ข้อสอบ ijso ครั้งที่ 6

[wasu]

ทำไม่ได้ช่วยแนะนำหน่อยครับ
8. ถ้า a,b,c,และd เป็นค่าคงตัวที่ทำให้ระบบสมการ ax+by=p
cx+dy=q
มีผลเฉลยที่ต่างกันอย่างน้อย 2 ชุดแล้ว ข้อใดถูกต้อง
ก. ad=bc ข. ad+bc=pq ค. aq=cp ง.bq=dp

9. ถ้าb เป็นค่าคงตัวซึ่งมีค่าคงตัวaเพียงค่าเดียวเท่านั้น ที่ทำให้จุดยอดของ พาราโบลา
y=x^2-2ax+2a^2 อยู่บนเส้นตรง y=z-b แล้ว b มีค่าเท่ากับข้อใด

10. x^2+6x+6/x+1/x^2 มีค่าต่ำสุดเท่าใด
ขอบคุณทุกท่านครับ

[กิตติ]

$x^2+6x+\dfrac{6}{x}+\dfrac{1}{x^2} $
ลองแปลง
$= x^2+\dfrac{1}{x^2}+6(x+\dfrac{1}{x})$

$=(x+\dfrac{1}{x})^2-2+6(x+\dfrac{1}{x})$

$=(x+\dfrac{1}{x})^2+6(x+\dfrac{1}{x})+9-11$

$=\left\{\,(x+\dfrac{1}{x})+3\right\}^2-11 $

ถ้าค่าของ$x$ถูกกำหนดว่าเป็นจำนวนจริง เราจะได้ว่า$x^2\geqslant 0$ ดังนั้น $\left\{\,(x+\dfrac{1}{x})+3\right\}^2$ มีค่าต่ำสุดคือ $0$
ดังนั้น $\left\{\,(x+\dfrac{1}{x})+3\right\}^2-11 $ มีค่าต่ำสุดคือ $-11$

[กิตติ]

9. ถ้าb เป็นค่าคงตัวซึ่งมีค่าคงตัว $a$ เพียงค่าเดียวเท่านั้น ที่ทำให้จุดยอดของ พาราโบลา
$y=x^2-2ax+2a^2$ อยู่บนเส้นตรง $y=z-b$ แล้ว $b$ มีค่าเท่ากับข้อใด

เวลาเขียนLateX......ใส่เครื่องหมายสตริง( เอสมีขีดกลาง ) ก่อนประโยคและปิดประโยค
เหมือนเขียนโค้ดครับ
ไม่แน่ใจว่าสมการพาราโบลาเป็น $y=x^2-2ax-2a^2$ หรือเปล่าครับ
และสมการเส้นตรงใช่ $y=x-b$ หรือเปล่าครับ เพราะในกระทู้ของเวปวิชาการภาพมันไม่ชัด
$y=x^2-2ax+2a^2$
$y-a^2 = (x^2-2ax+a^2) =(x-a)^2$
จุดยอดของพาราโบลาอยู่ที่ จุด$(a,a^2)$ ซึ่งอยู่บนเส้นตรง $y=z-b$
$z-b=a^2 \rightarrow z=a^2+b$
ลองเช็คโจทย์ดูก่อนไหมครับ

[กิตติ]

8. ถ้า a,b,c,และd เป็นค่าคงตัวที่ทำให้ระบบสมการ
$ax+by=p$
$cx+dy=q$
มีผลเฉลยที่ต่างกันอย่างน้อย 2 ชุดแล้ว ข้อใดถูกต้อง
ก. ad=bc ข. ad+bc=pq ค. aq=cp ง.bq=dp

$ax+by=p$.......(1)
$cx+dy=q$.......(2)
$acx+bcy = pc$
$acx+ady = qa$
$y(bc-ad) = pc-qa$
$y= \frac{pc-qa}{bc-ad} $
ปกติสมการสองตัวแปร คือสมการเส้นตรง จะตัดกันเพียงจุดเดียว คือมีค่า$x,y$ เพียงชุดเดียวเป็นคำตอบ ยกเว้นว่าเป็นสมการเส้นตรงเส้นเดียวกันที่จะมีจำนวนคำตอบเป็นอนันต์ชุด
ถ้า$ad=bc$ คือ $bc-ad =0$

