JBMO shortlist ~

[Siren-Of-Step]

จงหาจำนวนที่ใหญ่ที่สุดของ $m$ ที่ทำให้ $2005x+2007y = m$ มีผลเฉลยเป็นจำนวนนับ

[passer-by]

โจทย์มันแปลกๆนะครับ

เพราะโดยปกติ ถ้า (a,b)= 1 แล้วทุกจำนวนที่มากกว่า ab-a-b จะเขียนได้ในรูป ax+by เมื่อ x,y เป็น nonnegative integer solutions

ส่วนจำนวนที่ไม่เกิน ab-a-b จะมีครึ่งหนึ่ง เขียนได้และอีกครึ่งเขียนไม่ได้ใน form ดังกล่าว

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

โจทย์มันแปลกๆนะครับ

เพราะโดยปกติ ถ้า (a,b)= 1 แล้วทุกจำนวนที่มากกว่า ab-a-b จะเขียนได้ในรูป ax+by เมื่อ x,y เป็น nonnegative integer solutions

ส่วนจำนวนที่ไม่เกิน ab-a-b จะมีครึ่งหนึ่ง เขียนได้และอีกครึ่งเขียนไม่ได้ใน form ดังกล่าว

โทษทีครับ มีั x,y คู่เดียวเท่านั้นที่ทำให้ m ที่ใหญ่ที่สุดมีคำตอบ เป็นจำนวนนับ )

[iMsOJ2i2y]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

โทษทีครับ มีั x,y คู่เดียวเท่านั้นที่ทำให้ m ที่ใหญ่ที่สุดมีคำตอบ เป็นจำนวนนับ )

ด้วยขั้นตอนของยูคลิดเราจะได้ว่า
$$1=2005(1003)+2007(-1002)$$
คูณด้วย m ทั้งสมการจะได้ว่า
$$m=2005(1003m)+2007(-1002m)$$
เราจะได้รูปทั่วไปของค่า x และ y คือ $x=1003m+2007t$ และ $y=-1002m-2005t$

กรณีที่ 1 $m>0$ จะได้ว่า ค่าของ x จะเป็นจำนวนนับก็ต่อเมื่อ t อยู่ในช่วง $[0,\infty )$
ค่าของ y จะเป็นจำนวนนับก็ตือเมื่อ t อยู่ในช่วง $(-\infty ,-1]$
จะเห็นว่าไม่มีค่าของ t ที่สอดคล้องกับค่าของ x และ y

กรณีที่ 2 $m=0$ จะได้ว่า ค่าของ x จะเป็นจำนวนนับก็ต่อเมื่อ t อยู่ในช่วง $[1,\infty )$
ค่าของ y จะเป็นจำนวนนับก็ต่อเมื่อ t อยู่ในช่วง $(-\infty ,-1]$
จะเห็นว่าไม่มีค่าของ t mี่สอดคล้องกับค่าของ x และ y เช่นกัน

กรณีที่ 3 $m<0$ จะได้ว่า ค่าของ x จะเป็นจำนวนนับก็ต่อเมื่อ t อยู่ในช่วง $[0,\infty )$
ค่าของ y จะเป็นจำนวนนับก็ต่อเมื่อ t อยู่ในช่วง $(-\infty ,-1]$
จะเห็นว่าไม่มีค่าของ t mี่สอดคล้องกับค่าของ x และ y เช่นกัน

เหมือนกับว่าข้ิอนี้จะไม่มีค่า m ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขนะครับ

ปล. ไม่รู้ถูกรึเปล่านะครับ เบลอมากๆ ตอนแรกได้ m=-2 ไปๆมาๆได้ -4 ไปๆมาๆไม่มีคำตอบ

[Siren-Of-Step]

ดูในเฉลยไม่ค่อยเข้าใจ แต่เขาตอบ $2*2005*2007$ อ่ะครับ

[iMsOJ2i2y]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

ดูในเฉลยไม่ค่อยเข้าใจ แต่เขาตอบ $2*2005*2007$ อ่ะครับ

ผมก็งงๆตัวเองอยู่ครับ อย่าไปใส่ใจเฉลยของผมมากเลยครับ เหมือนจะมั่วอยู่หลายที่เลย

ลองเช็คคำตอบดูแล้วถูกต้องเลยครับ

ไม่ทราบว่ามี Solution รึเปล่าครับ อยากเห็นวิธีมากๆ

[Amankris]

OutlineSolution

จาก m=2005x+2007y

ถ้า (x,y) เป็นคำตอบ แล้ว (x-2007,y+2005) เป็นคำตอบด้วย
ดังนั้น x มีค่าไม่เกิน 2007

ถ้า (x,y) เป็นคำตอบ แล้ว (x+2007,y-2005) เป็นคำตอบด้วย
ดังนั้น y มีค่าไม่เกิน 2005


จึงเหลือแค่พิสูจน์ว่า ถ้า m=(2)(2005)(2007) แล้วจะทำให้มี (x,y) เพียงคู่เดียว

จาก (2005,2007)=1 และ 2007|m ดังนั้น 2007|x นั่นคือ x=2007a
จาก (2005,2007)=1 และ 2005|m ดังนั้น 2005|y นั่นคือ y=2005b

ได้ว่า a+b=2 นั่นคือ a=b=1 เพียงชุดเดียว