่งนึกออกว่าผมเคยคิดเล่น ๆ แล้วจดไว้ในสมุดบันทึกเหมือนกัน

แต่ของผมจะเขียนคนละรูปแบบ ถ้าเขียนแบบคุณ tngngoapm ก็น่าจะได้ประมาณนี้ครับ.

$1. T(n+1, n) = \binom{n+1}{2}n!$

$2. T(n+2, n) = \binom{n+2}{3} \frac{3n+1}{4}n!$

$3. T(n+3, n) = \binom{n+3}{4}\binom{n+1}{2}n!$