สำหรับค่า$x$ แก้สมการได้ค่า$x(ad-bc) = dp-bq$ ก็ได้คำตอบเป็นอนันต์เมื่อ $ad=bc$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

$ax+by=p$.......(1)
$cx+dy=q$.......(2)
$acx+bcy = pc$
$acx+ady = qa$
$y(bc-ad) = pc-qa$
$y= \frac{pc-qa}{bc-ad} $

ข้อนี้ตอบได้สองข้อครับ

จากสมการนี้ $y(bc-ad) = pc-qa$ ที่คุณกิตติแสดงไว้เราจะได้ข้อสรุปว่า

$ad=bc$ และ $pc=qa$

ถ้าคู่ใดคู่หนึ่งไม่เท่ากันแล้วเป็นไปไม่ได้ที่จะมีคำตอบมากกว่าหนึ่งชุด

[กิตติ]

จากที่คุณNoooNuiiช่วยดูให้ ขอบคุณมากครับ ถ้าอย่างนั้นก็ต้องเพิ่มในกรณีของค่า$x$ด้วยหรือเปล่าครับว่า
"$dp=bq$" ซึ่งจริงๆก็มาจาก
$ad=bc \rightarrow \frac{a}{c} =\frac{b}{d} $
และ $pc=qa \rightarrow \frac{p}{q}= \frac{a}{c} \rightarrow \frac{p}{q}=\frac{b}{d}$
จะได้ว่า $dp=bq$

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

$x^2+6x+\dfrac{6}{x}+\dfrac{1}{x^2} $
ลองแปลง
$= x^2+\dfrac{1}{x^2}+6(x+\dfrac{1}{x})$

$=(x+\dfrac{1}{x})^2-2+6(x+\dfrac{1}{x})$

$=(x+\dfrac{1}{x})^2+6(x+\dfrac{1}{x})+9-11$

$=\left\{\,(x+\dfrac{1}{x})+3\right\}^2-11 $

ถ้าค่าของ$x$ถูกกำหนดว่าเป็นจำนวนจริง เราจะได้ว่า$x^2\geqslant 0$ ดังนั้น $\left\{\,(x+\dfrac{1}{x})+3\right\}^2$ มีค่าต่ำสุดคือ $0$
ดังนั้น $\left\{\,(x+\dfrac{1}{x})+3\right\}^2-11 $ มีค่าต่ำสุดคือ $-11$

แล้วถ้าโจทย์เปลี่ยนเป็น $x^2+2x+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2} $ จะมีค่าต่ำสุดเท่าใด

ลองคิดเล่นๆครับ ไว้ตรวจสอบหลักคิดไม่มีอะไรมาก

[กิตติ]

$x^2+2x+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2} $
ผมคิดได้ $-3$
ท่านหยินหยางครับ....ไม่ทราบว่าแนวคิดของผมมีตรงไหนไม่ถูกบ้างครับ
ช่วยชี้แนะด้วยครับ

[~ArT_Ty~]

ถูกแล้วครับ

ผมก็ได้ -3

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

$x^2+2x+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2} $
ผมคิดได้ $-3$
ท่านหยินหยางครับ....ไม่ทราบว่าแนวคิดของผมมีตรงไหนไม่ถูกบ้างครับ
ช่วยชี้แนะด้วยครับ

ผมคิดว่า คุณหยินหยาง พยายามจะสื่อให้ check การเกิดขึ้นจริงของค่าต่ำสุดด้วยครับ

เพราะ $x^2+2x+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2} = (x+\frac{1}{x}+1)^2-3 \geq -3 $ บอกแต่เพียงว่า ค่าที่โจทย์ถาม มากกว่าหรือเท่ากับ -3 เสมอ แต่รู้ได้อย่างไรว่าจะเกิด -3 จริง

สมมติว่า ข้อนี้มี ค่าต่ำสุดเป็น -3 จริง แสดงว่า $ x+\frac{1}{x}+1 =0 $ ซึ่งเท่ากับว่า x ไม่เป็นจำนวนจริง

ดังนั้น ถ้าจะตอบข้อนี้ในระบบจำนวนจริง ต้องรู้ว่า $x+\frac{1}{x}$ เป็นค่าใดได้บ้าง ถึงจะสรุปค่าต่ำสุดที่แท้จริงได้ครับ

