โจทย์ปัญหาคณิตศาสตร์ สวัสดีปีใหม่ 2548 ภาคสอง

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
25. ให้ a,b,c,d เป็นจำนวนจริงซึ่งไม่เท่ากับศูนย์ และมีค่าแตกต่างกันทั้งหมด จงหาคำตอบของระบบสมการ

\( \large{ ax + a^{2}y + a^{3}z + a^{4}w = 1} \)
\( \large{ bx + b^{2}y + b^{3}z + b^{4}w = 1} \)
\( \large{ cx + c^{2}y + c^{3}z + c^{4}w = 1 } \)
\( \large{ dx + d^{2}y + d^{3}z + d^{4}w = 1 } \)

เก็บตกโจทย์ของคุณ nooonuii ต่อนะครับ

ให้ x, y, z, w เป็นสัมประสิทธิ์ของสมการ polynomial ดังต่อไปนี้
\[wt^4+zt^3+yt^2+xt-1=0\]
เราจะได้ว่าสมการนี้มี a, b, c, d เป็นราก ดังนั้น
\[t^4+\frac{z}{w}t^3+\frac{y}{w}t^2+\frac{x}{w}t-\frac{1}{w}=
\left(t-a\right)\left(t-b\right)\left(t-c\right)\left(t-d\right)\]
คูณด้านขวาของสมการกระจายออกมาแล้วเทียบสัมประสิทธิ์ก็จะได้คำตอบที่ต้องการดังต่อไปนี้ครับ
\[w=-\frac{1}{abcd}\]
\[z=\frac{a+b+c+d}{abcd}\]
\[y=-\frac{1}{abcd}\sum_{1\le i<j\le 4}a_ia_j\]
\[x=\frac{1}{abcd}\sum_{1\le i<j<k\le 4}a_ia_ja_k\]
โดยที่ \(a_1=a,a_2=b,a_3=c,a_4=d\)

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
ข้อนี้ไปเจอในวารสารมาครับ

36. ถ้า (m,n) = 1 จงพิสูจน์ว่า
\[(m^3 n^2 + m^2 n^3 + m^3 n + 2m^2 n^2 + mn^3, m^2 n + mn^2 + mn + m + n) = 1 \]

เก็บกวาดต่อครับ

ให้สังเกตว่า

m³n² + m²n³ + m³n + 2m²n² + mn³ = mn(m + n)(mn + m + n)

อาศัยความรู้ที่ว่า (a, ak + b) = (a, b) เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น

1. (m, m²n + mn² + mn + m + n) = (m, m(mn + n² + n + 1) + n) = (m, n) = 1

2. (n, m²n + mn² + mn + m + n) = (n, n(m² + mn + m + 1) + m) = (n, m) = 1

3. (m + n, m²n + mn² + mn + m + n) = (m + n, (m + n)(mn + 1) + mn) = (m + n, mn)

แต่ (m + n, m) = (n, m) = 1 และ (m + n, n) = (m, n) = 1 ดังนั้น (m + n, mn) = 1
(อันนี้อาศัยความรู้ที่ว่า ถ้า (a, b) = 1 และ (a, c) = 1 แล้ว (a, bc) = 1 ครับ)

4. (mn + m + n, m²n + mn² + mn + m + n) = (mn + m + n, m²n + mn²)
= (mn + m + n, mn(m + n))

แต่ (mn + m + n, m) = (m(n + 1) + n, m) = (n, m) = 1 ทำนองเดียวกัน (mn + m + n, n) = 1
และ (mn + m + n, m + n) = (mn, m + n) = 1

ดังนั้น จาก 1. - 4. และ เราจึงได้ผลลัพธ์ที่ต้องการครับผม

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ aaaa:
ข้อ 23. กำหนดให้ \( \{a_n\} \) เป็นลำดับของจำนวนจริงบวกซึ่ง \( \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0 \) จงพิสูจน์ว่า
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{a_1+\sqrt{2}a_2+\cdots+\sqrt{n}a_n}{1+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n}}=0
\]

เก็บกวาดเป็นข้อสุดท้ายแล้ว...เย่

ให้ e เป็นจำนวนจริงบวกใดๆ
เนื่องจาก lim a_n = 0 ดังนั้นจะมีจำนวนนับ N ที่ทำให้ เมื่อ n > N แล้ว a_n < e/2

ให้ \(S_N=a_1+\sqrt2a_2+\dots+\sqrt Na_N\)
เนื่องจาก
\[\lim_{n\to\infty}\frac{S_N}{1+\sqrt2+\dots+\sqrt n}=0\]
ดังนั้นจะมีจำนวนนับ N₁ ที่ทำให้ เมื่อ n > N₁ แล้ว
\[\frac{S_N}{1+\sqrt2+\dots+\sqrt n}<\frac{\epsilon}{2}\]
ให้ N₂ = max(N, N₁)
เราจึงได้ว่า ถ้า n > N₂ แล้วจะทำให้
\[\frac{a_1+\sqrt2a_2+\dots+\sqrt na_n}{1+\sqrt2+\dots+\sqrt n}\]
\[=\left(\frac{S_N}{1+\sqrt2+\dots+\sqrt n}\right)+
\left(\frac{\sqrt{N+1}a_{N+1}+\dots+\sqrt na_n}{1+\sqrt2+\dots+\sqrt n}\right)\]
\[<\frac{\epsilon}{2}+
\left(\frac{\sqrt{N+1}\left(\epsilon/2\right)+\dots+\sqrt n\left(\epsilon/2\right)}{1+\sqrt2+\dots+\sqrt n}\right)\]
\[=\frac{\epsilon}{2}+
\frac{\epsilon}{2}\left(\frac{\sqrt{N+1}+\dots+\sqrt n}{1+\sqrt2+\dots+\sqrt n}\right)
<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon\]
การพิสูจน์ก็ได้จบลงด้วยประการละฉะนี้ครับผม

[nooonuii]

เย้ จบบริบูรณ์ครับ ขออนุญาตปิดกระทู้นะครับ

ขอขอบคุณ สมาชิกทุกท่านที่ช่วยเข้ามาทำให้ที่แห่งนี้มีสีสันครับ

แล้วพบกันใหม่ปีหน้าคร้าบบบบบบ