Problems Collection (First Series)

[-InnoXenT-]

สุดๆไปเลยครับ คุณ passer-by

ไม่นึกว่า จะมีโจทย์เยอะถึงขนาดนี้ - -a ถ้ามีวิธีทำ ผมว่า ก็น่าจะอัพเดท ต่อลงไปท้ายข้อนะครับ แบบที่ผมทำ ใน reply นี้ --> http://www.mathcenter.net/forum/show...&postcount=268

[ความฝัน]

ขอบคุณในน้ำใจมากครับ ประเทศไทยยังไม่สิ้นคนดี

ผมก็จะมาติดตามครับ เพื่อเพิมพูนความรู้

[Switchgear]

แวะเข้ามาให้กำลังใจอีกครั้งครับ ... เหตุการณ์บ้านเมืองทำเอาเครียดมากในตอนนี้
ผมเองก็พยายามแบ่งเวลา งดดูทีวีบ้าง แล้วอ่านคณิตศาสตร์แทน ไม่งั้นเครียดจัด!

น่าสงสารความเสียหายที่เกิดขึ้นกับประเทศไทยอันเป็นที่รักของเรา

[Keehlzver]

ขอบคุณมากครับ มีน้ำใจไมตรีดีเยี่ยมจริงๆ เเวะมาลองทำอสมการดูครับ ผมว่าข้อ 139 ยากกว่าอีกครับ โดย SOS Schur ทั้งสองข้อ เเล้วก็ข้อ Kedlaya รู้สึกว่าจะมี Generalization ด้วยนะครับ

PS: น้าเล็กอย่าลั่นวาจาสถานภาพบ้านเมืองสิครับ

[R.Wasutharat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

79. กำหนดจำนวนนับ n หาค่า $$ \int_0^{\infty} \,\, \frac{x^n}{e^x + \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}} \,\, dx $$ (Hint: เศษกับส่วน สัมพันธ์กันอย่างไร)

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

79. (n!)(ln(2))

ข้อนี้ผมติดตรงแทนค่านะครับ ช่วยแนะนำหน่อยครับ

[passer-by]

OH! post มาหลายท่านมาก ขอเริ่มตอบจาก...

(1) คุณ R.Wasutharat
ผมให้ Hint ไว้แบบนี้แล้วกันครับ

ให้ $ A_0(x) = e^x +1$ และ $A_n(x) = e^x + \sum _{k=0}^n \frac{x^k}{k!}$

ดังนั้น $ x^n = (A_n(x) - A_{n-1}(x))n! $

จากนั้นสังเกตว่า ถ้า diff $A_n$ จะได้อะไร

ตอนท้าย take limit ช่วยอีกนิดหน่อยครับ เพราะเป็น improper integral

(2) คุณ Keehlzver

ข้อ 139 ง่ายกว่าข้อ 98 หลายเท่าตัวเลยครับ แค่ใช้ความรู้ไม่เกิน AM-GM บวกกับ algebra อีกนิดหน่อย

ส่วนข้อ 98 วิธีของผมประมาณนี้ครับ

Outline(98)

จาก $ a^2+b^2+c^2 -ab-bc-ca = \frac{1}{2} \sum_{cyc} (a-b)^2 $
$ (a+b)(b+c)(c+a) - 8abc = \sum_{cyc} a(b-c)^2 $

อสมการที่จะพิสูจน์สมมูลกับ $$ \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{ab+bc+ca} \geq \frac{2c(a-b)^2+2b(c-a)^2+2a(b-c)^2}{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2} $$

WLOG $ a \geq b \geq c $

และพิสูจน์อสมการด้านล่างแทนครับ $$ \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{ab+bc+ca} \geq a+b \geq \frac{2c(a-b)^2+2b(c-a)^2+2a(b-c)^2}{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2} $$

ซ้ายมือใช้เอกลักษณ์ $(a+b)(b+c)(c+a)= (a+b+c)(ab+bc+ca) -abc $ ช่วยครับ
ส่วนขวามือ อสมการสมมูลกับ $$ \frac{2(a-b)^2((a-c) +(b-c))}{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2} \geq 0 $$

