Qualify Exam

[nooonuii]

เพิ่งสอบเสร็จวันนี้ครับ ทำไม่ได้เหมือนเคย ได้แค่สามข้อเองครับ คงไม่ผ่านแน่เลย

UMCP Qualifying Examination in Analysis ( 01/19/2005 )

1. Suppose \( \large{ f\in L^{1}(0,\infty) } \). Show that there is a sequence \( \large{ \{ t_{n}\} \to \infty } \) such that \( \large{ t_{n}f(t_{n}) \to 0 } \).

2. Compute the integral \( \large{ \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{x-x^{2}}}{x+2} dx } \).

3. Let \( \large{ f\in L^{1}(R), g\in L^{p}(R), h\in L^{q}(R) } \) where \( \large{ 1\leq p < \infty } \) and \( \large{ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 } \). Take it as given that the function \( \large{ (x,y) \to f(x-y)g(y)h(x) } \) and \( \large{ (x,y) \to f(y)g(x-y)h(x) } \) are measurable functions in the plane \( \large{ R x R } \).
(a) Prove that the function \( \large{ (x,y) \to f(y)g(x-y)h(x) } \) is integrable over the plane \( \large{ R x R } \).
(b) Prove that hte function \( \large{ x \to \int_{R} f(y)g(x-y)dy } \) is defined for almost all x.
(c) Prove that the function \( \large{ f*g } \) defined by \( \large{ (f*g)(x) = \int_{R} f(y)g(x-y) dy } \) is in \( \large{ L^{p} } \) and show that \( \large{ ||f*g||_{p} \leq ||f||_{1}||g||_{p} } \).

4. A function defined for \( \large{ x\in\mathbb{R} } \) by
\[ \large{ f(x) = \frac{1}{1+x^{2}+x^{4}+x^{6}} } \],
has Taylor series expansion \( \large{ \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-2)^{n} } \). Find \( \large{ \lim_{n\to\infty} sup |a_{n}|^{1/n} }\).

5. Let f be absolutely continuous on [0,x], for all x>0, f(0)=0, \( \large{ f,f' \in L^2[0,\infty] } \)
(a) Prove that \[ \large{ \int_{0}^{x} |ff'|\leq \frac{1}{2} (\int_{0}^{x} |f'|)^2 } \].
(b) Prove that \( \large{ \lim_{x\to\infty} f(x) = 0 } \).

6. Prove that a function f, analytic and 1-1 on the domain
D={z : |z+2|>1, |z-2|>1}
and satisfying f(D) = D, is a bilinear transformation.

[warut]

โทษนะครับ...คุณ nooonuii จบปริญญาโทก่อนไปเมืองนอกรึเปล่าครับ
ที่ถามนี่เพราะเห็นคุณ nooonuii พัฒนาความรู้ระดับ grad ได้เร็วมากเลยครับ

[nooonuii]

ใช่แล้วครับ จบโทจุฬามาได้สองปีแล้ว นี่ขนาดผมว่าผมพกประสบการณ์จากจุฬามาเยอะแล้วนะ มาอยู่ที่นี่กระจอกไปเลยเหอเหอ สอบวันนี้ก็ทำได้ไม่ดีเท่าไหร่ คงต้องลองใหม่คราวหน้าครับ

เอ่อ....คุณ aaaa หายไปซะแล้วอ่ะ ว่าจะขอเช็คคำตอบซะหน่อย

[aaaa]

หายไปนานกลับมาอีกที คุณ nooonuii สอบเสร็จไปแล้ว หวังว่าคงผ่านฉลุยนะครับ

ลองดูข้อสอบที่ UMCP แล้วมหาโหดเลยทีเดียว
เท่าที่ลองทำดูตอนนี้คิดออกเท่านี้ครับ ครับ (แต่ไม่รู้เหมือนกันว่าถูกมั้ย)

