Fighting for TMO12 !!

[Aquila]

แนวแทนค่าปกติ

1.จงหา $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$
$f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+2xy+1$ ทุกจำนวนจริง $x,y$

แนวอสมการมาปน

2.จงพิสูจน์ว่าไม่มีฟังก์ชัน $f:\mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+}$
ที่ทำให้ $(f(x))^2 \geq f(x+y)(f(x)+y)$ ทุกจำนวนจริงบวก $x,y$

แนว NT มาปน

3.จงหา $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}-\left\{\,0\right\}$
ที่ทำให้ $f(1)+f(2)+...+f(n)=f(n)f(n+1)$ ทุก $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก
(ไล่หา $n$ ออกมาเลย แล้วดู $n$ เป็นคู่คี่)

แนวใช้รากมาวิเคราะห์

1.หาพหุนามไม่คงตัว $P$ ทั้งหมดที่ทำให้ $P(x)P(x+1)=P(x^2+x+1)$

2.จงพิสูจน์ว่านอกจาก $P(x)=x^n$ เป็นคำตอบแล้ว ยังมี $P(x)=0$ ทุก $x$
เป็นคำตอบด้วย สมการพหุนามกำหนดโดย $P(x^2-y^2)=P(x-y)P(x+y)$

3.หาพหุนามบนจำนวนจริง $P$ ที่ทำให้ $P(x)P(x+1)=P(x^2)$ ทุกจำนวนจริง $x$

แนวสมการ NT

1.จงหาจำนวนเฉพาะ $p$ ทั้งหมดที่ทำให้ $\frac{2^{p-1}-1}{p}$ เป็น square

2.จงหาคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มทั้งหมดของสมการ $y^2=x^3+x$

3.จงพิสูจน์ว่าทุก prime $p$ สมการ $2^p+3^p=a^n$
ไมมีจำนวนเต็มบวก $a,n$ ที่ใหญ่กว่า 2 เป็นคำตอบ

4.หาผลเฉลยจำนวนเต็มบวกทั้งหมดของ $a^2+b^2=2^n$

[Aquila]

ถ้ามีเวลาว่างค่อยกลับมาดูนะครับ เอา shortlist มาทำซ้ำให้ชัวร์ๆ

Direction ของ Geo

ข้อ 1
1.ไล่ให้ NM'P=180-NCP
2.ไล่ให้ BM'C=BM'N+NM'C=180-BAC
3.เขียนอ้างเหตุผลว่า M'=M

ข้อ 2
1.พิสูจน์จุดจวบกันจากข้อ 1 ต่อไปพิสูจน์ให้ได้ว่า $PO^2-BO^2=PM^2-BM^2$
2.สามเหลี่ยม BMN กับ BPC คล้ายกัน
3.จาก 2 MBBP=BNBC
4.ใช้ Power of point ของ $BO^2-ON^2=BNBC=MBBP$ กับ $PO^2-ON^2=PKPN=PMPB$.
5.เอา 4 มาสรุป 1. ให้ได้

ข้อ 3
APMO 2008 Problem 3 (ไอเดียคล้ายๆกัน)

ข้อ 4
1.แนวโยงไปตัดด้านนอกแล้วไล่ด้าน เพราะงั้น ต่อ BX,AX ชนวงกลมที่ B',A'
2.ต่อ AB' กับ BA' ที่ ชนที่ H ให้เหตุผลว่าจุดนี้ เป็น ortho
3.พิสูจน์ว่า BDKH concyclic แล้วส่งต่อ power of point พยายามพิสูจน์ให้ $HK^2=HL^2$ ให้ได้
4.MKH เท่ากันทุกประการ MLH
(ข้อนี้ยากหน่อย ต้องดูมุมที่เท่ากันดีๆ)

ข้อ 5
1.ให้ M เป็นกึ่งกลาง DC ให้ centroid ของ ACD เป็น G1 และ BDC เป็น G2
2.พยายามใช้ Euler สัดส่วน 2:1 มาพิสูจน์ G1G2 ขนาน H1H2 , G1G2 ขนาน AB