ส่วน อสมการ ของ Kiran อันนี้ อาจจะต้องให้พี่ nooonuii มาเสริมดีกว่า เพราะผมไม่ทราบจริงๆว่ามี generalize เป็นอะไรบ้าง

(3) คุณ -Innoxent-
คือประเด็นไม่ได้อยู่ที่ซ่อนข้อความหรอกครับ ประเด็นอยู่ที่ ถ้าผมพิมพ์วิธีทำทุกข้อ ชีวิตผมคงไม่ได้ทำอย่างอื่นแน่ๆ

ผมจะประมวลวิธีทำส่วนหนึ่งไว้ใน topic ย่อย ที่ผมเกริ่นไว้ใน ความเห็นก่อนหน้า แล้วขึ้นเป็น pdf ให้ในปีนี้ครับ แต่ต้องรอให้ผม post โจทย์ของ First Series ให้หมดก่อนนะ

และขอบคุณทุกกำลังใจที่ส่งมาครับ ขอให้ member ทุกท่านได้สิ่งดีๆในชีวิตกลับคืนด้วยเช่นกันครับ

----------------------------------------------------------------------------------
โจทย์ใน First Series กะไว้ว่าอยู่ที่ 270 ข้อครับ (เหตุผล ไม่มีอะไรมากครับ คือต้นเดือนหน้า ผมจะอายุ 27 ปี )

[ไอ้ลูกระเบิด]

ข้อ45ใช้อสมการAM-GMได้หรือเปล่าครับขอบคูณสำหรับปัญหาครับ

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ไอ้ลูกระเบิด

ข้อ45ใช้อสมการAM-GMได้หรือเปล่าครับขอบคูณสำหรับปัญหาครับ

คิดว่า ไม่เกี่ยวกับ AM-GM ครับ แต่เกี่ยวกับ $ \lim_{n \to \infty} \,\, 1+\frac{1}{2}+\dots \frac{1}{n} - \ln(n) = \gamma $

โดย $ \gamma$ เรียกว่า Euler-Mascheroni constant ครับ (มีค่าประมาณ 0.577)

---------------------------------------------------------------------------------------
พอดีมีคนช่วยพิมพ์ เลยมาแปะเพิ่มให้ครับ

171. ABCD เป็นทรงสี่หน้า โดย AB =6 , BC =8 , AC=AD =10 ,BD=CD=12 ,ระนาบ P ขนานกับ สามเหลี่ยม ABC และตัดแบ่งทรงสี่หน้าเป็น 2 ส่วนที่มีปริมาตรเท่ากัน ส่วนระนาบ Q ขนานกับ สามเหลี่ยม DBC และตัดแบ่งทรงสี่หน้าเป็น 2 ส่วนที่มีปริมาตรเท่ากัน เส้นตรง L แทนรอยตัดของระนาบ P,Q หาความยาวเส้นตรง L เฉพาะส่วนที่อยู่ในทรงสี่หน้า

172. ทรงกลมรัศมี 1 หน่วย 4 ลูกสัมผัสซึ่งกันและกัน และต่างก็สัมผัสกับทรงกลมใหญ่ที่ครอบทรงกลมทั้งสี่ด้วย หารัศมีเล็กสุดที่เป็นไปได้ของทรงกลมใหญ่

173. มีคน n คน โดย 2 คนใดๆ share เพื่อนร่วมกัน 1 คนเท่านั้น พิสูจน์ว่า (i) 2 คนใดๆที่ไม่รู้จักกัน มีจำนวนเพื่อนเท่ากัน และ (ii) ถ้ามี 2 คนใดๆที่คบเพื่อนจำนวนต่างกัน แล้วคนใดคนหนึ่งในสองคนนี้ รู้จักที่เหลือครบทุกคน

