วารสาร My Maths

[gon]

คุณ warut มีชื่อในฐานะคนค้นพบ Perfect Number บ้างหรือเปล่าครับ.

[warut]

ไม่เค้ยไม่เคยครับ ผมยังไม่โชคดีขนาดนั้นหรอกครับคุณ gon

อ้อ...ผมเพิ่งได้ My Maths เล่ม 2 มาสดๆร้อนๆเลยเมื่อกี้นี่เองครับ

[gools]

พี่ nooonuii เขียนบทความด้วยครับ(ตั้งแต่เมื่อไหร่เนี่ย ) ชื่อบทความคือ "เรียนพีชคณิตจากโจทย์ปัญหาชุดที่ 1"

[R-Tummykung de Lamar]

ใช่อันนี้ไหมครับ ---> คลิก

[warut]

อันนั้นแหละครับ

[nooonuii]

เดี๋ยวจะมีชุดที่สามตามมาเร็วๆนี้ครับ ส่วนชุดที่สี่กำลังหาไอเดียจากแถวๆนี้แหละครับ

[[T]ira[W]]

สำหรับระบบสมการในหน้าแรก
น่าจะใช้การแทนที่ด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิตินะครับ

[warut]

ผมพอจะเห็นแล้วล่ะครับว่าคำตอบของระบบสมการ ข้อ 4. ใน My Maths เล่ม 1 หน้า 29

x³ - 3x = y
y³ - 3y = z
z³ - 3z = x

สามารถตอบติดอยู่ในรูปของฟังก์ชันตรีโกณฯได้ แต่ยังทำไม่ได้เลยครับ คุณ [T]ira[W] หรือ
ใครที่ทำได้แล้วช่วยเฉลยให้หน่อยสิครับ

[gon]

คำตอบในรูปตรีโกณที่คุณ warut ว่ามา เป็นแบบไหนหรือครับ.

[warut]

ทำได้แล้วล่ะครับ คือจริงๆเมื่อคืนยังแทบจะไม่ได้ลองทำเลย พอสังเกตเห็นว่าคำตอบ
สามารถเขียนได้ในรูปฟังก์ชันตรีโกณฯจริงก็รีบมาโพสต์ไว้ก่อนครับ เพราะพอดีมี
อย่างอื่นต้องไปทำก่อน

ให้ x = 2cos t
จะได้ y = x³ - 3x = 8cos³t - 6cos t = 2cos 3t
ทำนองเดียวกันจะได้ z = y³ - 3y = 2cos 9t
และ x = z³ - 3z = 2cos 27t
ดังนั้นเราจึงได้ว่า cos t = cos 27t ที่เหลือก็แก้สมการไปตามระเบียบครับ

[gon]

อ๋อ. เข้าใจแล้วครับ. ที่คุณ warut สมมติให้ x = 2 cos t เพราะคิดแบบนี้หรือเปล่าครับ.
สมมติให้ x = n cos t และ n > 0 แทนลงใน (1) จะได้ว่า
\[n^3 \cos^3 t - 3n \cos t - y = 0 \Rightarrow \cos^3 t - \frac{3}{n^2} \cos t - \frac{y}{n^3} = 0 \]
แต่ \[ \cos^3 t - \frac{3}{4} \cos t - \frac{\cos 3t}{4} = 0 \]
เทียบ 2 สมการจะได้ว่า \[n^2 = 4 \quad, y = \frac{n^3}{4} \cos 3t \]
\[\therefore n = 2 \quad , y = 2\cos 3t \]

งั้นผมเขียนคำตอบทั้ง 27 ชุดไว้จะได้สมบูรณ์นะครับ. ถ้าคำตอบชุดไหนดูน่าจะซ้ำช่วยบอกทีนะครับ.
\[x = 2\cos 0, 2\cos \frac{\pi}{13}, 2\cos \frac{2\pi}{13}, \cdots , 2\cos \frac{12\pi}{13}, 2\cos \pi , 2\cos \frac{\pi}{14} , 2\cos \frac{2\pi}{14} , \cdots 2\cos \frac{13\pi}{14} \]
\[y = 2\cos 0,2\cos \frac{3\pi}{13}, \cdots , 2\cos \frac{39\pi}{14}, \]
\[z = 2\cos 0, 2\cos \frac{9\pi}{13}, \cdots , 2\cos \frac{117\pi}{14}, \]

อืม. เดี๋ยวว่าง ๆ ผมจะลองคิดต่อดูว่ามันจะนำไปสร้างเอกลักษณ์ตรีโกณสวย ๆ อะไรได้บ้าง.

[warut]

คือผมแค่ลองผิดลองถูกเอาน่ะครับ

คิดว่าคำตอบของคุณ gon ที่คิดออกมานั้นครบถ้วนสมบูรณ์แล้วนะครับ
เพราะโจทย์ข้อนี้มีคำตอบ 27 ชุดครับ

[gon]

อ๊ะ ๆ ผมเห็นบ้างแล้ว. แต่ว่ามันเกี่ยวกันไหมนี่ อืม ......

\[\cos^3 \frac{\pi}{13} + \cos^3 \frac{3\pi}{13} + \cos^3 \frac{9\pi}{13} = \frac{\sqrt{13} + 1}{4}\]

[gools]

ในที่สุดก็ได้คำตอบแล้วครับ ขอบคุณมากครับ