FFTMO9

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

1.(Samin Riasat) Let $x,y,z>0 $
Prove that $$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge \sqrt{\frac{x+y}{2z}}+\sqrt{\frac{y+z}{2x}}+\sqrt{\frac{z+x}{2y}}$$

2.(Samin Riasat) Let $x,y,z>0$
Prove $$\sqrt{\frac{xy}{(x+y)(y+z)}}+\sqrt{\frac{yz}{(y+z)(z+x)}}+\sqrt{\frac{zx}{(z+x)(x+y)}}\le \frac{3}{2}$$

ขอบคุณ #44,45,46 มากครับ
ขอเเก้ตัวนะครับ ^^

1.

เเทน $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}\rightarrow a+b+c\ge 3$
อสมการสมมูลกับ $$\sum_{cyc} \sqrt{\frac{1}{2}b(a+1)}\le a+b+c$$
จาก Cauchy จะได้ว่า $$\sum_{cyc} \sqrt{\frac{b}{2}(a+1)}\le\sqrt{\frac{a+b+c}{2}}\sqrt{a+b+c+3}\le a+b+c$$
เเละอสมการท้ายสุดเป็นจริงเพราะ $a+b+c\ge 3$

2.

$$2\sum_{cyc} \sqrt{\frac{xy}{(x+y)(y+z)}}=\sum_{cyc} \sqrt{\frac{4xy(z+x)}{(x+y)(y+z)(z+x)}}$$
$$RHS\le \sqrt{\frac{{8(xy+yz+zx)(x+y+z)}}{(x+y)(y+z)(z+x)}}\le 3$$

อสมการสุดท้ายเป็นจริงเพราะ $$\sqrt{\frac{{8(xy+yz+zx)(x+y+z)}}{(x+y)(y+z)(z+x)}}\le 3$$ $$\leftrightarrow 9(x+y)(y+z)(z+x)\ge 8(x+y+z)(xy+yz+zx)$$
$$\leftrightarrow (x+y)(y+z)(z+x)\ge 8xyz$$

[AnDroMeDa]

ขอลง FE บ้างนะฮ้าฟฟ
1.จงหา $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ ทั้งหมดที่ทำให้
$$f(f(x)+y)=f(x^2-y)+4yf(x) $$
2.จงหา $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ ทั้งหมดที่ทำให้
$$f(x)f(yf(x)-1)=x^2f(y)-f(x) $$
3.จงหา $f:\mathbb{N} \rightarrow\mathbb{N} $ ทั้งหมดที่ทำให้
$$((f(m))^2+f(n))|(m^2+n)^2 $$
4.จงหา $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+ $ ทั้งหมดที่ทำให้
$$f(f(x))+f(x)=6x $$
5.จงหา $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ ทั้งหมดที่ทำให้
$$f(f(x)-y)+f(x+y)=2x $$
ข้อ 5 Crebit by Rose-Joker http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=4288

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ AnDroMeDa

5.จงหา $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ ทั้งหมดที่ทำให้
$$f(f(x)-y)+f(x+y)=2x $$

คือ ผมไม่รู้ว่า เราจะเเทน $x$ เป็น $f(x)$ ได้ป่าวอ่ะครับ
ถ้าได้นะครับ ก็เเทน $y\rightarrow 0$ $$f(f(x))+f(x)=2x$$
เเละ ผมก็เเทน $x\rightarrow f(x)$ $$f(f(f(x)))+f(f(x))=2f(x)$$
เเต่ $f(f(x))=2x-f(x)$ เลยได้สมการใหม่ว่า $$f(2x-f(x))+2x-f(x)=2f(x)$$
เเล้วก็เเทน $x\rightarrow f(x)$ อีกรอบ $$f(f(x))+2f(x)-f(f(x))=2f(f(x))\leftrightarrow f(x)=x$$

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

12.สำหรับจำนวนเฉพาะ $p \ge 5$ และจำนวนนับ $x,y$ ซึ่ง $(x,y)=1$ สอดคล้องกับ
$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{p}=\frac{x}{y}$$
พิสูจน์ว่า $px \equiv y \pmod{p^4}$


13.สำหรับจำนวนเฉพาะ $p \ge 5$ และจำนวนนับ $x,y$ ซึ่ง $(x,y)=1$ สอดคล้องกับ
$$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{p^2}=\frac{x}{y}$$
พิสูจน์ว่า $p^2x \equiv y \pmod{p^5}$


คราวนี้ใครจะต่อเรื่องอื่นก็เชิญได้นะครับ ก่อนที่อินเวอร์สมอดุโลจะฝังเข้าไปในหัวมากกว่านี้