ข้อ 1 สมมติว่า ไม่มีลำดับ \( t_n\to\infty \) ที่สอดคล้องเงื่อนไข ดังนั้นต้องมี \( \varepsilon>0 \) และ \( T>0 \) ซึ่ง
\[
t|f(t)|\geq\varepsilon
\]
สำหรับ almost every \( t>T \) ดังนั้น
\[
\int_T^\infty|f(t)|\geq\varepsilon\int_T^\infty\frac{dt}{t}=\infty
\]
ซึ่งขัดแย้งกับ \( f\in L^1(0,\infty)\)

ข้อ 2
ให้ \( y=\sqrt{x-x^2} \) และ \( f(x)=1/(x+2) \) ดังนั้น อินทิกรัลเท่ากับอินทิเกรตบนพื้นผิว \( A=\left\{(x,y):0<x<1,\,\,0<y<\sqrt{x-x^2}\right\} \)
\[
\int_Af(x)\;\!dA
\]
โดย Fubini's Theorem ได้
\[
\int_Af(x)\;\!dA=\int_0^{1/2}\int_{\alpha_y}^{\beta_y}\frac{1}{x+2}\;\!dxdy=\int_0^{1/2}\left[2\ln(5+\sqrt{1-4y^2})-\ln(4+4y^2)\right]\;\!dy
\]
ซึ่งแต่ละพจน์สามารถอินทิเกรตหาค่าออกมาได้ ในที่นี้ \( \alpha_y=(1-\sqrt{1-4y^2})/2 \) และ \( \beta_y=(1+\sqrt{1-4y^2})/2 \)


ข้อ 5
(a) เนื่องจาก
\[
\int_0^x|f(t)f'(t)|\;\!dt\leq \int_0^x\int_0^t|f'(s)f'(t)|\;\!dsdt=\frac{1}{2}\int_{I_x\times I_x}|f'(s)f'(t)|dsdt=\frac{1}{2}\left(\int_0^x|f'(t)|\;\!dt\right)^2
\]
โดย \( I_x=[0,x] \)

(b) จาก
\[
f(x)^2=\int_0^x\frac{d}{dt}f(t)^2\;\!dt=2\int_0^x f(t)f'(t)\;\!dt
\]
และเนื่องจาก \( f,f'\in L^2(0,\infty) \) ดังนั้น \( f\times f'\in L^1(0,\infty) \) เพราะฉะนั้น \( f^2(x) \) ลู่เข้าเมื่อ \( x\to\infty \) และต้องลู่เข้าสู่ศูนย์เท่านั้น

[nooonuii]

เหอเหอ ข้อสอบปีนี้ยากกว่าทุกๆครั้งที่ผ่านมาเลยครับผมว่า ผมทำข้อ 3,4,5 ได้ครับ เท่าที่ดูข้อ 5 ผมก็ทำเหมือนคุณ aaaa ครับ ส่วนข้อ 4 นี่คิดได้หรือยังครับ เพราะว่าผมก็ยังไม่แน่ใจในคำตอบเหมือนกันครับ แต่คิดว่าน่าจะถูกนะ

ข้อ 2 นี่จุดประสงค์จริงๆเขาให้ใช้ complex analysis แก้น่ะครับ สังเกตว่าข้อคี่จะเป็น real ข้อคู่จะเป็น complex แต่พอมาเห็นคุณ aaaa ใช้ Fubini's theorem แล้วอึ้งไปเลยครับ ข้อนี้เป็นความสะเพร่าของผมเองครับ อุตส่าอ่าน residue theorem ไปเต็มที่แต่ไม่ยอมอ่านพวก branch point ไป เหอเหออกหักดังเป๊าะเลย

[aaaa]

ว้าว ขอบคุณครับคุณ nooonuii ที่ช่วย Hint ให้
ข้อ 4
รัศมีการลู่เข้าเท่ากับ \( |2-e^{2\pi/6}| \) ดังนั้น
\[
\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}=1/|2-e^{\pi/3}|
\]

[nooonuii]

เย้ ถูกสองข้อละ ถึงจะไม่ผ่านก็ขอให้ที่ทำไปถูกก็ยังดีครับ เหอเหอ