ข้อสอบเพชรยอดมงกุฏคัดเลือกเป็นตัวแทนระดับโรงเรียน

[Pakpoom]

จงหาค่า$\lim_{x \to \infty} [(8^n+4^n)^{\frac{1}{3}}-2^n]$

เส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง $y=ax+bx^2$ ที่จุด (2,3) ขนานกับเส้นตรง $3x-y-7=0$

จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งนี้กับเส้นตรง y=3

จงหาค่าของ $sin18\dot sin54$

ให้ f เป็นฟังก์ชันกำหนดโดย $f(x)=\frac{x^5}{x^5-(x-1)^5}$ ถ้า $x_i=\frac{i}{27}$ สำหรับ $i=1,2,3,...,27$ จงหาค่า$\sum_{i = 1}^{27} f(x)$

กำหนด a และ b เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับสมการ
$log(1+a^2)-log(a)-2log(2)=1-log(100+b^2)+log(b) จงหาค่าของ ab$

กำหนดตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติดังนี้
z 0.97 1.58
A 0.334 0.443
คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึ่งมีการแจกแจงปกติ นายเอและนายบีเป็นนักเรียนห้องนี้ถ้ามีนักเรียน 5.7เปอร์เซ็นต์ที่สอบได้คะแนนมากกว่านายเอ และมีนักเรียน 16.6เปอร์เซ็นต์ที่สอบได้คะแนนน้อยกว่านายบี และนายเอได้คะแนนมากกว่านายบีอยู่ 51 คะแนน จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของการสอบครั้งนี้

บริษัทแห่งหนึ่งขายแผ่นซีดีได้กำไรแผ่นละ 6บาท และขายแผ่นดีวีดึีได้กำไรแผ่นละ 42 บาท ถ้าบริษัทขายได้ซีดีได้ x แผ่น และขายแผ่นดีวีดีได้ y แผ่น โดยมีเงื่อนไข ดังนี้ $2x+16y\leqslant 99 และ 2x-y\leqslant 19$ จงหาว่าบริษัทมีกำไรสูงุสดกี่บาท

กล่องใบหนึ่งมีบัตร 10 ใบ แต่ละใบเขียนหมายเลข -4,-3,-2,...,4,5 ใบละ 1 หมายเลข ถ้าสุ่มหยิบบัตร 2 ใบ พร้อมกันจากกล่องใบนี้ ความน่าจะเป็ฯที่จะได้บัตรที่มีหมายเลขบัตรทั้งสองซึ่งมีผลคูณมากกว่าหรือเท่ากับ 0 มีเท่าไร

กำหนดให้ x=0.123456789101112131415...997998999 จงหาทศนิยมตำแหน่งที่ 2012

กำหนดให้$ x=\bmatrix{ x \\ y \\ z } $ สอดคล้องกับสมการ AX=C
เมื่อ $A= \bmatrix{1 & 2 & 1 \\ -2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2} , B=\bmatrix{1 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & 4 & 0} , C=\bmatrix{ 2 \\ -2 \\ 3 } $
ถ้า$(2A+B)X=\bmatrix{ a \\ b \\ c } $ จงหาค่า a+b+c

11.กำหนดให้ $z_1,z_2$ เป็นจำนวสนเชิงซ้อนซึ่ง $|z_1+z_2|=3$ และ$ z_1\bullet \overline{z_2} = 3+4i$ จงหาค่าของ $|z_1|^2+|z_2|^2$

12.กำหนดให้ A แทนพื้นที่อาณาบริเวณที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง $y=1-x^2$ และแกน X
B แทนพื้นที่อาณาบริเวณที่ใต้เส้นโค้ง $y=\frac{x^2}{4}$ เหนือแกน X จาก x=-c ถึง x=c
จงหาค่าของ c ที่ทำให้ A=B

13.พาราโบลารูปหนึ่งมีกราฟเปิดทางซ้ายจุดยอดอยู่ที่ V(h,-3) จุดโฟกัสอยู่ที่จุด F(a,-3) และผ่านจุด A(4,3) ถ้าระยะห่างระหว่างจุด A และจุด V เท่ากับ $6\sqrt{2}$ หน่วย แล้วค่าของ h+a เท่ากับเท่าใด

14.ในการสอบของนักเรียนห้องหนึ่ง ซึ่งมี 60 คน ได้คะแนนรวมทั้งหมด 1320 คะแนน โดยมีความแปรปรวนของคะแนนสอบเท่ากับ 100 ถ้ามีนักเรียน 10 คน ได้คะแนนคนละ 32 คะแนน คะแนนสอบของนักเรียน 50 คนที่เหลือมีความแปรปรวนเท่ากับเท่าใด

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pakpoom

กำหนดให้ x=0.123456789101112131415...997998999 จงหาทศนิยมตำแหน่งที่ 2012

1หลัก มี 9 ตำแหน่ง

2 หลัก มี 90 จำนวน เท่ากับ 180 ตำแหน่ง

3 หลัก 100 ถึง 707 มี 608 จำนวน มี 608x3 = 1824 ตำแหน่ง

รวม 9 + 180 +1824 = 2013 ตำแหน่ง

ดังนั้นตำแหน่งที่ 2012 คือ เลข 0

[Pakpoom]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

1หลัก มี 9 ตำแหน่ง

2 หลัก มี 90 จำนวน เท่ากับ 180 ตำแหน่ง

3 หลัก 100 ถึง 707 มี 608 จำนวน มี 608x3 = 1824 ตำแหน่ง

รวม 9 + 180 +1824 = 2013 ตำแหน่ง

ดังนั้นตำแหน่งที่ 2012 คือ เลข 0

ผมก็คิดได้งั้นนะครับ แต่ไปขอครูดูเฉลย มัน 8 อะครับ = ="