ปล.ข้อ 6 กับ 7 ข้ามไปเลยครับ

[FranceZii Siriseth]

FE1 $f(x)=2x-1$
FE3 แสดง $f(2k)=k$ จาก $f(n+2)+f(n+1)=n+f(2)+f(1)$
แทน $n=2k-1$ จะได้ $ f(2k+1)=k+f(1)$
NT3 พิจารณา $gcd(x,x^2+1)$ ได้ $y=0$ เท่านั้น

[Aquila]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ FranceZii Siriseth

FE1 $f(x)=2x-1$
FE3 แสดง $f(2k)=k$ จาก $f(n+2)+f(n+1)=n+f(2)+f(1)$
แทน $n=2k-1$ จะได้ $ f(2k+1)=k+f(1)$
NT3 พิจารณา $gcd(x,x^2+1)$ ได้ $y=0$ เท่านั้น

$f(x)$ ขาด $-x-1$ กับ $x^2-1$ ไปครับ (มี 3 คำตอบ)

FE3 ตอบ $f(k)=\left\lfloor\,\frac{k}{2}\right\rfloor +(k \pmod 2)a$ บาง $a$

NT3 ถูกแล้วแหละครับ ประมาณนั้น

[FranceZii Siriseth]

ข้อ FE3 ผมตอบแบบนั้นได้หรือเปล่าครับ
ส่วนข้อ 1 สะเพร่าเองครับ T_T

[Aquila]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ FranceZii Siriseth

ข้อ FE3 ผมตอบแบบนั้นได้หรือเปล่าครับ
ส่วนข้อ 1 สะเพร่าเองครับ T_T

ได้เหมือนกันครับ เศษในมอดุโล 2 เขียนออกมาก็เหมือนกัน

ส่วนข้อ 1 ที่ผมเอามาเพราะอยากให้ระวังพวกคำตอบหลุดๆไประหว่างทดนี่แหละครับ

ตอนนี้ผมค่อนข้างมั้นใจว่าข้อสอบ FE ที่กำลังจะมาถึง

ไม่น่าจะใช้อะไรหวือหวาไปกว่าการแทนค่าครับ (แค่ความรู้สึกผมนะ)
-----------------------------------------------------
Direction FE

ข้อ 3
1.เขียนใหม่เป็น $f(x)-f(x+y) \geq \frac{f(x)y}{f(x)+y}$
2.แทน $x$ เดิมด้วย $x+\frac{k}{n}$ ที่ทำแบบนี้เพราะจะให้ $f(x)-f(x+y)$ telescopic กัน
โดยการ take $k=0,1,...,n-1$
3.แทนใหม่ $f(x+\frac{k}{n})-f(x+\frac{k+1}{n}) \geq \frac{f(x+\frac{k}{n})\frac{1}{n}}{f(x+\frac{k}{n})+\frac{1}{n}}$
4.ตรงก้อนๆเศษส่วน เราต้องพยายาม bound ไปชนค่าคงตัวดีๆสักค่า
เราเลือกให้ $n$ เป็นค่าที่ทำให้อสมการนี้เป็นจริง $\frac{f(x+\frac{k}{n})\frac{1}{n}}{f(x+\frac{k}{n})+\frac{1}{n}} > \frac{1}{2n}$
5.take $k=0,1,...,n-1$ จับบวกกันได้อสมการมาอันนึง take $m$ such $m \geq 2f(x)$ เพื่อที่ว่า
$f(x)-f(x+m)=f(x)-f(x+1)+...+f(x+m-1)-f(x+m) > \frac{m}{2} \geq f(x)$
contradiction!

