17|n ลงตัวก็ต่อเมื่อ?

[shymaan]

จากความจริงที่ว่า

จำนวนหารด้วย 2 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ เลขโดดหลักสุดท้าย หารด้วย 2 ลงตัว
จำนวนหารด้วย 3 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ ผลบวกของเลขโดดทุกหลัก หารด้วย 3 ลงตัว
จำนวนหารด้วย 4 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ จำนวนที่เป็นเลขโดด 2 หลักสุดท้าย หารด้วย 4 ลงตัว
จำนวนหารด้วย 5 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ เลขโดดหลักสุดท้ายคือ 0 หรือ 5

ถ้าเราจะหาเงื่อนไขที่จำนวนเฉพาะที่ใหญ่ขึ้น หารจำนวนใดๆลงตัว

เช่น 17 19 23 29 31 37 และอื่นๆอีกมากมาย จะหารจำนวนเต็มใดๆลงตัว ก็ต่อเมื่อ ...

จาหาเงื่อนไขนั้นอย่างไรครับ?

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

ขุดๆ อยากทราบด้วยครับ

[nooonuii]

มีงานวิจัยอยู่ครับ เขียนไว้นานแล้ว ลองหาโดยใช้คำค้น divisibility test ดูครับ

ผมจำรายละเอียดไม่ได้แล้วว่าอยู่ในวารสารใด เท่าที่จำได้คือ มีสูตรการทดสอบการหารลงตัวของจำนวนเฉพาะที่มีค่าไม่เกิน $100$ ทุกตัวครับ

[miny]

ในหนังสือชื่อ เวทคณิต ที่เขียนโดยศาสตราจารย์ศักดา บุญโต
มีวิธีทดสอบการหารลงตัวของจำนวนเต็มบวกที่มีค่าไม่เกิน 100 ทุกตัวครับ
แน่นอนว่าครอบคลุมจำนวน 7 , 11, 13, 17, 19, 23,...ด้วยแล้ว
แต่หนังสือเล่มนี้คงหายากมากแล้วครับ ถ้าตอนนี้ยังมีขาย ก็ขายอยู่ที่ศูนย์หนังสือจุฬาครับ

[gon]

พิจารณาจำนวนนับตั้งแต่ 2 หลักใด ๆ ขึ้นไป จะเขียนให้อยู่ในรูป $10x + y$ ได้เสมอ เช่น $\overline{abcd} = 10\overline{abc} + d $

ในที่นี้ $x = \overline{abc}, y = d$

และพิจารณาสมภาค $10x + y \equiv 10(x \pm ny)\mod p $

เมื่อ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะใด ๆ

จะได้ว่าสมภาคดังกล่าวจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ $1 \mp 10n \equiv 0\mod p$

ตัวอย่าง

การตรวจสอบการหารลงตัวด้วย 7

ถ้าเลือกสมภาค $1 + 10n \equiv 0\mod 7$

จะได้ $n = 2$ เป็นจำนวนเต็มที่สอดคล้องสมภาคค่าหนึ่ง

ดังนั้น

7 จะหารจำนวนนับ m ลงตัว ก็ต่อเมื่อ 7 หาร ผลต่างของจำนวนที่ตัดหลักหน่วยของ m กับ 2 เท่าของหลักหน่วยลงตัว

เช่น ตรวจสอบ 4088 ให้นำ 408 - 2(8) = 392 จากนั้นทำซ้ำได้เป็น 39 - 2(2) = 35 ซึ่งเห็นได้ชัดว่าหารด้วย 7 ลงตัว ดังนั้น 7 จะหาร 4088 ลงตัว เป็นต้น

แต่ถ้าเราเลือกสมภาค $1 - 10n \equiv 0\mod 7$

จะได้ $n = 5$ เป็นจำนวนเต็มที่สอดคล้องสมภาคค่าหนึ่ง

ดังนั้น

7 จะหารจำนวนนับ m ลงตัว ก็ต่อเมื่อ 7 หาร ผลบวกของจำนวนที่ตัดหลักหน่วยของ m กับ 5 เท่าของหลักหน่วย ลงตัว

เช่น ตรวจสอบ 4088 ให้นำ 408 + 5(8) = 448 จากนั้นทำซ้ำได้เป็น 44 + 5(8) = 84 (รู้แล้วว่าหารด้วย 7 ลงตัว) หรือ จะทำซ้ำเป็น 8 + 5(4) = 28 ก็ได้

สรุป ถ้าลองเล่นในทำนองนี้จะได้ว่า

$10x + y \equiv 10(x - 2y) \mod 7 \equiv 10(x + 5y) \mod 7$

$10x + y \equiv 10(x - 9y) \mod 13 \equiv 10(x + 4y) \mod 13$

$10x + y \equiv 10(x - 5y) \mod 17 \equiv 10(x + 12y) \mod 17$

ดังนั้นการตรวจสอบการหารลงตัวด้วย 17 จะหมายความว่าอย่างไรครับ.

[gnap]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

พิจารณาจำนวนนับตั้งแต่ 2 หลักใด ๆ ขึ้นไป จะเขียนให้อยู่ในรูป $10x + y$ ได้เสมอ เช่น $\overline{abcd} = 10\overline{abc} + d $

ในที่นี้ $x = \overline{abc}, y = d$

และพิจารณาสมภาค $10x + y \equiv 10(x \pm ny)\mod p $

เมื่อ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะใด ๆ

จะได้ว่าสมภาคดังกล่าวจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ $1 \mp 10n \equiv 0\mod p$

ตัวอย่าง

การตรวจสอบการหารลงตัวด้วย 7

ถ้าเลือกสมภาค $1 + 10n \equiv 0\mod 7$

จะได้ $n = 2$ เป็นจำนวนเต็มที่สอดคล้องสมภาคค่าหนึ่ง

ดังนั้น

เช่น ตรวจสอบ 4088 ให้นำ 408 - 2(8) = 392 จากนั้นทำซ้ำได้เป็น 39 - 2(2) = 35 ซึ่งเห็นได้ชัดว่าหารด้วย 7 ลงตัว ดังนั้น 7 จะหาร 4088 ลงตัว เป็นต้น

แต่ถ้าเราเลือกสมภาค $1 - 10n \equiv 0\mod 7$

จะได้ $n = 5$ เป็นจำนวนเต็มที่สอดคล้องสมภาคค่าหนึ่ง

ดังนั้น

เช่น ตรวจสอบ 4088 ให้นำ 408 + 5(8) = 448 จากนั้นทำซ้ำได้เป็น 44 + 5(8) = 84 (รู้แล้วว่าหารด้วย 7 ลงตัว) หรือ จะทำซ้ำเป็น 8 + 5(4) = 28 ก็ได้

สรุป ถ้าลองเล่นในทำนองนี้จะได้ว่า

$10x + y \equiv 10(x - 2y) \mod 7 \equiv 10(x + 5y) \mod 7$

$10x + y \equiv 10(x - 9y) \mod 13 \equiv 10(x + 4y) \mod 13$

$10x + y \equiv 10(x - 5y) \mod 17 \equiv 10(x + 12y) \mod 17$

ดังนั้นการตรวจสอบการหารลงตัวด้วย 17 จะหมายความว่าอย่างไรครับ.

เช่น 187
ตรวจสอบ 18-5(7)=-17
แสดงว่า 17|187