สองข้อนี้ทำคล้ายกันครับ ทำข้อแรกให้เป็นแนวทางกะลัน

โดย Wolstenholme's Theorem สำหรับจำนวนเฉพาะ $p \ge 5$ เราสามารถเขียนได้ว่า
$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{p-1}=\frac{p^2k}{b}$$
เมื่อ $k,b$ เป็นจำนวนเต็มโดยที่ $(k.b)=1$

ดังนั้น
$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{p-1}+\frac{1}{p}=\frac{p^3k+b}{bp}$$
แสดงได้ไม่ยากครับว่า $(p^3k+b,bp)=1$ ก็จะได้ว่า $x=p^3k+b$ และ $y=bp$

โจทย์ที่ให้พิสูจน์ว่า $px\equiv y \pmod{p^4}$ ก็เคลียร์แล้วครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ AnDroMeDa

ขอลง FE บ้างนะฮ้าฟฟ
1.จงหา $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ ทั้งหมดที่ทำให้
$$f(f(x)+y)=f(x^2-y)+4yf(x) $$

ขอทำข้อนี้ละกัน ท่าทางจะง่ายสุด

เลือก $y$ ที่ทำให้ $f(x)+y=x^2-y$ หรือก็คือ แทน $y$ ด้วย $\frac{x^2-f(x)}{2}$ นั่นเอง ก็จะได้ว่า
$$0=4 \cdot \frac{x^2-f(x)}{2} \cdot f(x)$$
แสดงว่า $f(x)=x^2$ หรือ $f(x)=0$

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

2.(Samin Riasat) Let $x,y,z>0$
Prove $$\sqrt{\frac{xy}{(x+y)(y+z)}}+\sqrt{\frac{yz}{(y+z)(z+x)}}+\sqrt{\frac{zx}{(z+x)(x+y)}} \le \dfrac{3}{2}$$

Solution_2

$\sqrt{\dfrac{xy}{(x+y)(y+z)}}+\sqrt{\dfrac{yz}{(y+z)(z+x)}}+\sqrt{\dfrac{zx}{(z+x)(x+y)}} =\sqrt{ \dfrac{\sqrt{xy(z+x)}+\sqrt{yz(x+y)}+\sqrt{zx(y+z)}}{(x+y)(y+z)(z+x)}}$

$\leq \sqrt{\dfrac{2(x+y+z)(xy+yz+zx)}{(x+y)(y+z)(z+y)}}$

$=\sqrt{\dfrac{2(x+y)(y+z)(z+x)+2xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}}$

$=\sqrt{2+\dfrac{2xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}}$

$\leq \sqrt{2+\dfrac{1}{4}}=\dfrac{3}{2}$

[AnDroMeDa]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

คือ ผมไม่รู้ว่า เราจะเเทน $x$ เป็น $f(x)$ ได้ป่าวอ่ะครับ
ถ้าได้นะครับ ก็เเทน $y\rightarrow 0$ $$f(f(x))+f(x)=2x$$
เเละ ผมก็เเทน $x\rightarrow f(x)$ $$f(f(f(x)))+f(f(x))=2f(x)$$
เเต่ $f(f(x))=2x-f(x)$ เลยได้สมการใหม่ว่า $$f(2x-f(x))+2x-f(x)=2f(x)$$
เเล้วก็เเทน $x\rightarrow f(x)$ อีกรอบ $$f(f(x))+2f(x)-f(f(x))=2f(f(x))\leftrightarrow f(x)=x$$

$f(2x-f(x))+2x-f(x)=2f(x)$แทน $x=f(x)$ ได้ $f(3f(x)-2x)=6x-5f(x)$ นะครับ
มันมีอีกคำตอบคือ $f(x)=C-2x$,C is constant

[จูกัดเหลียง]

เเก้ไขครับ (เเต่ผมก็ได้เเค่ว่า $f(x)=x$เองอ่ะ = =)

[PP_nine]

โจทย์ประเภทนี้คำตอบหายกันได้ง่ายๆครับ เพราะว่า $y$ ที่มีในสมการอยู่ข้างใน $f$ ตลอด เวลาแทนตัวเลขก็จะได้คำตอบเฉพาะ

หรือพูดง่ายๆก็คือ คำตอบของ $f(f(x)-y)+f(x+y)=2x$ ครอบคลุมคำตอบของ $f(f(x))+f(x)=2x$

ซึ่งถ้าเราพิจารณาแค่สมการหลัง ก็เหมือนการพิจารณากรณีเฉพาะของคำถามแหละครับ คำตอบเลยไม่ครบ

[จูกัดเหลียง]

#44 จริงด้วยอ่ะครับ 555+ ( ตอนนี้ก็ยังไม่ออกเลย )
#45 อาจจะเป็นอย่างนั้นก็ได้ครับ เเต่จริงๆเเล้วผมทำผิดด้วยอ่ะครับ