174. P เป็นจุดภายในสามเหลี่ยม ABC พิสูจน์ว่า $$ \frac{PA}{a^2} + \frac{PB}{b^2} + \frac{PC}{c^2} \geq \frac{1}{R} $$

175. f(n) แทนจำนวนเลข 2 ในทุก partition ของ n และ g(n) แทนจำนวนครั้งที่เลข 1 ตัวปรากฏ 1 ครั้งใน partition ของ n (เช่น f(4) =3 , g(4)=4 เพราะ partition ของ 4 คือ 4, 3+1, 2+2, 2+1+1,1+1+1+1) พิสูจน์ว่า f(n) = g(n-1) ทุกจำนวนนับ n มากกว่า 1

176. (An application ของ ฟังก์ชันก่อกำเนิด) กำหนด $ S=\{ (i,j,k) \in N\times N \times N | i+j+k=17 \} $ หาค่า $$ \sum_{(i,j,k) \in S } ijk $$

177. (Nice algebra problem) $ a_i \in R $ โดย $ |a_i| \leq 1$ และ $ \sum_{i=1}^n a_i =0$ พิสูจน์ว่ามี $ k \in \{ 1,2,..,n\} $ โดย $ | \sum_{i=1}^k ia_i | \leq \frac{2k+1}{4} $

178. หาจำนวนจริง c มากสุดที่เป็นไปได้ ที่ทำให้ $ \{ n\sqrt{3}\} > \frac{c}{n\sqrt{3}} \,\, ,\forall n \in N$ (Note: {a} นิยามเหมือนข้อเก่าๆก่อนหน้า)

179. มีจุด n จุดในระนาบ (n>3) โดย 2 จุดใดๆมีระยะห่างเป็นจำนวนนับเสมอ พิสูจน์ว่ามีอย่างน้อย $ \frac{1}{6}$ ของระยะห่างเหล่านี้ ที่หารด้วย 3 ลงตัว

180. พิสูจน์ว่ามีจำนวนนับ x,y,z,t เป็นอนันต์ โดย (x,y,z,t)=1 และ $x^3+y^3+z^2 = t^4$

181. พิสูจน์ว่ามีจำนวนนับ x,y,z เป็นอนันต์ ที่ $ x^2+y^2+z^2 = xyz$

182. พิสูจน์ว่ามีพหุนาม f ดีกรี 2009 ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม โดย 2 จำนวนใดๆในลำดับ f(n) , f(f(n)),f(f((f(n))) ,? เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ ทุกจำนวนเต็ม n

183. หา $f:N \rightarrow N$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $ f((f(m))^2 +2(f(n))^2 ) = m^2+2n^2$ ทุกจำนวนนับ m,n

184. หาจำนวนเฉพาะ p,q ทั้งหมดซึ่ง $ pq | p^p+q^q+1 $

185. หาจำนวนเฉพาะ p,q ทั้งหมดซึ่ง $ pq | (5^p-2^p)(5^q-2^q) $

186. ทุกคนในกลุ่มมีเพื่อนอย่างน้อย 1 คน ถ้า 2 คนใดๆที่มีเพื่อนจำนวนเท่ากัน จะไม่มีเพื่อนซ้ำกัน พิสูจน์ว่า มีคนที่มีเพื่อน 1 คน

187. เส้นทแยงมุม AC, BD ของ cyclic ABCD ตัดกันที่ P ถ้า circumcenter ของ (ABCD) , (ABP), (BCP) , (CDP) และ (DAP) คือ $ O,O_1,O_2,O_3,O_4$ ตามลำดับ พิสูจน์ว่า $ OP, O_1O_3,O_2O_4$ พบกันที่จุดๆเดียว

188. สามเหลี่ยม มุมแหลม ABC มี M,N,K เป็นจุดสัมผัสวงกลมแนบในสามเหลี่ยม ABC MD,NE,KF เป็นส่วนสูงของสามเหลี่ยม MNK , Q เป็น circumcenter ของ (DEF) พิสูจน์ว่า O,I,Q อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