ส่วนข้อก่อนหน้า มันไม่มีปัญหาเพราะมี จำนวนจริง x ที่ให้ค่าต่ำสุด -11 จริง

[wasu]

ขอบคุณทุกท่านที่สั่งสอนครับ ส่วนข้อ 9 ยืนยันโจทย์จาก pratabong.com

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

$x^2+2x+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2} $
ผมคิดได้ $-3$
ท่านหยินหยางครับ....ไม่ทราบว่าแนวคิดของผมมีตรงไหนไม่ถูกบ้างครับ
ช่วยชี้แนะด้วยครับ

ก่อนอื่นต้องขอบคุณ คุณ passer-by ที่ช่วยแนะนำครับ คุณ passer-by พูดถูกครับคือผมต้องการจะสื่อว่า การที่คุณ กิตติ ใช้หลักคิดที่ว่า $(x+\frac{1}{x}+k)^2 \geqslant 0$ นั้นไม่จริงเสมอไปสำหรับทุก k ครับ แต่บังเอิญโจทย์ข้อก่อนหน้านี้มันเป็นจริง และก็อย่างที่คุณ passer-by อธิบายว่าต้องรู้ว่าในระบบจำนวนจริง $x+\frac{1}{x}\geqslant ...$ เมื่อ x เป็นจำนวนจริงบวก และ
$x+\frac{1}{x}\leqslant ...$ เมื่อ x เป็นจำนวนจริงลบ
และถ้าอยากรู้ว่าข้อนี้ผิดหรือไม่ลองใช้ดิฟดูครับ ก็จะรู้ว่าถูกหรือผิด

[nooonuii]

$x^2+2x+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2} $

ให้ $t=x+\dfrac{1}{x}$ จะได้ว่าเราต้องหาค่าต่ำสุดของ

$t^2+2t-2$ เมื่อ $|t|\geq 2$

ฟังก์ชัน $f(t)=t^2+2t-2$ มีกราฟเป็นพาราโบลาหงาย มีจุดยอดอยู่ที่ $(-1,-3)$

ถ้า $t\geq 2$ จะได้ว่า $f(t)\geq f(2)=6$ เนื่องจาก $f$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มในช่วงนี้

ถ้า $t\leq -2$ จะได้ว่า $f(t)\geq f(-2)=-2$ เนื่องจาก $f$ เป็นฟังก์ชันลดในช่วงนี้

ดังนั้นค่าต่ำสุดของ $x^2+2x+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2} $ คือ $-2$

สมการเกิดขึ้นเมื่อ $x=-1$

ลองวาดกราฟแล้วจะเห็นทุกอย่างกระจ่างขึ้นครับ

[กิตติ]

เมื่อคืนนี้ผมน็อคหลับตั้งแต่สองทุ่มเลยไม่ได้เข้ามาอ่าน คิดแล้วว่าจะได้ความรู้จากซือแป๋
ขอบคุณซือแป๋หยินหยาง,คุณPasser-byและคุณNoooNuii
ถ้าอย่างนั้น ในการใช้ความรู้ระดับมัธยมต้นซึ่งไม่มีเรื่องของแคลคลูลัส เราพอจะช่วยเช็คคำตอบที่เราอนุมานว่าน่าจะใช่อย่างที่ผมอนุมานไว้แล้วบังเอิญมันไปตรงกับค่าต่ำสุดที่เกิดจากใช้แคลคลูลัสเช็คยังไง ผมคิดว่าน้องๆม.ต้นเข้ามาอ่านคงงงเหมือนกัน แต่ก็ดีครับ น้องๆจะได้รู้ว่าจริงๆบางอย่างมันได้คำตอบตรงเพราะมันบังเอิญตรงล็อค
วันก่อนผมไปโหลดหนังสือเล่มหนึ่งของซีรีย์ Dolciani Mathematical Expositions เรื่อง Maximum and minimum without Calculus ยังไม่ได้อ่้าน ไม่รู้ว่าพอจะเป็นเครื่องมือช่วยได้บ้างไหมครับ

[nooonuii]

จริงๆแล้ววิธีของผมใช้แค่วาดกราฟพาราโบลาก็ได้แล้วครับ

แต่ผมเลือกเขียนด้วยภาษาฟังก์ชันมากเกินไป