Algebra

[BLACK-Dragon]

เจอในหนัง พีชคณิต ของ สอวน.

1.จงหาจำนวนเต็ม $a$ ที่ทำให้ $x^2-x+a$ เป็นตัวประกอบของ $x^{13}+x+90$

My conjecture

ผมคิดว่าน่าจะเป็น $-2,-6,-90$ แต่แทนแล้วไม่จริงอ่ะครับ

[-SIL-]

ลองแยกตัวประกอบของ $x^{13}+x+90$ ใน http://www.wolframalpha.com/input/?i...^{13}%2Bx%2B90 ดูสิครับ

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -SIL-

ลองแยกตัวประกอบของ $x^{13}+x+90$ ใน http://www.wolframalpha.com/input/?i...^{13}%2Bx%2B90 ดูสิครับ

แล้วพอจะมี solution ไหมครับ

[LightLucifer]

คิดแบบเกรียน ให้ดูดี 55+
เห็นได้ชัดว่า $a|90$
ให้ $P(x)=x^{13}+x+90$
ถ้า $(x^2-x+a)|P(x)$ จะได้ว่ามี พหุนาม $Q(x)$ ดีกรี $11$ ซึ่ง $P(x)=(x^2-x+a)(Q(x))$
แทน $x$ ด้วย $1$
$92=P(1)=(a)Q(1)$
จะได้ว่า $a|92$ นั่นคือ $a|gcd(90,92) \rightarrow a|2$
จะได้ $a=-1,1,-2,2$
ถ้า $a=1$ จะได้ รากของ $x^2-x+a$ คือ $cos\frac{-2\pi}{3}\pm isin\frac{-2\pi}{3}$ เมื่อเอาไปทนใน $P(x)$ แล้วไม่จริง
ถ้า $a=-1$ คิดไม่ออกครับ หารยาวเช็คเลย 55+
ถ้า $a=-2$ จะได้ $x^2-x-a=(x-2)(x+1)$ ซึ่ง $-1,2$ ไม่เป็นรากของ $P(x)$ นั่้นคือไม่จริง
ถ้า $a=2$ คิดไม่ออกครับ หารยาวเช็คเลย 55+

[gon]

$$Q(x)=\frac{x^{13}+x+90}{x^2-x+a}$$
แทน x = 2 แล้ว $Q(2) = \frac{2^{13}+2+90}{a+2}$

แต่เนื่องจาก $2^2 \equiv 1 mod 3$ ดังนั้น $2^{13}+2 \equiv 2+2 mod 3 \equiv 1 mod 3$ แล้ว $a\ne 1$

แทน x = 3 แล้ว $Q(3) = \frac{3^{13}+3+90}{a+6}$

แต่เนื่องจาก $3^2 \equiv -1 mod 5$ ดังนั้น $3^{13}+3 \equiv 3+3 mod 5 \equiv 1 mod 5$ แล้ว $a\ne -1$

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

$$Q(x)=\frac{x^{13}+x+90}{x^2-x+a}$$
แทน x = 2 แล้ว $Q(2) = \frac{2^{13}+2+90}{a+2}$

แต่เนื่องจาก $2^2 \equiv 1 mod 3$ ดังนั้น $2^{13}+2 \equiv 2+2 mod 3 \equiv 1 mod 3$ แล้ว $a\ne 1$

แทน x = 3 แล้ว $Q(3) = \frac{3^{13}+3+90}{a+6}$

แต่เนื่องจาก $3^2 \equiv -1 mod 5$ ดังนั้น $3^{13}+3 \equiv 3+3 mod 5 \equiv 1 mod 5$ แล้ว $a\ne -1$

ไม่ค่อยเข้าใจอ่ะครับ ช่วยอธิบายหน่อยครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

ไม่ค่อยเข้าใจอ่ะครับ ช่วยอธิบายหน่อยครับ

$Q(x)=\frac{x^{13}+x+90}{x^2-x+a}$

ถ้า $x^2-x+a$ เป็นตัวประกอบของ $x^{13}+x+90$ แล้วจะได้ Q(x) เป็นพหุนามกำลัง 11 บนจำนวนเต็ม (คือมี ส.ป.ส.ของ x กำลังต่าง ๆ เป็นจำนวนเต็ม)

ดังนั้น ถ้าแทน x ด้วย จำนวนเต็มใด ๆ แล้ว Q(x) ก็จะเป็นจำนวนเต็มด้วย นั่นคือ Q(2), Q(3) ก็จะต้องเป็นจำนวนเต็มด้วย นั่นคือ $\frac{2^{13}+2+90}{a+2}$ กับ $\frac{3^{13}+3+90}{a+6}$ จะต้องเป็นจำนวนเต็ม