189. ABCD ไม่มีด้านตรงข้ามคู่ใดขนานกัน $ AC \cap BD = O \,\, , AB \cap CD = P \,\,, AD \cap BC = Q $ จากนั้นลาก OR ตั้งฉากกับ PQ ที่ R และลาก RM,RN,RS,RT ตั้งฉากกับ CD,BC, AD, AB ตามลำดับ (ที่ M,N,S,T) พิสูจน์ (i) MNST เป็น cyclic (ii) $ D\hat{R}A = C\hat{R}B $

190. สามเหลี่ยมมุมแหลม ABC มีส่วนสูง $AA_1,BB_1,CC_1$ ,K,M อยู่บน $A_1C_1 \,\, , B_1C_1$ ตามลำดับ โดย $ K\hat{A}M = A_1\hat{A}C$ พิสูจน์ AK แบ่งครึ่ง มุม $ C_1\hat{K}M $

191. ทรงสี่เหลี่ยมุมฉากกว้าง w ยาว l สูง h (w,l,h เป็นจำนวนเต็ม) ประกอบขึ้นจากลูกบาศก์ขนาด 1x1x1 ถามว่า จะมีลูกบาศก์กี่ลูกที่เส้นทแยงมุมหลักของทรงสี่เหลี่ยม เจาะทะลุผ่าน

192. ใส่ a,b อย่างละ 2 ตัวลงในตาราง 4x4 หาจำนวนวิธีใส่ให้ทุกแถว และทุกคอลัมน์ ไม่มีอักษรซ้ำกัน

193. แก้ระบบสมการ $x_1x_2 =1, x_2x_3=2 , x_3x_4=3 ,?,x_nx_1=n$

194. (ข้อนี้เกิน ม.ปลาย ) A,B เป็นเมตริกซ์จัตุรัสขนาด nxn ที่มีสมาชิกเป็นจำนวนจริง AB-BA เป็น nonsingular matrix และ $A^2+B^2 = \sqrt{3}(AB-BA)$ พิสูจน์ว่า n หารด้วย 6 ลงตัว

195. $ x,y,z \geq 0$ และ $ x+y+z = 1 $ พิสูจน์ $$ \sum_{cyc} \sqrt{x+ \frac{(y-z)^2}{12}} \leq \sqrt{3} $$

196. มีจุด 2n จุด (n>1)ใน space โดยไม่มี 4 จุดใดๆอยู่บนระนาบเดียวกัน จากนั้นลากส่วนของเส้นตรงเชื่อม $n^2+1$ เส้น พิสูจน์ว่ามีสามเหลี่ยมอย่างน้อย n รูปที่เกิดจากจุดเหล่านี้ (Hint: เพิ่มเข้า-ตัดออก + Induction)

197. k เป็นจำนวนนับ หาค่า $$ \int_{\,\, 0}^{\,\, 1} \bigg \{ \frac{1}{x^{1/k}} \bigg \} \,\, dx $$ (Note: คำตอบกรณี k=1 กับ k>1 ต่างกัน)

198. p เป็นจำนวนเฉพาะที่มากกว่าหรือเท่ากับ 5 หาจำนวนพหุนามลดทอนไม่ได้ใน Z[x] ที่มีรูปแบบ $x^p+px^k+px^l+1 $ เมื่อ $ k> l ; k,l \in \{ 1,2,?,p-1\} $

199. ตารางขนาด 12x12 บรรจุเลข 1 หรือ 0 เท่านั้น โดยมีเลข 1 รวมกัน 50 ช่อง พิสูจน์ว่ามี 4 ช่องที่บรรจุเลข 1 และ เป็นจุดมุมของสี่เหลี่ยมมุมฉาก

200. สามเหลี่ยม ABC มี AD เป็นส่วนสูง , AO ตัด BC ที่ E , เส้นสัมผัส (ABC) ที่ B,C ตัดกันที่ T , AT ตัด (ABC) ที่ F พิสูจน์ว่า (DEF) สัมผัส (ABC)

