ขอถามเรื่อง Abstract Algebra หน่อยนะครับ

[นาย ธี]

คือ ผมเพิ่งเคยเรียนนะครับ

วันนี้อาจารย์สอนผม (มึน+เครียด) แถมให้การบ้านมาไม่รู้เรื่องเลย

อยากให้พวกพี่ช่วยสอนหน่อยนะครับ (คือเข้าใจ แต่มันทำไม่เป็น )

โจทย์น่ะครับ

1.ให้ A เป็น Set กำหนด + บน P(A) (พาวเวอร์เซต) โดย

x+y = (x-y) U (y-x)

จงแสดงว่า < P(A),+> เป็น Commutative semigroup

(รู้แต่ว่าต้องมีสมบัติเปลี่ยนกลุ่มแต่ก็ไม่ค่อยเข้าใจว่าจะแสดงยังไง)

2. ให้ A เป็น Set A $\not=$ $\varnothing$

ให้ S = { f$\left.\,\right|$ f : A $\rightarrow$ Z}

กำหนด +, $\bullet$ บน S ดังนี้

โดย f,g $\in$ S

(f+g)(x) = f(x)+g(x) และ (f $\bullet$ g)(x) = f(x) $\bullet$ g(x)

จงแสดงว่า < S,+> และ < S,$\bullet$> เป็น Commutative semigroup

(อันนี้ไม่รู้เรื่องเลยครับ)

3. ให้ M2(Z) (2ตัวเล็กนะครับ) ={ $\bmatrix{a & b \\ c & d}$ $\left.\,\right|$ a,b,c,d $\in$ Z}

จงแสดงว่า

3.1 <M2(Z),+> เป็น Commutative semigroup

3.2 <M2(Z),$\bullet$ > เป็น semigroup ที่ไม่มีคุณสมบัติ Commutative

(อันนี้งง เอ๋อ ไปแล้ว)

4. ให้ S ={ f: R$\rightarrow$ R$\left.\,\right|$ f" + f =0}

จงแสดงว่า <S,+> เป็น Commutative semigroup

เมื่อ + กำหนด โดย (f+g)(x) = f(x)+g(x)

(สลบคาโจทย์)

คือผมไม่ค่อยเก่งนะครับ ยังไงก็ช่วยอธิบายด้วยนะครับ

ช่วยหน่อยนะครับ เรียนไม่รู้เรื่องเลยย

[ครูนะ]

ทุกข้อต้องตรวจสอบคุณสมบัติของกรุปหรือกึ่งกรุปก่อนครับ จากนั้นค่อยตรวจสอบอาบีเลียนตามที่ผมแนะไว้ครับ

1. ใช้คุณสมบัติของเซต เพื่อแสดงว่า x + y = y + x เปลี่ยนลบเป็นอินเทอร์เซ็ท แล้วใช้คุณสมบัติของเซต รวมถึงแจกแจงและเปลี่ยนกลุ่ม

2. เขียนให้อยู่ในรูปพหุนามทั่วไป จากนั้นจับบวกกันแล้วสลับที่

$f(x) + g(x) = [an{x^n} + ....] + [bn{x^n} + ....]$

= $[(an + bn){x^n} + ...]$ = $[(bn + an){x^n} + ...]$

= $[bn{x^n} + ....] + [an{x^n} + ....]$

= $g(x) + f(x)$

กรณีคูณทำเหมือนบวกเขียน f(x)g(x) ในรูปทั่วไป

จากนั้นกระจายพจน์แล้วคูณกัน สลับที่ สัมประสิทธิ์หน้าพจน์ที่กระจาย สรุป g(x)f(x)

3.

