Expect Value

[JamesCoe#18]

ช่วยอธิบายการใช้ Expect Value

ในการคำนวนทีคับคือ งงๆคับ

อย่างมีโจทย์ให้หาค่า Expect Value ของ

การทอดลูกเต๋า 2 ลูก

[nooonuii]

expected value ก็คือค่าเฉลี่ยไงครับ

ถ้าเรามีชุดจำนวนจริงอยู่ $n$ ตัว คือ $x_1,x_2,...,x_n$

แล้วสุ่มหยิบมาทีละตัว ถ้าเราให้ความน่าจะเป็นที่จะได้จำนวนแต่ละตัวมีค่าเท่ากันหมด คือ $\dfrac{1}{n}$

เมื่อเราทำการทดลองสุ่มไปเรื่อยๆให้มีจำนวนครั้งมากๆ เราจะได้ว่า ค่าเฉลี่ยของจำนวนที่เราหยิบขึ้นมาจะมีค่าเป็น

$\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$

คราวนี้ถ้าความน่าจะเป็นที่เราจะหยิบได้จำนวนแต่ละตัวมีค่าไม่เท่ากัน เช่น

โอกาสที่จะได้ตัวแรกมีค่าเป็น $\dfrac{1}{2}$ ส่วนตัวที่เหลือมีโอกาสที่จะได้เท่ากันคือ $\dfrac{1}{2(n-1)}$

ถ้าเราสุ่มหยิบไปเรื่อยๆค่าเฉลี่ยของจำนวนที่จะได้จะกลายเป็น

$\dfrac{x_1}{2}+\dfrac{x_2}{2(n-1)}+\cdots+\dfrac{x_n}{2(n-1)}$

ในกรณีทั่วไปถ้าความน่าจะเป็นที่จะสุ่มหยิบได้ $x_i$ มีค่าเป็น $p_i$ เมื่อ $p_1+\cdots + p_n=1$

เราจะได้ว่าค่าเฉลี่ย(หรือค่าคาดหวัง) ของจำนวนที่เราจะสุ่มได้ ก็คือ $p_1x_1+p_2x_2+\cdots+p_nx_n$

แต่โจทย์ที่ถามมาหาค่าคาดหวังไม่ได้ครับ เพราะเป็นแค่การทดลองสุ่ม รู้แค่ความน่าจะเป็นแต่ไม่รู้ค่าของผลการทดลองครับ

ถ้ากำหนดค่าให้กับผลการทดลองด้วยก็จะหาค่าคาดหวังได้เช่น

สมมติว่าเราเล่นเกมทอดลูกเต๋า 2 ลูก แล้วกำหนดกติกาว่า

ถ้าผลรวมของแต้มมากกว่า $7$ เราได้ $1$ คะแนน

ถ้าผลรวมของแต้มน้อยกว่าหรือเท่ากับ $7$ เราเสีย $1$ คะแนน

แบบนี้หาค่าคาดหวังได้ครับ

หลักการนี้สามารถนำไปวิเคราะห์การเล่นพนันได้ครับ

ว่าถ้าเล่นไปเรื่อยๆแล้วเราจะได้หรือเสีย

ซึ่งการพนันแทบจะทั้งหมดจะให้ค่าคาดหวังเป็นลบครับ

นั่นหมายความว่าถ้าเราเล่นไปเรื่อยๆโอกาสที่เราจะเสียจะมีมากกว่าได้ครับ

เพราะฉะนั้นแนะนำว่าไม่ควรเล่นการพนันทุกชนิดครับ

เกมที่ให้ค่าคาดหวังเป็นศูนย์เราจะเรียกว่า Fair Game

ซึ่งเป็นเกมที่โอกาสที่ผู้เล่นทั้งสองฝ่ายจะแพ้หรือชนะได้เท่าๆกัน

แต่ Fair Game ไม่มีในการพนันทั่วไปครับ อันนี้ขอเตือน

[JamesCoe#18]

ออขอบคุณมากคับพอดีตอนนี้เรียนดิสครีตแมทคับ

โดยส่วนตัวไม่รู้เรื่องการพนันเลยคับเพราะ

ไม่ได้เล่นคับ