[gnopy]

สำหรับคนที่ต้องการเก็บเป็นไฟล์ pdf โหลดได้ที่นี่เลยนะครับ
หมายเหตุ ใช้ plugin firefox พิมพ์ออกมาตัวหนังสือและหน้าตาอาจไม่สวยเท่าไหร่นะครับ

download


ปล พี่ passer-by เสียสละมากๆเลยครับ นับถือๆ

ปลแก้ให้แล้วนะครับ แต่ชื่อไฟล์ผมยังไม่ได้แก้ใครโหลดแล้วแก้ชื่อไฟล์ด้วยก็ดีนะครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gnopy

สำหรับคนที่ต้องการเก็บเป็นไฟล์ pdf โหลดได้ที่นี่เลยนะครับ
หมายเหตุ ใช้ plugin firefox พิมพ์ออกมาตัวหนังสือและหน้าตาอาจไม่สวยเท่าไหร่นะครับ

download

ปล พี่ noonui เสียสละมากๆเลยครับ นับถือๆ

ขอบคุณที่ช่วยจัดทำเป็น pdf ครับ และจะบอกอีกอย่างครับ คนจัดการกระทู้นี้เป็นคุณ passer-by ครับ

[MiNd169]

ขอบคุณ พี่ passer-by มากๆเลยครับ เป็นประโยชน์กับผมมากในการเตรียมตัวสอบ!!! ^^

[Keehlzver]

น่าจะมีคนดีๆมีน้ำใจเเบบนี้เยอะๆในประเทศนะครับ เห็นกี่ทีก็ซาบซึ้งครับ

ข้อ 98 ผมทำเเบบนี้ครับ

Solution ข้อ 98

เนื่องจากอสมการมีความสมมาตรในตัวเเปรสมมติโดยไม่เสียนัยทั่วไปว่า $a\geq b\geq c$ จะได้ว่าอสมการสมมูลกับ $$\frac{(a^2b+ab^2+bc(b-c)+ca(a-c))(a-b)^2}{(ab+bc+ca)(a+b)(b+c)(c+a)}+\frac{c^2(a-c)(b-c)}{(ab+bc+ca)(b+c)(c+a)}\geq 0$$

รบกวนคุณ Passer-by โพสต์วิธีทำของข้อง่ายกว่าให้หน่อยสิครับ หรือเป็น Hint ก็ได้ครับ (เพราะใช้วิธีเดียวกันยากเหลือเกิน)

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

รบกวนคุณ Passer-by โพสต์วิธีทำของข้อง่ายกว่าให้หน่อยสิครับ หรือเป็น Hint ก็ได้ครับ (เพราะใช้วิธีเดียวกันยากเหลือเกิน)

outline(139)

ให้ $ a= x^3 ,b= y^3 , c=z^3 $
จาก AM-GM , $ (x^3+y^3)(y^3+z^3)(z^3+x^3) \leq \bigg(\frac{2(x^3+y^3+z^3)}{3} \bigg)^3$

ดังนั้น ถ้าพิสูจน์ข้างล่างได้ก็จบครับ $$ \frac{x^3+y^3+z^3}{xyz} + \,\,\frac{27(xyz)^3}{(x^3+y^3+z^3)^3} \geq 4 $$ ซึ่งสมมูลกับ $ M+ \frac{27}{M^3} \geq 4 \,\, \Leftrightarrow \,\,(M-3)^2(M^2-2M+3) \geq 0 $ เมื่อ $ M \,\,= \,\, \frac{x^3+y^3+z^3}{xyz} $

-----------------------------------------------------------------
จัดไปอีก 25 ข้อ ครับ

201. สามเหลี่ยมมุมแหลม ABC มี M,N เป็นจุดกึ่งกลางส่วนสูง $ BB_1 , CC_1$ , $ P = AM \cap CC_1$ และ $ Q= AN \cap BB_1 $ ,BCPQ cyclic พิสูจน์ว่า ABC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

