เอาโจทย์มาฝาก

[gon]

ของน้อง Far ครับ.
\(\int \sin^2 2x \cos^2 3x dx = \frac{1}{4} \int (2 \sin 2x \cos 3x)^2 dx = \frac{1}{4} \int (\sin 5x - \sin x)^2 dx = \frac{1}{4} \int (\sin^2 5x - 2\sin x \sin 5x + \sin^2 x) dx\)
\(= \frac{1}{4} \int (\frac{1 - \cos 10x}{2} - \cos 4x + \cos 6x + \frac{1 - \cos 2x}{2}) dx = \frac{1}{8} \int (2 - \cos 10x + 2\cos 6x - 2\cos 4x - \cos 2x) dx \)
\(= \frac{1}{8}(2x - \frac{1}{10} \sin 10x + \frac{1}{12} \sin 6x - \frac{1}{8}\sin 4x - \frac{1}{2}\sin 2x) + C \)

[gon]

ข้อความเดิมของคุณ R-Tummykung de Lamar:
ผมเคยเจออันนี้มาครับ e^pึ163 (อย่างน้อยก็มี p ติดอยู่นิดนึงล่ะเนอะ )
เห็นในหนังสือคณิตคิดสนุกบอกว่า มีคนพิสูจน์แล้วว่าได้เลข 9 ซ้ำ เป็นล้านตัว
แต่ผมลองมาตรวจสอบค่ากับ Mathematica ปรากฎว่าค่านี้คือ

262 537 412 640 768 743. 999 999 999 999 250 072 597 198 185 688 879 353 856 337 336 990 862 707 537 410 378 210 647 910 118 607 312 951 181 346 186 064 504 193 083 887 949 753 864 044 905 728 714 477 196 814 852 322 432 039 116 478 291 488 642 282 720 131 178 317 07

ซึ่งออกมาได้ 9 เพียง 12 ตัวเท่านั้น ...จริงเท็จอย่างไรครับ

ได้เท่านั้นล่ะครับ. รามานุจันเองก็เล่นเกี่ยวกับ Pi ไว้ใน Note book ของเขามากมาย เช่น เขาบันทึกไว้ว่า \(e^{\frac{\pi}{4}\sqrt{30}} = 4\sqrt{3}(5 + 4\sqrt{2})\) เป็นต้น. (ค่าประมาณนะครับ.) หรือ \(\pi = \frac{12}{\sqrt{190}} Log(3 + \sqrt{10})(\sqrt{8} + \sqrt{10}) \, \) to 18 dec.

\(e^{\pi \sqrt{22}} = 2508951.9982 \cdots\)
\(e^{\pi \sqrt{37}} = 199148647.999978 \cdots\)
\(e^{\pi \sqrt{58}} = 24591257751.99999982 \cdots\)

(จาก Note Book ของ Ramanujan)

ส่วนหน้าที่บันทึกของ \(e^{\pi \sqrt{163}}\) ยังหาไม่เจอครับ. ไม่รู้ไปอยู่ตรงไหน จำไม่ได้แล้ว

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ <คิดด้วยคน>:
อ้อ แล้วก็รบกวนคุณ warut ด้วยนะครับ ไหนๆก็เสียแรงทำไปแล้ว ช่วยอธิบายแนวคิดวิธีหาสมการพหุนาม ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นเลขจำนวนเต็มสวยๆ ที่มีคำตอบที่ต้องการรวมอยู่ด้วย ได้อย่างไร

ผมไม่มีเทคนิคพิเศษอะไรเลยครับ ก็ให้ x เท่ากับเลขตัวนั้น แล้วก็เริ่มกำจัดรากที่สามออกไปก่อน
ตามด้วยการกำจัดรากที่สอง เสร็จแล้วก็ทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย อาศัยกำลังเป็นหลักนะครับ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ R-Tummykung de Lamar:
ผมเคยเจออันนี้มาครับ $e^{\pi\sqrt{163}}$ (อย่างน้อยก็มี $\pi$ ติดอยู่นิดนึงล่ะเนอะ )
เห็นในหนังสือคณิตคิดสนุกบอกว่า มีคนพิสูจน์แล้วว่าได้เลข 9 ซ้ำ เป็นล้านตัว
แต่ผมลองมาตรวจสอบค่ากับ Mathematica ปรากฎว่าค่านี้คือ

262 537 412 640 768 743. 999 999 999 999 250 072 597 198 185 688 879 353 856 337 336 990 862 707 537 410 378 210 647 910 118 607 312 951 181 346 186 064 504 193 083 887 949 753 864 044 905 728 714 477 196 814 852 322 432 039 116 478 291 488 642 282 720 131 178 317 07

ซึ่งออกมาได้ 9 เพียง 12 ตัวเท่านั้น ...จริงเท็จอย่างไรครับ

สมัยเด็กๆผมก็เคยโดนเพื่อนหลอกเรื่อง $e^{\pi\sqrt{163}}$ เหมือนกันครับ คือเค้าบอกว่ามันเป็นจำนวนเต็ม สมัยนั้นยังไม่มี PC ให้เช็คก็เลยต้องโง่อยู่อย่างนั้นเป็นเวลาหลายปี จริงๆแล้วมันเป็นจำนวนอดิศัย (transcendental number) จึงไม่มีทางเป็นจำนวนเต็มไปได้ แต่มันก็มีค่าใกล้เคียงกับจำนวนเต็มอย่างน่าประหลาดใจ ที่เป็นเช่นนี้ไม่ใช่ความบังเอิญนะครับ แต่คำอธิบายนั้นเกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ขั้นสูง... สูงเกินความเข้าใจของผมไปหลายปีแสงเลยทีเดียว (ถ้าเข้าใจไม่ผิด เรื่องนี้เกี่ยวข้องกับที่ ring of algebraic integers ของ complex quadratic field $\mathbb Q(\sqrt{-163})$ ซึ่งก็คือ $\mathbb Z[(1+\sqrt{-163})/2]$ นั้นเป็น UFD (unique factorization domain) มั้งครับ )

ถ้าชอบเลข 9 เยอะๆลองเอาตัวนี้ไปดูสิครับ $$\sqrt[3]{e^{\pi\sqrt{163}}-744}$$ เป็นตัวที่เจ๋งที่สุดที่ผมรู้จักเลย แล้วก็ไม่ค่อยมีคนรู้จักเหมือน $e^{\pi\sqrt{163}}$ ด้วยนะ

ขอบคุณ ทั้งสองคนมากครับ ที่ให้ความรู้ใหม่อยู่เสมอ

[gon]

สุดยอดครับคุณ warut. 9 บาน เลย ชักสนุกผมจะจำเอาไว้ครับ. ว่าง ๆ จะลองหาดูบ้าง

640319.99999999999999999999999939031735231947012650283553902603366392189960936\
14812458303885354115386

[warut]

ครับ...ดังนั้นเราจึงได้ว่า\[\pi\approx\frac{\ln(640320^3+744)}{\sqrt{163}}\]ถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 30 เชียวนะ