Qualify Exam

[aaaa]

ใช่แล้วครับ แต่เพิ่มเงื่อนไขด้วยครับว่า \( |f(z)|<2 \)

[nooonuii]

โอ ผมลืมคิดต่อครับ ใช่แล้วต้องมีเงื่อนไขนี้ด้วย ว้าแบบนี้โดนหักคะแนนตรึมเลย

[aaaa]

ุ6. (Temple U 2004) จงหา analytic function \( f \) บน \( \mathbb{C}\setminus\{\pm1\} \) ทั้งหมดซึ่งสอดคล้อง
\[
|f(z)|<\frac{A}{|z-1|}+\frac{B}{|z+1|}
\]
เมื่อ \( A,B>0 \)

[aaaa]

7. (Texas A&M May 2004) ให้ \( f \) เป็น entire function และ \( f(n)=0 \) ทุกจำนวนเต็ม \( n \) จงพิสูจน์ว่า ถ้า
\[
|f(z)|<2004e^{|z|}
\]
สำหรับทุก \( z \) แล้ว \( f\equiv0 \)

[nooonuii]

ลองโจทย์ Real Analysis บ้างมั้ยครับคุณ aaaa

8. (UMCP August 2003) Let f be a measurable function on R which grows at most linearly, i.e. | f(x) | ฃ C |x| for some constant C, and is differentiable at 0, say f ' (0) = a. Show that
\[ \lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{nf(x)}{x(1+n^{2}x^{2})} dx = \pi a \]

[aaaa]

ข้อ 8 นี่มี lim เมื่อ \( n\to\infty \) ด้วยหรือเปล่าครับ

[nooonuii]

มีครับ แก้ให้แล้วครับคุณ aaaa

[aaaa]

เฉลยข้อ 8.
ให้ \( f(x)=ax+g(x) \) โดย \( g(x)/x\to0 \) เมื่อ \( x\to 0\,\,\,\, \) สำหรับ \( \varepsilon>0 \) พิจารณา
\[
\int_{-\varepsilon}^\varepsilon\frac{n(ax+g(x))}{x(1+n^2x^2)}\;\!dx:=I_1+I_2
\]
โดย
\[
I_1=2a\arctan n\varepsilon\to\pi a,\qquad |I_2|\leq\sup_{-\varepsilon<x<\varepsilon}\left|\frac{g(x)}{x}\right|\cdot2\arctan(n\varepsilon)\to0,\quad\text{เมื่อ}\,\,\varepsilon\to0
\]
เทอมที่เหลือ ใช้ DCT และเงื่อนไข \( |f(x)|\leq C|x| \) จะเห็นว่ามันไปสู่ศูนย์เมื่อ \( n\to\infty \)

[nooonuii]

โหยากมากเลยนะเนี่ย ขอบคุณมากครับ ผมคิดจนเหนื่อยเลยครับข้อนี้

9. (UMCP Jan 2002) Find all entire functions f so that the sequence f⁽ⁿ⁾ of nth derivatives converge uniformly on all compacts subsets of C.

[aaaa]

ข้อ 9 ผมได้ว่า \( f^{(n)}(z)\to Ce^z \) แต่ยังหาฟังก์ชัน \( f \) ไม่ได้
มี analysis exam อีกมั้ยครับ สนุกดี

[nooonuii]

อืมครับ ผมคิดว่าน่าจะเป็น polynomial กับ exp แต่ไม่รู้วิธีคิดเหมือนกันครับ

10. (UMCP Jan 2001) Let f be a conformal mapping of a unit disk D = {|z|<1 } so that
f(0)=0 and f'(0) = 1. Show that there is a point z₀ฮ {|z|=1} so that f(z)น z₀ for all zฮ D.

11. ( UMCP August 1998 ) Let E be a measurable subset of [0,1]. Suppose there is a constant c>0 such that m(Eว[a,b])ณ c(b-a) whenever 0ฃaฃ bฃ1 . Prove that m(E) = 1. ( m is the Lebesgue measure)

12. (UMCP August 1998) Find all f(z) analytic on 0<|z|<ฅ so that f(iz) = if(z).

13. (UMCP Jan 1998) (a) Evaluate \( \large{ k = \lim_{n\to\infty}\int_{0}^{\pi} |\sin{nx}| dx } \)
(b) Prove that \( \large{ \lim_{n\to\infty} \int_{a}^{b} |\sin{nx}| dx = \frac{k}{\pi}(b-a) } \)
(c) Prove that \( \large{ \lim_{n\to\infty} \int_{-\infty}^{\infty} |\sin{nx}|f(x) dx = \frac{k}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx } \) for f ฮ L¹(R)

[aaaa]

ที่ผมคิดไว้คือมันต้องเป็น \( P(z)+Ce^z \) โดย \( P(z) \) เป็น polynomial

[nooonuii]

ผมว่าน่าจะเป็นอย่างนี้ด้วยนะครับ P(z) + ae^bz, |b|< 1 or b = 1
ยิ่งคิดก็ยิ่งยากครับข้อนี้

[aaaa]

sorry

[nooonuii]

ตอนนี้ผมคิดข้อ 5 ออกแล้วครับ ใช้ \( \Large { f(z) = \frac{(z^{n}-z^{-n})^{2}}{z(z-z^{-1})^2} } \) อินทิเกรตรอบวงกลมหนึ่งหน่วย ได้คำตอบเท่ากับ 2np ครับ

ส่วนข้อ 6 กับข้อ 7 นี่ยังมึนอยู่เลยครับ ข้อ 7 ดูพอจะมีหวังกว่าข้อ 6 แต่ก็ยังติดอยู่ดีเอ้อ