202. หาจำนวนเฉพาะคี่ p ทั้งหมดซึ่ง $ p | \sum_{n=1}^{103} n^{p-1}$

203. (A nice problem about inversion) สามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว โดย AB= AC , D เป็นจุดกึ่งกลาง BC และมี $ M= (ADE) \cap (ABF) \,\, , N= (ACE) \cap AF \,\, , P= (AMN) \cap AD $ พิสูจน์ ABP เป็นมุมฉาก

204. กำหนด A เป็นจำนวนจริงบวกและรูป n เหลี่ยมนูน โดย n > 4 พิสูจน์ว่ามีสามเหลี่ยมที่มีจุดมุมรูปหลายเหลี่ยมเป็นจุดยอด อย่างมาก n(2n-5)/3 รูป ที่มีพื้นที่ A ตารางหน่วย

205. สามเหลี่ยม ABC มี M,N,P เป็นจุดกึ่งกลางด้าน พิสูจน์ $ IM^2+ IN^2 +IP^2 \geq r(R+r) $

206. ในระนาบๆหนึ่ง วาดเส้นตรง n เส้น ,จุดบนระนาบถูกเรียกว่า ?k-point? ถ้ามีเส้นตรง k เส้น เท่านั้นผ่านจุดนี้ , ให้ $ k_i $ แทนจำนวน i-point ในระนาบ หาจำนวนบริเวณ(region) ที่เส้นตรง n เส้นแบ่งระนาบนี้ ในเทอมของ $ k_2, k_3,?,k_n, n $

207. S = {1,2,?,n} โดยเลขทุกตัวใน S แบ่งเป็นทาสีแดง r ตัว , ทาสีน้ำเงิน b ตัว , นิยาม $ S^* =\{(x,y,z)\in S\times S\times S | x,y,z \,\, \text{สีเดียวกัน และ} \,\, n| x+y+z \}$ หา $ n(S^*) $ ในเทอมของ b, r

208. $ m,n \in N $ โดย (m,n) =1 หาจำนวน subsets $\{x_1,x_2,?,x_m\} \subset \{1,2,?,m
+n-1\}$ ซึ่ง $ x_1 + x_2+?x_m \equiv 2009 \pmod{n} $

209. 3 ประเทศส่งนักคณิตศาสตร์มาร่วมประชุม ประเทศละ n คน , นักคณิตศาสตร์แต่ละคน รู้จักนักคณิตศาสตร์ชาติอื่นอย่างน้อย n+1 คน พิสูจน์ว่า มีนักคณิตศาสตร์ 3 คน ที่รู้จักซึ่งกันและกัน

210. a,b เป็นจำนวนนับ , เรียก k ว่า representable ก็ต่อเมื่อ $ k=ax+by \,\,,\exists x,y \in N\cup\{0\}$
(A) ถ้า (a,b)>1 พิสูจน์ว่ามีจำนวนนับ k เป็นอนันต์ที่ไม่ representable
(B) ถ้า (a,b) = 1 พิสูจน์ว่าทุกจำนวนนับที่มากกว่า ab-a-b representable
(C) ถ้า (a,b) =1 พิสูจน์ว่า ถ้า x,y เป็นจำนวนเต็มโดย $ 0 \leq x,y \leq ab-a-b $ และ x+y = ab-a-b แล้วจะมี x หรือ y เพียงตัวเดียวเท่านั้นที่ representable

211. หาจำนวนบิตสตริง ความยาว n>1 โดยจำนวนสตริงย่อย 00 เท่ากับจำนวนสตริงย่อย 11 (เช่น n=4 : 0011,0101,1010,1100 มี 4 แบบ)

212. นิยาม : cyclic 3-set คือ 3 คน ได้แก่ a,b,c โดย a ชนะ b, b ชนะ c, c ชนะ a
ในการแข่งขันแบบพบกันหมดที่ไม่มีการเสมอ และมีผู้แข่งขัน 23 คนโดยทุกคนชนะอย่างน้อย 1 ครั้ง พิสูจน์ว่า มี cyclic 3-set และหาจำนวน cyclic 3-set มากที่สุดที่เป็นไปได้