Note: สังเกตดูว่าโจทย์แนว prove that no function พวกนี้จะต้องสร้างข้อมูลมาทำข้อขัดแย้ง
ส่วนรายละเอียดเวลาสร้างข้อมูลก็อยู่รอบๆสมการที่มันให้มานั่นแหละ

แนวนี้ผมเอามาให้ไว้กันเหนียวนะครับ ไม่ต้องซีเรียส ถ้ามันจะมีพวกพิสูจน์ว่าไม่มีฟังก์ชัน
มันน่าจะออกเป็น equation มากกว่า inequalities

--------------------------------------------------------
Direction NT(2)

ข้อ 1
1.แยก $p$ even ออกไปก่อน ต่อไปสนใจ $p$ odd
2.เขียนสมการใหม่เป็น $\frac{(2^{\frac{p-1}{2}}+1)(2^{\frac{p-1}{2}}-1)}{p}$
3.พิสูจน์ว่าตัววงเล็บข้างบน p ในข้อ 2 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน (มี q หาร ทั้งคู่ลง เป็นไปไม่ได้)
4.ดู $\frac{2^{\frac{p-1}{2}}+1}{p}$ พิสูจน์ว่า $(\frac{2^{\frac{p-1}{2}}+1}{p},2^{\frac{p-1}{2}}-1)=1$
(สมมติมี $t$ หารทั้งคู่ลง แล้วใช้ congruence prove ว่าเป็นไปไม่ได้)
5.จาก gcd ข้างบนสรุปว่าทั้ง $\frac{2^{\frac{p-1}{2}}+1}{p}$ และ $2^{\frac{p-1}{2}}-1$
ต้องเป็น square เหมือนกัน
6.ให้ $2^{\frac{p-1}{2}}-1=(2k+1)^2$ กระจาย วิเคราะห์ออกมาจะได้ $\frac{p-1}{2} < 2$
7.ได้ $p=3$ เป็นหนึ่งคำตอบ อีกอันให้ $2^{\frac{p-1}{2}}+1=(2m+1)^2$ กระจาย
วิเคราะห์ตัวประกอบดูจะเห็นว่า $m=1$ แก้ได้ $p=7$ อีกคำตอบ

ข้อ 2
1.ดู $a,b$ จะเห็นว่าต้อง both odd or even
2.case odd เอา modulo 4 มาวิเคราะห์จะเห็นว่า $n=1$ therefore $a=b=1$
3.case even ให้ $k$ เป็นเลขใหญ่สุดที่ $2^{k}$ หาร $a,b$ ลง สมการนี้
$(\frac{a}{2^k})^2+(\frac{b}{2^k})^2=2^{n-2k}$ จะบังคับว่า $(a,b,n)=(2^k,2^k,2k+1)$

ข้อ 3
1.แบ่ง p odd p even ก่อน แยกตัว even ออกไป
2.สำหรับ p odd $5 \mid 2^p+3^p$ ได้ $5 \mid a^n$ วิเคราะห์ต่อได้ $25 \mid 2^p+3^p$
3.จากข้อมูลสุดท้าย มองเป็น $(5-2)^p+2^p=5p2^{p-1}+25k$ บาง $k$ (binomial กระจาย)
4.มันจะได้ $5 \mid p2^{p-1}$ จะบังคับว่า $p=5$ เอาไปเชคกับ $a^{n}$ ได้เลย

[Thgx0312555]

มีใครไปแข่ง TMO บ้างครับ แล้วก็สอบวันไหนครับ

[FranceZii Siriseth]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

มีใครไปแข่ง TMO บ้างครับ แล้วก็สอบวันไหนครับ

10-14 ครับ

[Thgx0312555]

เดี๋ยวฝากโจทย์ไว้ข้อนึงครับ

จงหาฟังก์ชัน $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ
$f(1+xy)-f(x+y)=f(x)f(y)$ สำหรับทุก $x,y \in \mathbb{Z}$
และ $f(-1) \neq 0$

[Aquila]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

เดี๋ยวฝากโจทย์ไว้ข้อนึงครับ

จงหาฟังก์ชัน $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ
$f(1+xy)-f(x+y)=f(x)f(y)$ สำหรับทุก $x,y \in \mathbb{Z}$
และ $f(1) \neq -1$