หมายเหตุ , ผมทำต่อจากของคุณ LightLucifer เมื่อเรารู้ว่า a ที่เป็นไปได้ในเบื้องต้นคือ $a=\pm1, \pm2$ จากนั้นตัดค่า a ที่เป็นไปไม่ได้ออกคือ $a = -2, 1, -1$ ตามลำดับ โดยไม่ใช้ความรู้เรื่องจำนวนเชิงซ้อน (ทฤษฎีบทเดอมัวร์) ตอนตรวจสอบ

[kongp]

ระวังเรื่อง error เนื่องจากการปัดเศษหรือเปล่าครับแบบนี้ ระบบจำนวนเต็มเนี่ย

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

จงหาจำนวนเต็ม $a$ ที่ทำให้ $x^2-x+a$ เป็นตัวประกอบของ $x^{13}+x+90$

เป็นโจทย์คลาสสิกอีกข้อ เจอบ่อยมาก

$x^{13}+x+90=(x^2-x+a)P(x)$

แทนค่า $x=0;\ \ \ a|90$

แทนค่า $x=1;\ \ \ a|92$

แทนค่า $x=-1;\ \ \ a+2|88$

$\therefore a=-1,2$

แต่ $x^{13}+x+90$ ไม่มีรากที่เป็นจำนวนจริงบวก ดังนั้น $a\not=-1$

ก็เหลือแค่ตรวจคำตอบแล้วครับ

[kongp]

วิธีเช็คย่าน + - ใช้ไม้ได้แล้วหรือครับ ทำไม? ช่วยไขก็ดีครับ

[BLACK-Dragon]

1.ถ้า $a$ เป็นจำนวนจริงซึ่ง $0<a<\frac{1}{4}$ จงหารากจริงของสมการ

$$x^2+2ax+\frac{1}{16}=-1+\sqrt{a^2+x-\frac{1}{16}}$$

2.จงหารากของสมการกำลังสาม $x^3+3x^2-3x-11=0$ โดยกระบวนการคาร์ดาน

รบกวนหน่อยครับ

ผมหารากหนึ่งได้คือ $\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$ แค่รากเดียวอ่ะครับ

ผมก็คิดว่ามันขาดอีก 2 รากแต่ผมหาไม่เป็นอ่ะครับ

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

2.จงหารากของสมการกำลังสาม $x^3+3x^2-3x-11=0$ โดยกระบวนการคาร์ดาน

รบกวนหน่อยครับ

ผมหารากหนึ่งได้คือ $\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$ แค่รากเดียวอ่ะครับ

ผมก็คิดว่ามันขาดอีก 2 รากแต่ผมหาไม่เป็นอ่ะครับ

จริงๆเเล้ว ค่าของ $x$ ที่ผมหาได้มันได้ $$x=\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}+1 $$
เเต่อีก 2ค่า ผมจับหารสังเคราะห์เลยเเล้ว ใช้สูตรสมการกำลังสองอีกที
เลยไ้ด้ $$x=\frac{2+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\pm \sqrt{3(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})^2-24}i}{2}$$

[จูกัดเหลียง]

เอ่อ... เเล้วข้อ 1.นี่ x เป็นจำนวนจริงปะครับ
ถ้าเป็นจำนวนจริง ผมอยากจะบอกว่ามัน...ไม่มี

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

เอ่อ... เเล้วข้อ 1.นี่ x เป็นจำนวนจริงปะครับ
ถ้าเป็นจำนวนจริง ผมอยากจะบอกว่ามัน...ไม่มี

ไม่จำเป็นก็ได้ครับ เพราะรากมันอาจเป็นจำนวนเชิงซ้อนก็ได้

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

1.ถ้า $a$ เป็นจำนวนจริงซึ่ง $0<a<\frac{1}{4}$ จงหารากจริงของสมการ

$$x^2+2ax+\frac{1}{16}=-1+\sqrt{a^2+x-\frac{1}{16}}$$

#14 โจทย์ให้หารากจริงไม่ใช่เหรอครับ
แต่จริงๆแล้วก็ไม่มีน่ะแหละ

สมมติว่า $x \in \mathbb{R} $
จาก $0<a<\frac{1}{4}$ จะได้
$a^2-\frac{1}{16}<0 \rightarrow x>0,\sqrt{a^2+x-\frac{1}{16}}<\sqrt{x}$
พิจรณา
$x^2+\frac{1}{16}<x^2+2ax+\frac{1}{16}=-1+\sqrt{a^2+x-\frac{1}{16}}<-1+\sqrt{x} \le \frac{x-1}{2}$
นั่นคือ $x^2+\frac{1}{16}<\frac{x-1}{2}$
แต่ $x^2+\frac{1}{16} \ge \frac{x}{2} > \frac{x-1}{2}$ Contradiction!