213. n (S)=n , $ F=\{S_i | S_i\subset S \}$ ,$ n(F) = 2^{n-1}$ , ถ้า $ A \cap B \cap C \neq \phi\,\,,\forall A,B,C \in F$ พิสูจน์ $$ \bigcap_{A\in F}\,\,A \neq \phi $$

214. พิสูจน์ว่า มีจำนวนนับ a เป็นอนันต์ และจำนวนนับ k เป็นอนันต์ ที่ทำให้ $ a^k-1 $ เขียนได้ในรูปผลบวกของ 2 perfect squares

215. หาค่า $ \lim _{n\to\infty} \ln ( \prod_{k=1}^n \,\, \big(\frac{k^2+n^2}{n^2} \big)^k \,\, )^{\frac{1}{n^2}} $

216. $ 40! = k \times 10^9 $ หาเลข 6 ตัวแรกที่หายไปของ
k = _ _ _ _ _ _ 283247897734345611269596115894272

217. พิสูจน์ว่า ไม่มี non-constant polynomial $ P(x) \in Z[x] $ และ $ P(n)|2^n-1 $ ทุกจำนวนนับ n

218. หาค่า $$ \sum_{n = 2009}^{\infty} \,\, \frac{1} {\binom{n}{2009}}$$

219. (Another nice algebra problem) พิสูจน์ว่า ไม่มีลำดับของจำนวนนับ $a_n$ ซึ่งทำให้ $ a_{n+2}x^2+a_{n+1}x+ a_n =0 $ มีแต่รากจำนวนจริง ทุกจำนวนนับ n

220. Q,R อยู่บนวงกลม $ C_1$ , PQ,PR สัมผัส $C_1$ A อยู่บน PQ (extension) วงกลม $C_2$ ผ่าน P,A,R $C_2 \cap C_1 = B(\neq R)$, AR ตัด $C_1$ ที่ C พิสูจน์ $ P\hat{A}R = A\hat{B}C $

221. สามเหลี่ยม ABC มี BE,CD เป็นเส้นแบ่งครึ่งมุม B,C ตามลำดับ Q,M,N เป็นจุดปลายเส้นตั้งฉากจากจุดกึ่งกลาง P ของ DE ไปยัง BC, AB. AC ตามลำดับ พิสูจน์ PQ=PM+PN

222. ตารางขนาด $m\times n$ บรรจุจำนวนใน {1,2,?,p} โดยผลรวมทุกแถว ทุกคอลัมน์ หารด้วย p ไม่ลงตัว มีวิธีลงตัวเลขในตารางได้กี่วิธี

223. วงกลม K แนบในสามเหลี่ยม ABC สัมผัส BC,CA,AB ที่ P,Q,R ตามลำดับ $ QR\cap BC=M $ ให้วงกลมที่ผ่าน B,C สัมผัสวงกลม K ที่ N, (MNP) ตัด AP ที่ $L(\neq P)$ พิสูจน์ว่า I,L,M อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

224. ออกแบบวิธีนับจำนวน path บนขอบลูกบาศก์ 1x1x1 จากมุมๆหนึ่งของลูกบาศก์กลับมาที่เดิม และ path มีความยาว 20

225. X(t) เป็น twice differentiable function บน $ (0,\frac{\pi}{2})$ โดย X(0)= 0 และ X?(0)=1 , $X??+X\geq 0 $ พิสูจน์ว่า $X(t) \geq \,\,\sin t \,\, ,\forall t \in \frac{\pi}{2}$
------------------------------------------------------------------------------
p.s. ในไฟล์ pdf ของคุณ gnopy ข้อ 8 ต้องเป็นเครื่องหมายปัดลงนะครับ

[passer-by]