3.1 ทำคล้ายข้อ 2

3.2 ยกตัวอย่างค้าน เพราะ เมทริกซ์ไม่มีสมบัติสลับที่คูณ

4. f(ดับเบิลพาม) คืออะไรครับ รบกวนช่วยขยายความมาอีกทีครับ

ติดตรงไหนโพสมาได้ครับ

[Lekkoksung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ นาย ธี

คือ ผมเพิ่งเคยเรียนนะครับ

วันนี้อาจารย์สอนผม (มึน+เครียด) แถมให้การบ้านมาไม่รู้เรื่องเลย

อยากให้พวกพี่ช่วยสอนหน่อยนะครับ (คือเข้าใจ แต่มันทำไม่เป็น )

โจทย์น่ะครับ

1.ให้ A เป็น Set กำหนด + บน P(A) (พาวเวอร์เซต) โดย

x+y = (x-y) U (y-x)

จงแสดงว่า < P(A),+> เป็น Commutative semigroup

(รู้แต่ว่าต้องมีสมบัติเปลี่ยนกลุ่มแต่ก็ไม่ค่อยเข้าใจว่าจะแสดงยังไง)

อย่างแรกต้องแสดงก่อนครับว่า $(P(A),\circ)$ เป็น semigroup นั่นคือ สำหรับแต่ละ $a,b,c \in P(A) \quad (a \circ b) \circ c =a \circ (b \circ c)$ จากนั้นจึงแสดงว่า semigroup $(P(A), \circ)$ มีสมบัติการสลับที่

[นาย ธี]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ครูนะ

ทุกข้อต้องตรวจสอบคุณสมบัติของกรุปหรือกึ่งกรุปก่อนครับ จากนั้นค่อยตรวจสอบอาบีเลียนตามที่ผมแนะไว้ครับ

1. ใช้คุณสมบัติของเซต เพื่อแสดงว่า x + y = y + x เปลี่ยนลบเป็นอินเทอร์เซ็ท แล้วใช้คุณสมบัติของเซต รวมถึงแจกแจงและเปลี่ยนกลุ่ม

2. เขียนให้อยู่ในรูปพหุนามทั่วไป จากนั้นจับบวกกันแล้วสลับที่

$f(x) + g(x) = [an{x^n} + ....] + [bn{x^n} + ....]$

= $[(an + bn){x^n} + ...]$ = $[(bn + an){x^n} + ...]$

= $[bn{x^n} + ....] + [an{x^n} + ....]$

= $g(x) + f(x)$

กรณีคูณทำเหมือนบวกเขียน f(x)g(x) ในรูปทั่วไป

จากนั้นกระจายพจน์แล้วคูณกัน สลับที่ สัมประสิทธิ์หน้าพจน์ที่กระจาย สรุป g(x)f(x)

3.

3.1 ทำคล้ายข้อ 2

3.2 ยกตัวอย่างค้าน เพราะ เมทริกซ์ไม่มีสมบัติสลับที่คูณ

4. f(ดับเบิลพาม) คืออะไรครับ รบกวนช่วยขยายความมาอีกทีครับ

ติดตรงไหนโพสมาได้ครับ

ไอ้ f(ดับเบิลพาม) คืออะไรครับ การดิฟ 2 ครั้ง นะครับคือ มันเป็น " เอ่อ....(ลืมไปว่าเขียนได้นิหว่า ขอโทษนะครับ)

คือผมงง ตรงที่

$f(x) + g(x) = [an{x^n} + ....] + [bn{x^n} + ....]$

= $[(an + bn){x^n} + ...]$ = $[(bn + an){x^n} + ...]$

= $[bn{x^n} + ....] + [an{x^n} + ....]$

= $g(x) + f(x)$

ทำไมต้องมีรูปแบบ ยกกำลัง n แล้ว เป็นตัวคูณ (ผมไม่ค่อยเข้าใจอ่าครับช่วยอธิบายที่)

ข้อ 2

สมมุตินะครับๆ ลองทำแบบสมองปลาทองอย่างผมดู ช่วยเช็คเช็คหน่อยนะครับว่า ผิดตรงไหน

เช็คคุณสมบัติ semigroup

โดยกำหนด f(x),g(x),h(x) $\in $ S

สมมุติ

(f + g)(x) + h(x) = f(x) + (g+h)(x)

พิจารณา

(f + g)(x) + h(x) = f(x) + g(x) + h(x) ; (f + g)(x) = f(x) + g(x) จากโจทย์ที่กำหนด

(f + g)(x) + h(x) = f(x) + (g + h)(x)

เพราะฉะนั้น < S,+> เป็น Semigroup

และ

สมมุติ

$(f \bullet g)(x) \bullet h(x) = f(x) \bullet ( g \bullet h)(x)$

พิจารณา

$(f \bullet g)(x) \bullet h(x) = f(x) \bullet g(x) \bullet h(x)$ ;$ (f \bullet g)(x) = f(x) \bullet g(x)$

