ช่วยแก้สมการหน่อยครับ

[supermans]

$\sqrt{x+\sqrt{4x-4} }$ + $\sqrt{x-\sqrt{4x-4} }$ = 2548

ขอวิธีทำด้วยนะครับ

[Heir of Ramanujan]

Hint

จัดพจน์ $x+\sqrt{4x-4}$ ให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์

Solution

$\sqrt{x+\sqrt{4x-4}} + \sqrt{x-\sqrt{4x-4}} = 2548$
พิจารณา $x+\sqrt{4x-4} = x+2\sqrt{x-1} = x-1 + 2\sqrt{x-1} + 1 = (\sqrt{x-1} +1)^{2}$
จะได้ $\sqrt{x+\sqrt{4x-4}} = \left|\sqrt{x-1} +1\right|$
ทำนองเดียวกัน จะได้ $\sqrt{x-\sqrt{4x-4}} = \left|\sqrt{x-1} -1\right|$
ดังนั้น โจทย์คือ $\left|\sqrt{x-1} +1\right| + \left|\sqrt{x-1} -1\right| = 2548$
เนื่องจาก $\sqrt{x-1} +1 > 0$ จะได้ $\left|\sqrt{x-1} +1\right| = \sqrt{x-1} +1$
จะได้ $\sqrt{x-1} +1 + \left|\sqrt{x-1} -1\right| = 2548$

กรณี $\sqrt{x-1} -1 \geqslant 0$ จะได้ $\sqrt{x-1} +1 + \sqrt{x-1} -1 = 2548$
$2\sqrt{x-1} = 2548$
$\sqrt{x-1} = 1274$
$x-1 = 1274^{2}$
$x = 1274^{2} + 1 = 1623077$

กรณี $\sqrt{x-1} -1 < 0$ จะได้ $\sqrt{x-1} +1 - \sqrt{x-1} +1 = 2548$ ซึ่งไม่เป็นจริง

ดังนั้น $x = 1623077$

[Puriwatt]

เพื่อช่วยให้เข้าใจได้ง่ายขึ้นลองดูเงื่อนไขนี้เพิ่มเติมครับ
(1) จากเทอม $\sqrt{4x−4}$ ดังนั้นจะมีเงือนไขว่า $(4x-4) \geqslant 0$ และได้เงื่อนไขว่า $x \geqslant 1$
(2) จากเทอม $\sqrt{x−\sqrt{4x−4} }$ ดังนั้นจะมีเงือนไขว่า $x−\sqrt{4x−4} \geqslant 0$ และได้เงื่อนไขว่า $x \geqslant 2$

จากนั้นก็สามารถใช้วิธีของคุณ Heir of Ramanujan ได้ง่ายขึ้น

หรือ ถ้ายังมองรูปแบบไม่ออก ก็ให้ใช้วิธียกกำลังสองแทนก็ได้ครับ

จะได้ $(x+\sqrt{4x−4}) + 2\cdot \sqrt{x+\sqrt{4x−4} }\cdot \sqrt{x−\sqrt{4x−4} } + (x−\sqrt{4x−4}) = 2548^2 $
และ $ 2548^2 = 2x + 2\cdot \sqrt{x^2-(4x−4)} = 2x + 2\cdot (x-2) = 4x - 4 $
และได้ว่า $ 1274^2 = x - 1 $

แล้วจะได้ $ x = 1274^2 + 1 = 1,623,077 $ เหมือนที่คุณ Heir of Ramanujan เฉลยครับ