ช่วยหน่อยครับ แบบฝึกหัดในค่าย สอวน.ศูนย์มหิดลครับ

[bakured]

มีบางข้อทำได้แล้วแต่ไม่แน่ใจอยากให้มาช่วยแชร์ความคิดกันหน่อยอะงับ

1.Find all integers n for which$ n-3\mid n^3-3$

2.show that for each $n\in\mathbb{Z}+, 169\mid 3^{3n+3}-26n-27$

3.show that there are infinitely many natural numbers n such that $2^n+1$is divisible by n

4.determine the integers n for which 7n+1 is divisible by 3n+4

5. for which natural numbers n do we have $3n+2\mid 5n^2+2n+4$?

6.show that for arbitrary a,b$\in \mathbb{Z}$we have $17\mid 2a+3b$ if and only if $17\mid 9a+5b$

7. show that if $n\mid 2^n-2$ for some integer $ n\geqslant 2, then also m\mid 2^m-2 for m=2^n-1$ then also มันติดกันอะครับแก้ไม่เป็น--*

8.show that the following hold for arbitrary$ n\in \mathbb{Z^+}$
8.1 $9\mid 4^n+15n-1$
8.2 $n^2\mid (n+1)^n-1$
8.3 $64\mid 3^{2n+3}+40n-27$
8.4 $(2^n-1)^2\mid 2^{n2^n-n}-1$

PART II

1. show that for an odd integer k and a positive integer n, the number $k^{2^n}-1 is divisible by 2^{n+2}$ มันเขียนว่า is divisible

2. find the GCD. of$ 2^{63}-1 and 2^{91}-1$

3.show that there are infinitely many numbers rห้อยn=n(n+1)(n+2)/6 , $n\in \mathbb{Z^+}$
that are pairwise relatively prime

4. show that for $m,n\in \mathbb{Z^+}$ such that m>n the numbers $2^{2^m}+1 and 2^{2^n}+1$ are relatively prime

5.solves the following systems of equations
5.1 x+y=150,(x,y)=30
5.2 (x,y)=45, 7x=11y
5.3 xy= 8400, (x,y)=20
5.4 xy=20, [x,y]=10

ถ้าโจทย์ผิดทักมาได้นะครับ ช่วยมาแชร์และเฉลยหน่อยนะคร้าบบบบ

[LightLucifer]

3. ถ้ายังอ้างคอนกรูเอนซ์ไม่ได้ ก็พิจรณา $n=3^k$ แล้วใช้ induction ดูครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ bakured

1.Find all integers n for which $ n-3\mid n^3-3$

$n^3-3=n^3-27+24=(n-3)(n^2+3n+9)+24$

$n-3\mid 24$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ bakured

4.determine the integers n for which 7n+1 is divisible by 3n+4

$n=-1,-3,7$

idea :

$3(7n+1)=7(3n+4)-25$

$\therefore 3n+4\mid 25$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ bakured

5. for which natural numbers n do we have $3n+2\mid 5n^2+2n+4$?

$n=-8,-2,-1,0,3,14$

idea:

$3(5n^2+2n+4)=5n(3n+2) + (12-4n)$

$\therefore 3n+2 \mid 4n-12$

$3(4n-12) = 4(3n+2) -44$

$\therefore 3n+2\mid 44$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ bakured

6.show that for arbitrary a,b$\in \mathbb{Z}$we have $17\mid 2a+3b$ if and only if $17\mid 9a+5b$

$2(9a+5b)=9(2a+3b)-17b$

[bakured]

ขอแนวคิดตั้งแต่#4จนถึง#6หน่อยได้ไหมครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ bakured

7. show that if $n\mid 2^n-2$ for some integer $n\geqslant 2$, then also $m\mid 2^m-2$ for $m=2^n-1$

เวลาพิมพ์สัญลักษณ์คณิตศาสตร์ ควรมี \$ \$ ปิดหัวปิดท้ายเสมอครับ ที่เห็นคือเปิด \$ ไว้แต่ลืมปิดมันก็เลยติดกันเป็นทางยาว

ข้อนี้ไม่ยากครับ

สมมติ $2^n-2=kn$

$2^{2^n-1}-2=2(2^{2^n-2}-1)$

$~~~~~~~~~~~~=2(2^{kn}-1)$

$~~~~~~~~~~~~=...$