$(f \bullet g)(x) \bullet h(x) = f(x) \bullet ( g \bullet h)(x)$

เพราะฉะนั้น < S,$\bullet$ > เป็น semigroup

พิสูจน์ Commutative semigroup

f(x) + g(x) = (a,...) + (b,...) โดย .... เป็นจำนวนเต็มตัวใดๆที่ $\in $ Z

จากนั้น = (b,...) + (a,....) จากคุณสมบัติการ +

ซึ่งก็คือ = g(x) + f(x)

เพราะฉะนั้น < S,+> เป็น Commutative semigroup

$f(x) \bullet g(x) = (a,...) \bullet (b,...) $โดย .... เป็นจำนวนเต็มตัวใดๆที่ $\in $ Z

จากนั้น $ = (b,....) \bullet (a,....) $ จากคุณสมบัติการคูณ

ซึ่งก็คือ = $g(x) \bullet f(x)$

เพราะฉะนั้น < S,$\bullet $> เป็น Commutative semigroup

ใช่รึเปล่าครับ

(มึนๆอยู่เหอๆ)

[ครูนะ]

a ห้อย n โดย n ถูกห้อยไว้ข้างล่าง

หมายถึง a ตัวที่ n

ผมหา Latex ที่ทำให้ a ห้อย n ไม่เจอเลยพิมพ์ติดกัน

ที่ทำมาถูกต้องครับ แสดงสมบัติปิดเพิ่มไปด้วยครับ

เพราะไม่ได้กำหนดการดำเนินการทวิภาคไว้ครับ

เพียงเขียนว่า f(x)g(x) อยู่ใน S ทุกค่า x อยู่ใน A เท่านี้ก็พอครับ (ยกตัวอย่างกรณีเดียวครับ ที่เหลือเขียนเพิ่มเอง ไม่ยาก )

ข้อ 4.

ให้ f(x) = -f''(x)

จาก f(x + y) = f(y + x)

ดังนั้น -f''(x + y) = -f''(y + x)

[นาย ธี]

ขอบคุณมากครับที่ช่วยแนะนำครับ

[นาย ธี]

ติดอีกแล้วครับ ข้อ 3 =_="

คิดหาวิธีพิสูจน์ $\bmatrix{a & b \\ c & d}$ ว่าเป็น semigroup ของการ x อ่าครับ

คิดไม่ออกอ่าครับ >_<

ช่วยผมที่

[ครูนะ]

$\bmatrix{a & b \\ c & d}$ กับการดำเนินการคูณ

มีสมบัติเปลี่ยนกลุ่ม ยกตัวอย่างการคูณแล้วลองคูณดูครับ

A = $\bmatrix{a & b \\ c & d}$

B = $\bmatrix{e & f \\ g & h}$

C = $\bmatrix{i & j \\ k & l}$

จะเห็นว่า

(AB)C = A(BC)

ตัวแปรซ้ายและขวาจะเท่ากันครับ ลองทำดูครับ

[นาย ธี]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ครูนะ

$\bmatrix{a & b \\ c & d}$ กับการดำเนินการคูณ

มีสมบัติเปลี่ยนกลุ่ม ยกตัวอย่างการคูณแล้วลองคูณดูครับ

A = $\bmatrix{a & b \\ c & d}$

B = $\bmatrix{e & f \\ g & h}$

C = $\bmatrix{i & j \\ k & l}$

จะเห็นว่า

(AB)C = A(BC)

ตัวแปรซ้ายและขวาจะเท่ากันครับ ลองทำดูครับ

ขอบคุณมากครับ

(บ่น ถ้าเป็น เเมทริก 3 * 3 คงจะพิสูจน์อ้วก(เขียนกันยาวนานเลย เฮ้อ เขียนเยอะจริงๆ))

ขอไปทำก่อนนะครับ ตอนนี้เคลียร์ไป 2ข้อ แหละครับ ถ้ามีปัญหาตรงไหนจะมาถามอีกนะครับ

ขอขอบคุณที่สละเวลามาให้ครับ