โจทย์ Limit ครับ

[t.B.]

$1.\lim_{x \to \infty} (\sqrt[3]{x^3+1} -\sqrt{x(x+3)} ) $


$2.\lim_{x \to 0} (\frac{1}{|x|} -\frac{1}{|x(x-1)|} ) $


$3.\lim_{x \to \infty} (\frac{1}{\sqrt{x} \sqrt{x+1} } +\frac{1}{\sqrt{x} \sqrt{x+2} } +...+\frac{1}{\sqrt{x} \sqrt{x+x} } ) $


< ขอวิธีที่ไม่ใช้โลปิตาลนะครับ >

[picmy]

สำหรับข้อ 2 นะคับ
พิจารณา x->0+ จะได้ว่า lim [1/|x|-1/|x(x-1)|] = lim [1/x-1/x(1-x)] =lim 1/(x-1) =-1
พิจารณา x->0- จะได้ว่า lim [1/|x|-1/|x(x-1)|] = lim [-1/x-1/x(x-1)] =lim 1/(1-x) =1
ดังนั้นหาค่าลิมิตของ [1/|x|-1/|x(x-1)|] เมื่อ x เข้าใกล้ 0 ไม่ได้คับ

[picmy]

สำหรับข้อที่ 1
เปลี่ยนตัวแปร โดยให้ y=1/x จะได้ว่า [(x^3+1)^(1/3)-(x(x+3))^(1/2)] = [(1+y^3)^(1/3)-(1+3y^2)^(1/2)]/y
เพื่อความสะดวก กำหนดให้ a= (1+y^3)^(1/3) ,b =(1+3y^2)^(1/2)
สังเกตว่า a-b = (a^6-b^6)/[a^5+(a^4)b+(a^3)(b^2)+(a^2)(b^3)+a(b^4)+b^5]
เพื่อความสะดวก(อีกครั้ง) กำหนดให้ K=[a^5+(a^4)b+(a^3)(b^2)+(a^2)(b^3)+a(b^4)+b^5]
คำนวณตรงๆ จะได้ว่า a^6-b^6 = -26y^6 -27y^4 +2y^3 -9y^2 (ไม่แน่ใจว่าบวกลบถูกรึเปล่านะครับ ผมชอบมีปัญหากับการบวกลบ)
สิ่งที่เราต้องการหาค่าก็คือ หาลิมิตของ (a-b)/y โดยที่ y เข้าใกล้ 0 (ไม่ใช่เข้าใกล้อนันต์นะคับ)
ซึ่งนั่นก็คือกับการหาค่าของลิมิตของ [-26y^5 -27y^3 +2y^2 -9y]/K โดยที่ y เข้าใกล้ 0 ซึ่งมี่ค่าเท่ากับ 0 คับ
(สังเกตว่าลิมิตของ K เมื่อ y เข้าใกล้ 0 มีค่าเท่ากับ 6 ถ้าลิมิตของ K เมื่อ y เข้าใกล้ 0 มีค่าเท่ากับ 0 เราจะยังสรุปค่าของลิมิตที่ต้องการไม่ได้)

ขอโทษด้วยนะคับผมยังใช้คำสั่ง latexไม่เป็น พยายามศึกษาแล้วหละ แต่ยังไม่ค่อยชำนาญ ถ้างงลองเขียนลงกระดาษนะคับ ขอโทษด้วยจิงๆ

[t.B.]

ขอบคุณครับสำหรับวิธีทำ ผมพลาดแล้วตอนสอบ midterm

ปล.ฝึกใช้ Latex ได้หัวข้อ ทดสอบการใช้เวปบอร์ด ได้นะครับ

[t.B.]

มีโจทย์มาถามอีกข้อครับ

หาค่าของ

$\lim_{x \to \infty} (\frac{1}{\sqrt{x} \sqrt{x+1} } +\frac{1}{\sqrt{x} \sqrt{x+2} } +...+\frac{1}{\sqrt{x} \sqrt{x+x} } ) $

[nooonuii]

$\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \Big(\frac{1}{\sqrt{n} \sqrt{n+1} } +\frac{1}{\sqrt{n} \sqrt{n+2} } +...+\frac{1}{\sqrt{n} \sqrt{n+n} } \Big) }$

$\displaystyle{=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\Big(\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}+
\frac{1}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{n}{n}}}\Big)}$

$\displaystyle{=\int_0^1\dfrac{1}{\sqrt{1+x}}\,dx}$

$=2\sqrt{2}-2$

[t.B.]

(ด้วยความสงสัย) ทำไมข้อ1. ผมให้โปรแกรม Mathematica คำนวนได้ออกมา -3/2 อะครับ

[Timestopper_STG]

ถูกแล้วครับเพราะว่า$$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\sqrt[3]{x^{3}+1}}{x}=1,\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{x(x+3)}}{x+1.5}=1$$

[t.B.]

ยังไม่ค่อยเข้าใจอะครับว่าตกลงตอบ 0 หรือ -3/2 กันแน่ แล้วถ้าตอบ -3/2 คิดแบบคุณpicmyผิดตรงไหน แล้วก็ถ้าตอบ 0 mathematica แปลว่าคิดผิดหรอครับ

[picmy]

Mathematica ไม่ผิดหรอกครับ ผมคิดเลขผิดเองแหละครับ

ตามจริงแล้ว ถ้าเปลี่ยนตัวแปร โดยให้ $y=\frac{1}{x}$ จะได้ว่า $\sqrt[3]{x^3+1} -\sqrt{x(x+3)} =\frac{ \sqrt[3]{1+y^3}-\sqrt{1+3y}}{y}$ (แต่ข้างบนผมเขียนเป็น $\frac{ \sqrt[3]{1+y^3}-\sqrt{1+3y^2}}{y}$ )
แล้วก็ใช้วิธีเดียวกับข้างบนที่ผมทำไว้ จะได้ออกมาว่าลิมิตมีค่าเท่ากับ $-\frac{9}{6}=-\frac{3}{2}$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Timestopper_STG

ถูกแล้วครับเพราะว่า$$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\sqrt[3]{x^{3}+1}}{x}=1,\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{x(x+3)}}{x+1.5}=1$$

วิธีของคุณ Timestopper_STG มีปัญหาอยู่นะครับ แนะว่าลองสังเกตว่า $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{x(x+3)}}{x+k}=1$ ทุกค่าคงที่ k แหละครับ