ตามมาด้วยคำตอบเฉพาะข้อที่ไม่ใช่พิสูจน์นะครับ

ANSWER(103-200)

103. 1.5
104. n=2,3,5
105. 120 องศา
112. 1005
113. 20160
115. 2499
116. 49
117. 2n
118. $x_k = \frac{\sin^2(\pi /2011)}{\sin \frac{k\pi}{2011}\sin \frac{(k+1)\pi}{2011}}$
128. 180
135. 1492
137. $2^{1994}$
140. $ c^2 ,3c^2,5c^2,... $ โดย c เป็นจำนวนนับ
144. -2
146. p=2,3
150. 30
151. 9
153. $ (x,y,z) = (1,2^j-1,2j) , (2^k-1,2^k+1,3k+1) $ และแบบที่ x,y สลับกัน
155. (x,y)= (3,6) , (2,6)
156. n = 6k
159. 3
160. ไม่จำเป็น แต่ถ้าหาค่าได้ ต้องเป็น 0 เท่านั้น
164. 196
171. $ 8(\sqrt[3]{4}-1) $
172. $ 1+\sqrt{\frac{3}{2}} $
176. $ \binom{19}{14}$
178. 1
183. f(n)=n
184. (p,q)= (2,5) , (5,2)
185. (p,q) = (3,3) ,(3,13) , (13,3)
191. w+l+h -(w,h)- (l,h) - (w,l) + (w,l,h)
192. 3960
193. n = 2m+1 เป็นเลขคี่ และ $ x_1 = \pm \sqrt{\frac{1\cdot3...\cdot (2m+1)}{2\cdot4...\cdot (2m)}}$ โดยที่เหลือแทนค่าย้อนกลับ
197. ถ้า k=1 ตอบ $ 1- \gamma$ แต่ถ้า k>1 ตอบ $ \frac{k}{k-1} - \zeta (k) $
198. $ \frac{(p-1)(p-3)}{4} $

เท่ากับว่าตอนนี้เหลืออีก 45 ข้อสุดท้าย !
---------------------------------------------------------------------------

p.s. ที่เสร็จเร็วกว่าที่คิด ต้องให้เครดิตน้องสาวผมครับ ที่มาช่วยพิมพ์

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

ส่วน อสมการ ของ Kiran อันนี้ อาจจะต้องให้พี่ nooonuii มาเสริมดีกว่า เพราะผมไม่ทราบจริงๆว่ามี generalize เป็นอะไรบ้าง

ผมก็ไม่ทราบว่ามีการ generalize ไปเป็นอสมการใหม่แบบไหนบ้างในตอนนี้

ที่เห็นแว้บๆนานมาแล้ว น้อง Tatari/Nightmare เคยเอามาลงไว้ version นึง แต่กระทู้เงียบกริบ

แต่ถ้าหมายถึง version หลายตัวแปรของอสมการนี้ก็พอเล่าให้ฟังได้บ้าง

อสมการนี้เป็นจริงในกรณี $n$ ตัวแปรด้วยครับ เดิมทีเป็น conjecture ที่ตั้งโดย F. Holland

ในปี 1994 Kiran Kedlaya ก็เป็นคนพิสูจน์ได้ว่าอสมการนี้เป็นจริง จึงมีคนตั้งชื่ออสมการนี้ตามชื่อเขา

สำหรับคนที่สนใจอยากค้นคว้าเพิ่มเติมลองค้นจาก paper นี้ครับ

Proof of a Mixed Arithmetic - Geometric Mean Inequality

ต่อมาในปี 1995 ก็มีชาวญี่ปุ่่นตีพิมพ์บทพิสูจน์อสมการนี้โดยใช้ induction ใน paper นี้

An Inductive Proof of a Mixed Arithmetic - Geometric Mean Inequality

ถ้าไม่สามารถดึง paper มาอ่านได้เนื่องจากอาจจะต้องซื้อ paper ส่ง pm มาหาผมได้ครับ

ผมสามารถดึงมาได้โดยไม่ต้องเสียเงิน