ตรงนี้เงื่อนไขมันต้องเป็น $f(-1)$ ไม่เท่ากับ $0$ หรือเปล่า

[Thgx0312555]

#Aquila ตามนั้นครับ
คุณ Aquila เคยเห็นโจทย์มาเยอะจริงๆนะครับ

[Aquila]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

#Aquila ตามนั้นครับ
คุณ Aquila เคยเห็นโจทย์มาเยอะจริงๆนะครับ

ทางนั้นก็ขอให้โชคดีนะครับ ดื่มด่ำกับบรรยากาศแข่งขันให้เต็มที่

บางช่วงชีวิตแก่ตัวไปแล้วดึงความรู้สึกดีๆกลับมาไม่เหมือนเดิม

ผมแก่แล้วคงเป็นกำลังใจให้ได้แค่ตรงนี้

สู้ๆนะครับ ทั้งสองคนเลย

[FranceZii Siriseth]

Set $P(x,y):f(1+xy)-f(x+y)=f(x)f(y)$

$P(1,-1) :f(1)f(-1)=0$ ดังนั้น $f(1)=0$

$P(x,0) : f(1)-f(x)=f(x)f(0)$

$f(x)=0$ , หรือ $f(0)=-1$

กรณี $f(0)=-1$ ให้ $g(x)+x-1=f(x)$ ยัดกลับเลยครับ

ได้ $g(1+xy)+g(x)+g(y)=g(x)g(y)+g(x+y)+xg(y)+yg(x)$ แทน $y=1$

$g(1+x)=g(x)$ , $g(x)$ มีคาบ $=1$ เนื่องจากโดเมนเป็น $\mathbb{Z}$ ได้ $g(x)=0$

ตอบ $f(x)=0,x-1 \forall x \in \mathbb{Z}$

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Aquila

ทางนั้นก็ขอให้โชคดีนะครับ ดื่มด่ำกับบรรยากาศแข่งขันให้เต็มที่

บางช่วงชีวิตแก่ตัวไปแล้วดึงความรู้สึกดีๆกลับมาไม่เหมือนเดิม

ผมแก่แล้วคงเป็นกำลังใจให้ได้แค่ตรงนี้

สู้ๆนะครับ ทั้งสองคนเลย

เเหมือนกันเลยครับ ผมก็แก่แล้ว

พอกลับไปคิดถึงตอนนั้นแล้วคิดถึงสุดๆ เลยครับ

เก็บช่วงเวลา ดีๆ ไว้เยอะะนะครับไม่ว่าผลการแข่งขันจะออกมาเป็นยังไง

เป็นกำลังใจให้ครับ

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ FranceZii Siriseth

Set $P(x,y):f(1+xy)-f(x+y)=f(x)f(y)$

$P(1,-1) :f(1)f(-1)=0$ ดังนั้น $f(1)=0$

$P(x,0) : f(1)-f(x)=f(x)f(0)$

$f(x)=0$ , หรือ $f(0)=-1$

กรณี $f(0)=-1$ ให้ $g(x)+x-1=f(x)$ ยัดกลับเลยครับ

ได้ $g(1+xy)+g(x)+g(y)=g(x)g(y)+g(x+y)+xg(y)+yg(x)$ แทน $y=1$

$g(1+x)=g(x)$ , $g(x)$ มีคาบ $=1$ เนื่องจากโดเมนเป็น $\mathbb{Z}$ ได้ $g(x)=0$

ตอบ $f(x)=0,x-1 \forall x \in \mathbb{Z}$

คำตอบไม่ครบนะครับ

ans

$f(x) = \cases{1 & , x \equiv 2 \pmod 3 \cr 0 & , x \equiv 1 \pmod 3 \cr -1 & , x \equiv 0 \pmod 3} $

คำตอบ $f(x)=0$ ใช้ไม่ได้เพราะ $f(-1) \neq 0$