โจทย์ปัญหาคณิตศาสตร์ สวัสดีปีใหม่ 2548 ภาคสอง

[nooonuii]

25. ให้ a,b,c,d เป็นจำนวนจริงซึ่งไม่เท่ากับศูนย์ และมีค่าแตกต่างกันทั้งหมด จงหาคำตอบของระบบสมการ

\( \large{ ax + a^{2}y + a^{3}z + a^{4}w = 1} \)
\( \large{ bx + b^{2}y + b^{3}z + b^{4}w = 1} \)
\( \large{ cx + c^{2}y + c^{3}z + c^{4}w = 1 } \)
\( \large{ dx + d^{2}y + d^{3}z + d^{4}w = 1 } \)

[aaaa]

ข้อ 26
จงหา
\[
\int_0^1\ln x\ln(1-x)\;\!dx
\]

[nooonuii]

27. ให้ S เป็นเซตของจำนวนเต็มบวกซึ่งมีคุณสมบัติว่า
(i) 3,4 ฮ S
(ii) ถ้า x,y,zฮ S แล้ว x+y+zฮ S
จงหาเซต S ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

แอบมาเปลี่ยนโจทย์นิดหน่อยครับ ลืมตรวจสอบว่าตอนแรกมันง่ายเกินไป

[aaaa]

อ้าวเปลี่ยนโจทย์เหรอ

[aaaa]

ข้อ 28.
จงหา
\[
\int_0^1\frac{\ln y}{1-y}\;\!dy
\]

[nooonuii]

ขอย้อนกลับไปสู่โจทย์ที่น้องๆระดับมัธยมสามารถทำได้ด้วยครับ

29. จงหาจำนวนจริง k ทั้งหมดซึ่งทำให้สมการพหุนาม (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = k มีรากเป็นจำนวนจริงทั้งหมด

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อ 29 ตอบว่า [-1,ฅ)ครับ
จาก (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)
= จับคุ๋ [(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]
= (x²+5x+4)(x²+5x+6)
= (y+4)(y+6) โดยที่ y = x²+5x
= y²+10y+24
= (y+5)²-1

แต่ x²+5x มีรากเป็นจำนวนจริงเมื่อ x²+5xณ \( -\frac{25}{4}\)
\ y ฮ [ \(-\frac{25}{4}\) ,ฅ)
y+5 ฮ [ \(-\frac{5}{4} \),ฅ)
(y+5)² ฮ [0,ฅ)
(y+5)² - 1 ฮ [-1,ฅ)

[nooonuii]

ของน้อง R-Tummykung de Lamar พี่ว่ายังไม่ถูกนะ

[warut]

ลดๆดีกรีความยากมาบ้างก็ดีครับ ช่วงหลังๆนี่โจทย์ยากสุดๆ

ตอบข้อ 26. 2 - p²/6

ตอบข้อ 27. ผมได้ S ที่เป็นไปได้ทั้งหมด 23 แบบครับ

ตอบข้อ 28. -p²/6

[aaaa]

อยากเห็นวิธีคิดข้อ 28 ครับ คุณ warut

[aaaa]

30. (Spanish MO'2003) ถ้า \( \alpha \) เป็นรากที่เป็นจำนวนจริงของ \( x^3+2x^2+10x-20=0 \) จงพิสูจน์ว่า \( \alpha^2 \) ต้องเป็นจำนวนอตรรกยะ

[aaaa]

31.(Spanish MO'2001) ให้ \( f:\mathbb{N}\to\mathbb{N} \) มีสมบัติว่า \( f(1)=f(2^n)=1 \) ทุกจำนวนนับ \( n \) และ
\[
f(2^n + m) = f(n) + 1\qquad\text{ทุก}\,\,0<m<2^n
\]
จงหาค่า \( \displaystyle\max_{1\leq k\leq2001}f(k) \) และค่า \( n \) น้อยที่สุดซึ่ง \( f(n)=2001 \)

[nooonuii]

ข้อนี้เป็นโจทย์ที่คาใจผมมานานแล้วว่าคิดยังไง

32. จงหาจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมดซึ่งสอดคล้องสมการ

|z-2002|+|z-2003|+|z-2004|+|z-2005| = 4

อืมแต่ตอนนี้เริ่มจะรู้แนวคิดแล้วครับ

[aaaa]

เฉลยข้อ 32.
เนื่องจาก \( |z-2002|+|z-2005|\geq|(z-2002)-(z-2005)|=3 \) และ \( |z-2003|+|z-2004|\geq|(z-2003)-(z-2004)|=1 \) ดังนั้นสมการเป็นจริงก็ต่อเมื่อ อสมการทั้งสองดังกล่าวเป็นสมการ

[gon]

ข้อ 32 : ต่อแนวคิดของคุณ aaaa นะครับ. ใช้คู่ของ | z - 2002 | + | z - 2004 | ณ 2 กับ | z - 2003 | + | z - 2005 | ณ 2 ก็จะได้คำตอบเท่ากัน คือ z ฮ [2003, 2004]