Qualify Exam

[aaaa]

อยากให้หัวข้อนี้สำหรับข้อสอบ qualify จากหลายๆมหาลัยครับ ใครมีความเห็นที่อยากจะแลกเปลี่ยนขอเชิญ post ได้ครับ

[aaaa]

1. (PSU Qualify Exam 2001) จงแสดงว่าถ้า \( f \) เป็น entire function ซึ่ง \( \text{Re}\;\!f(z)\leq M<\infty \) สำหรับทุก \( z\in\mathbb{C} \) แล้ว \( f\) ต้องเป็นฟังก์ชันค่าคงตัว

[nooonuii]

ตอบข้อ 1

ให้ g(z) = e^f(z) จะได้ว่า g(z) เป็น entire function และ |g(z)|=e^{Re f(z)} < e^M โดย Liouville Theorem จะได้ว่า g(z)เป็นฟังก์ชันคงตัวที่ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น f(z) เป็นฟังก์ชันคงตัวด้วยโดยการเลือก branch ของ logarithm ที่เหมาะสม

[nooonuii]

2. (UMCP August 2003) จงหาฟังก์ชันพหุนาม P ทั้งหมดซึ่งลำดับของการทำซ้ำ
\( P^{n} = PoPo \dots oP\) converge unifomly บน compact subsets ของ \( \mathbb{C} \)

[aaaa]

ผมมองอย่างนี้ครับ image ของ \( f \) อยู่ภายในบริเวณ \( U=\{z:\text{Re}\;\!z\leq M\} \) ซึ่ง simply connected และไม่เท่ากับ \(\mathbb{C}\) ดังนั้นจะมี linear map \( \phi:U\to D \) โดย \( D \) คือ unit disc
ดังนั้น \( \phi\circ f:\mathbb{C}\to D \) โดย Louville's Theorem \( \phi\circ f \) ต้องเป็นค่าคงตัว ดังนั้น \( f \) ต้องเป็นฟังก์ชันค่าคงตัว

[aaaa]

3. (UIUC 2004 Comprehensive Exam) ให้ \( \Omega=\{z:0<|z|<\infty\} \) จงหา analytic function \( f \) ทั้งหมดบน \( \Omega \) ซึ่ง
\[
|f(z)|<\frac{1}{\sqrt{|z|}}+\sqrt{|z|}
\]
ทุก \( z\in\Omega \)

[nooonuii]

เหนือชั้นจริงๆครับคุณ aaaa ข้อ 1 นี่ทำได้หลายวิธีครับ อาจารย์ผมเคยสร้างฟังก์ชันประหลาดให้ดูเหมือนกันครับ แต่ผมจำไม่ได้แล้วว่าสร้างยังไง ที่จำได้ขึ้นใจคือสร้างจาก exponential นี่แหละครับ

[nooonuii]

4. (UMCP August 2002) ให้ P(z) เป็นพหุนามที่มีกำลังมากกว่า 1 โดยที่มีหนึ่งราก (order 1) อยู่นอกวงกลมหนึ่งหน่วย และที่เหลืออยู่ข้างในวงกลมหนึ่งหน่วยทั้งหมด จงแสดงว่า
\[ \int_{|z|=1} \frac{dz}{P(z)} \neq 0 \]

[aaaa]

เฉลยข้อ 2.
ก่อนอื่นเราจะแสดงว่า \( \text{deg}\;\!P(z)<2 \) สมมติว่า \( \text{deg}\;\!P(z)\geq2 \) ดังนั้นมี \( R>1 \) ซึ่ง
\[
|P(z)|>R,\quad|P'(z)|>R
\]
ทุก \( |z|>R \) จากกฏลูกโซ่ได้ว่า \( |(P^{(n)})'(z)|>R^n\to\infty \) เมื่อ \( |z|>R \)

พิจารณากรณี \( \text{deg}\;\!P=1 \) ตรวจสอบได้ไม่ยากว่า \( P(z)=z \) หรือ \( P(z)=cz+a \) โดย \( |c|<1 \)

[nooonuii]

ขอบคุณมากครับ ข้อ 2 ผมติดอยู่นิดหน่อยน่ะครับตรงที่แสดงว่า deg P < 2 แต่ตอนนี้กระจ่างแล้วครับ

[aaaa]

เฉลยข้อ 4.
ให้ \( z=\phi(w)=(w+z_0)/(1-\bar{z_0}w)) \) โดย \( z_0 \) เป็น simple root ของ \( P(z) \) ที่อยู่ภายนอกวงกลม ดังนั้น
\[
\int_{|z|=1}\frac{dz}{P(z)}=\int_{|w|=1}\frac{2dw}{(1-\bar{z}_0w)^2P(\phi(w))}
\]
ซึ่ง 0 เป็นsimple root ของ \( P(\phi(w)) \) โดยไม่มีรากอื่นๆภายในวงกลม \(|w|=1 \) และ \( \displaystyle\lim_{w\to1/\bar{z}_0}P(\phi(w))\neq0 \) ดังนั้นอินทิกรัลไม่เท่ากับศูนย์

[nooonuii]

คุณ aaaa ครับ ข้อ 2 นี่ P(z) = az+b , |a| < 1 น่าจะได้ด้วยนะครับ

[aaaa]

อ่าจริงด้วยครับ ขอบคุณครับ

[nooonuii]

ข้อ 3 f(z) เป็น constant function ครับ

โดยการพิจารณาสัมประสิทธิ์จากการกระจาย Laurent series ของ f(z) จะได้ว่า \( \large{a_{n} = 0} \) ทุกค่า n>0 จากนั้นก็พิจารณา \( \large{f(\frac{1}{z})} \) ต่อ จะได้ว่า \( \large{a_{n} = 0} \) ทุกค่า n<0

[nooonuii]

5. (UMCP Jan 2002) จงหาค่าของ
\[ \large{ \int_{- \pi}^{\pi} \huge{ ( } \frac{\sin{nx}}{\sin{x}} \huge{ ) }^{2} dx } \] n=1,2,...