[Suwiwat B]

กำหนด$ a$ และ $b$เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับสมการ
$log(1+a^2)−log(a)−2log(2)=1−log(100+b^2)+log(b)$ จงหาค่าของ $ab$

[Suwiwat B]

ลอง Latex บ้าง
11.กำหนดให้ $z_1,z_2$ เป็นจำนวสนเชิงซ้อนซึ่ง $|z_1+z_2|=3$ และ $z_1•\overline{z_2} =3+4i$ จงหาค่าของ $|z_1|^2+|z_2|^2$
จาก $|z_1+z_2|=3$
$|z_1+z_2|^2=(z_1+z_2)(\overline{z_1}+ \overline{z_2} )=9$
$|z_1|^2+|z_2|^2+z_1•\overline{z_2}+z_2•\overline{z_1}=9$
$|z_1|^2+|z_2|^2+z_1•\overline{z_2}+\overline{z_1•\overline{z_2}}=9$
$∣z_1∣^2+∣z_2∣^2 +(3+4i)+\overline{3+4i}=9$
$∣z_1∣^2+∣z_2∣^2 =3$

ค่าของ $sin18^\circ sin54^\circ$
ให้ $A = sin18^\circ sin54^\circ$
$2cos18^\circ A = 2cos18^\circ sin18^\circ sin54^\circ$
$2cos18^\circ A = sin36^\circ cos36^\circ$
$4cos18^\circ A = 2sin36^\circ cos36^\circ$
$4cos18^\circ A = sin72^\circ$
$4cos18^\circ A = cos18^\circ$
$4A = 1$
$A = \frac{1}{4}$
หรืถ้าจำได้ว่า $sin18\circ = \frac{\sqrt(5)-1}{4} , sin54\circ = \frac{\sqrt(5)+1}{4}$
จะได้คำตอบเหมือนกัน

[Suwiwat B]

$$\lim_{x \to \infty}[(8^n + 4^n)^\frac{1}{3} -2^n]
= \lim_{x \to \infty}\frac{(8^n+4^n-8^n)}{[(8^n+4^n)^{(\frac{1}{3})}]^2 +[(8^n+4^n)^{(\frac{1}{3})}][2^n]+[2^n]^2}$$
$$= \lim_{x \to \infty}\frac{4^n}{[(8^n+4^n)^{(\frac{1}{3})}]^2 +[(8^n+4^n)^{(\frac{1}{3})}][2^n]+[2^n]^2}$$
$$= \lim_{x \to \infty}\frac{1}{[(1+(\frac{1}{2})^n)^\frac{1}{3}]^2 +[(1+(\frac{1}{2})^n)^\frac{1}{3}][1]+1}$$
$$= \frac{1}{3}$$

[Suwiwat B]

จาก $y=f(x)=ax+bx^2$ ผ่านจุด $(2,3)$ จะได้ $f(2)=3$
$$3=2a+4b >>> (1)$$
$f'(x)=a+2bx$ จากเส้นสัมผัสของ$ f(x)$ ที่ $(2,3)$ ขนาน$ 3x-y-7=0$ จะได้$ f'(2)=3$
$$a+4b=3 >>> (2)$$
เเก้สมการ$ (1)$ เเละ$ (2)$ จะได้$ a=0$ เเละ$ b=\frac{3}{4}$
จะได้ว่า$ f(x)=\frac{3}{4}x^2$
ดังนั้นพื้นที่ปิดล้อมจากเส้น$ f(x)$ เเละ$ y=2$ คือ
$\int_{-2}^{2}\,(3-\frac{3}{4}x^2)dx = 8 $
(ต้องหาจุดตัดของสมการ $y=2$ เเละสมการ $y=\frac{3}{4}x^2$ ได้ $x=2,-2 $ก่อน)

[Suwiwat B]

12.กำหนดให้ $A$ แทนพื้นที่อาณาบริเวณที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง $y=1−x^2$ และแกน $X$
$B$ แทนพื้นที่อาณาบริเวณที่ใต้เส้นโค้ง$ y=\frac{1}{4}x^2 $ เหนือแกน $X $จาก$ x=-c $ถึง $x=c$
จงหาค่าของ$ c$ ที่ทำให้ $A=B$

พื้นที่ปิดล้อมด้วย $y=1-x^2$ เเละเเกน$ x$ คือ
$$\int_{-1}^{1}\,(1-x^2)dx = \frac{4}{3}$$
พื้นที่ใต้โค้ง $y= \frac{1}{4}x^2 $เหนือเเกน$ x$ จาก $x=-c$ ถึง $x=c$ มีค่า
$$\int_{-c}^{c}\,(\frac{1}{4}x^2)dx = \frac{1}{6}c^3$$
ดังนั้น $ \frac{1}{6}c^3 = \frac{4}{3}$ จะได้ $c=2$

[Suwiwat B]

ให้ $f$ เป็นฟังก์ชันกำหนดโดย $f(x)=\frac{x^5}{x^5−(x−1)^5}$ ถ้า$ x_i=\frac{i}{27}$ สำหรับ $i=1,2,3,...,27$ จงหาค่า$ \sum_{i = 1}^{27}f(x) $

จาก$ f(x) = \frac{x^5}{x^5−(x−1)^5} = \frac{x^5}{x^5+(1-x)^5}$
จะได้ว่า$ f(x)+f(1-x)=\frac{x^5}{x^5+(1+x)^5}+\frac{(1-x)^5}{x^5+(1-x)^5} = 1$
ดังนั้น $\sum_{i = 1}^{27}f(x) = [\sum_{i = 1}^{26}f(x)] + f(1) = 13 + 1 = 14$