เเบบนี้เเล้วเราจะรู้ได้ไงครับว่ามันยังมีคำตอบอีกหรือป่าว
ปล. สอนโคชีหน่อยได้ไหมครับ งงมากๆเลยอ่ะ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

$0=4 \cdot \frac{x^2-f(x)}{2} \cdot f(x)$
แสดงว่า $f(x)=x^2$ หรือ $f(x)=0$

ข้อสรุปแบบนี้ก็ผิดกันบ่อยนะครับ FE เป็นอะไรที่มึนมาก

[PP_nine]

ผมเองก็รู้สึกว่ามันขาดๆอะไรไป เหมือนเคยเห็นชีทในเน็ตซักอันนี่แหละ

ที่บอกว่า $(f(x))^2=x^2$ ก็ต้องพิสูจน์อะไรบางอย่างก่อนจะสรุปว่า $f(x)=x$ หรือ $f(x)=-x$ (เพราะคำตอบที่ได้อาจเป็น $f(x)=|x|$ ก็ได้)

แล้วในกรณีนี้สรุปแทนได้ไหมครับ ว่า $f(x)=x^2$ และ $f(x)=0$ เป็นเพียงหนึ่งคำตอบ (แต่ยังไม่รู้ว่ามีคำตอบอื่นอีกหรือเปล่า)

[Real Matrik]

#56 หมายถึงตัวนี้หรือเปล่าครับ ผมคลับคล้ายคลับคลาเลยไปคุ้ยดู

Click !!

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ AnDroMeDa

1.จงหา $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ ทั้งหมดที่ทำให้
$$f(f(x)+y)=f(x^2-y)+4yf(x) $$

ให้ $y=\dfrac{x^2-f(x)}{2}$ จะได้

$f(x)(x^2-f(x))=0$

ถึงตรงนี้เราสรุปได้แค่ว่า สำหรับแต่ละ $x$ เราจะได้ $f(x)=0$ หรือ $f(x)=x^2$

จบรึยัง ? ยังครับ เราจะแน่ใจได้อย่างไรว่าจะไม่เกิดกรณีที่ $f(1)=0$ แต่ $f(2)=2^2$ (เป็นไปได้)

ซึ่งส่วนที่โหดที่สุดก็คือส่วนที่เราต้องแยกออกมาให้ได้ว่ามีสองคำตอบเท่านั้นครับ

วิธีพิสูจน์ต่อไปนี้ผมให้เครดิต pco เทพ FE ใน AOPS ครับ

จากเงื่อนไขที่ได้มาเราสรุปได้แน่นอนว่า $f(0)=0$

Case 1 มี $a\neq 0$ ซึ่ง $f(a)=0$

สมมติว่ามี $b\neq a,0$ ซึ่ง $f(b)\neq 0$

นั่นคือ $f(b)=b^2$

แทนค่า $x=a,y=b$ ในสมการจะได้

$f(b)=f(a^2-b)$

$b^2=(a^2-b)^2$ ($f(a^2-b)\neq 0$ เพราะ $b\neq 0$)

$b=\dfrac{a^2}{2}$

ให้ $c\in\mathbb{R}-\{0,a,-a,b\}$

ถ้า $f(c)=0$ แทนค่า $x=c,y=b$ จะได้

$f(b)=f(c^2-b)$

$b^2=(c^2-b)^2$

$c^2=2b=a^2$ ซึ่งขัดแย้ง

ถ้า $f(c)=c^2$ แทนค่า $x=a,y=c$ จะได้

$f(c)=f(a^2-c)$

$c^2=(a^2-c)^2$

$c=\dfrac{a^2}{2}=b$ ซึ่งขัดแย้ง

ดังนั้น $f(x)=0$ ทุก $x\in\mathbb{R}$

Case 2 $f(x)\neq 0$ ทุก $x\neq 0$

จะได้ทันทีว่า $f(x)=x^2$ ทุก $x\in\mathbb{R}$

สรุป คำตอบของสมการคือ

1. $f(x)=0$ ทุก $x\in\mathbb{R}$

2. $f(x)=x^2$ ทุก $x\in\mathbb{R}$

[จูกัดเหลียง]

#56,57,58 ช่วยสอน Cuachy Equation ผมหน่อยได้ใหมอ่ะครับ

[PP_nine]

ว้าวว ขอบคุณพี่ nooonuii มากๆครับ

เว็บ AOPS ผมสมัครไว้แต่ไม่เคยเข้าไปดูเลย ในนั้นคงมีแต่เทพๆจากทั่วโลก


#59 แนะนำให้ลองอ่านในนี้ดูครับ Mathematical Excalibur Vol.8 No.1