โจทย์เตรียมสอบค่าย 1 สอวนตุลา 53

[Keehlzver]

ช่วยหน่อยนะครับ ขอคำเเนะนำสั้นๆก็พอครับ ผมจะตะกายต่อเอง (อันนี้เป็นข้อสอบเก่าของค่ายสอวน.ค่าย 1 นะครับ ใช้อ้างได้เเต่ทบ.หารลงตัว จำนวนเฉพาะ ไม่มี Congruence หรือฟังก์ชั่นเลขคณิต) สอบวันที่ 21 ตุลานี้ครับ


1)ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงพิสูจน์ว่า $2(1^k+2^k+...+n^k)$ หารด้วย $n(n+1)$ ลงตัวสำหรับทุกจำนวนเต็มบวกคี่ $k$

2)ให้ $n\in \mathbb{N} $ จงเเสดงว่า $2^{2^{2n+1}}+3$ เป็นจำนวนประกอบเสมอ

3)ให้ $a,b,c,d$ เป็นจำนวนเต็มใดๆ จงพิสูจน์ว่า $(a-c)|(ab+cd)$ ก็ต่อเมื่อ $(a-c)|(ad+bc)$

4)จงเเสดงว่า มีจำนวนเต็มบวก $n\geq 2$ อยู่เป็นจำนวนอนันต์ ที่ทำให้ผลคูณ
$(2^2-1)(3^2-1)...(n^2-1)$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

5) จงพิสูจน์ว่า ถ้า $(a,b)=1$ เเละ $2|ab$ เเล้ว $((a+b)^2,a^4+2a^2b^2+b^4)=1$

6) จงเเสดงว่าถ้า $k$ เป็นจำนวนเต็มคี่บวก เเละ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก เเล้ว $2^{n+2}|(k^{2^{n}})-1$

[LightLucifer]

1. พิสูจน์ว่า $n\mid 2(1^k+2^k+...+n^k)$ และ $n+1\mid 2(1^k+2^k+...+n^k)$
2. พิสูจน์ว่าทุกพจน์หารด้วย $7$ ลงตัว
3. บวกด้วย $(a-c)$คูณกับตัวอะไรสักตัวดูครับ
4. pell's equation
5. ลองใช้สมบัติ หรม ดูครับ
6. induction หรือ factorize เอาก็ได้