สมสัณฐาน

[ครูนะ]

จงพิสูจน์ว่า กรุป Z ภายใต้การบวก ไม่สมสัณฐานกับกรุปจำนวนตรรกยะ Q ภายใต้การบวก

รบกวนคุณ NOOONUII ครับ เพราะผมคิดเองจะผิด

[nooonuii]

ข้อนี้ถ้ารู้จักสมการโคชีใน Functional Equation ที่เด็กๆเขาเรียนกัน

ในค่ายสอวน. สสวท. จะเข้าใจแนวคิดได้มากครับ

สมมติให้ $f: (\mathbb{Z},+)\to (\mathbb{Q},+)$ เป็น homomorphism

ดังนั้นเราจะได้ว่า $f(x+y)=f(x)+f(y)$ ทุก $x,y\in\mathbb{Z}$

ต่อไปให้พิสูจน์ว่า

1. $f(0)=0$

2. $f(n)=f(1)n$ ทุก $n\in\mathbb{N}$ อันนี้ใช้ induction ได้

3. $f(-1)=-f(1)$

4. $f(-n)=-f(1)n$

วิธีพิสูจน์ทั้งสี่ข้อให้ลองแทนค่า $x,y$ ที่เหมาะสมตามสมการข้างบนครับ

ดังนั้น $f(x)=f(1)x$ ทุก $x\in\mathbb{Z}$

เมื่อ $f(1)$ เป็นจำนวนตรรกยะ

สมมติว่า $f(1)=\dfrac{r}{s}$

ถ้า $r=0$ เราจะได้ว่า $f\equiv 0$ ซึ่งไม่เป็น isomorphism

สมมติว่า $r\neq 0$

จากนั้น พิสูจน์ว่า $\dfrac{r}{2s}\not\in f(\mathbb{Z})$

ดังนั้น $f$ ไม่ onto

สรุปว่า ทุก homomorphism $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}$ ไม่เป็น isomorphism เนื่องจากไม่ onto

เราจึงได้ว่า $\mathbb{Z}\not\cong\mathbb{Q}$

[ครูนะ]

ขอบคุณมากครับ ผมก็ดูแล้วเข้าใจ แต่ไม่รู้เป็นไงพอเจออะไรอย่างนี้อีกในห้องสอบจะทำไม่ได้