ร่วมกันเฉลยแบบเรียน สอวน.กันมั้ย

[[FC]_Inuyasha]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ใช้ SOS

$3x^2+y^2+z^2-2xy-2xz=x^2+(x-y)^2+(x-z)^2$

SOS คือไรเหรอครับ

[Amankris]

ว่างๆเลยลองคิดข้อนี้ดูครับ เห็นว่ายังหาอีกรากไม่ได้ ผมใช้อีกวิธีหนึ่ง
$$5\left (\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right )=6x+8\sqrt{1-x^2}$$

Soln

เนื่องจาก $-1\leqslant x\leqslant 1$

ให้ $\displaystyle \theta =\frac{\arccos x}{2}$ ได้ว่า $\displaystyle 0\leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2}$

ดังนั้น $\displaystyle x=\cos2\theta$ นั่นคือ $\displaystyle 1+x=2\cos^2\theta $ และ $\displaystyle 1-x=2\sin^2\theta $

จัดรูปสมการใหม่ได้เป็น $$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \theta +\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \theta =\frac{3}{5}\cos 2\theta +\frac{4}{5}\sin 2\theta $$
ให้ $\displaystyle \alpha =\arcsin \frac{3}{5}$ ได้ว่า $\displaystyle 0\leqslant \alpha \leqslant \frac{\pi}{2}$

ดังนั้น $\displaystyle \sin \alpha =\frac{3}{5}$ และ $\displaystyle \cos \alpha =\frac{4}{5}$
จัดรูปสมการอีกครั้ง $$\sin \left (\theta +\frac{\pi}{4}\right )=\sin \left (2\theta +\alpha \right)$$
$$0=2\cos \left(\frac{12\theta +4\alpha +\pi}{8}\right)\sin \left(\frac{4\theta +4\alpha-\pi}{8}\right)$$
กรณี $\displaystyle \sin \left(\frac{4\theta +4\alpha-\pi}{8}\right)=0$

แต่ $\displaystyle -\frac{\pi}{8}\leqslant \frac{4\theta +4\alpha-\pi}{8}\leqslant \frac{3\pi}{8}$ ดังนั้น $\displaystyle \frac{4\theta +4\alpha-\pi}{8}=0$

นั่นคือ $\displaystyle \theta =\frac{\pi}{4}-\alpha $ และ $\displaystyle x=\cos 2\theta =\frac{24}{25}$


กรณี $\displaystyle \cos \left(\frac{12\theta +4\alpha +\pi}{8}\right)=0$

แต่ $\displaystyle \frac {\pi}{8}\leqslant \frac{12\theta +4\alpha +\pi}{8}\leqslant \frac{9\pi}{8}$ ดังนั้น $\displaystyle \frac{12\theta +4\alpha +\pi}{8}=\frac {\pi}{2}$

นั่นคือ $\displaystyle \theta =\frac{\pi}{4}-\frac {\alpha }{3}$ และ $\displaystyle x=\cos 2\theta =\sin \frac{2\arcsin \frac{3}{5}}{3}$

[poper]

หายไปนาน... ขอบคุณ คุณ Amankris ครับแต่วิทยายุทธผมคงยังไม่ถึงอ่ะครับ
ข้อ 4.1 ผมไม่แน่ใจว่าโจทย์ผิดมั้ยนะครับ เพราะลองคิดแล้วมันก็ไม่ได้สักที
พอสังเกตเห็นโจทย์น่าจะเป็นลักษณะ cyclic น่าจะเป็นแบบนี้
$$\frac{1}{a(a-b)(c-a)}+\frac{1}{b(b-c)(b-a)}+\frac{1}{c(c-a)(c-b)}$$
พอลองทำดูก็ได้คำตอบสวยดีครับ
$$\frac{bc(b-c)+ac(c-a)+ab(a-b)}{abc(a-b)(b-c)(c-a)}$$
$$\frac{b^2c-bc^2+ac^2-a^2c+a^2b-ab^2}{abc(a-b)(b-c)(c-a)}$$
$$\frac{a^2(b-c)+a(c^2-b^2)+bc(b-c)}{abc(a-b)(b-c)(c-a)}$$
$$\frac{-(a-b)(b-c)(c-a)}{abc(a-b)(b-c)(c-a)}$$
$$-\frac{1}{abc}$$

[MoO_O~^^]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

$$3^2+4^2=5^2$$
$$5^2+12^2=13^2$$
$$7^2+24^2=25^2$$
$$9^2+40^2=41^2$$

ขอโทดนะครับ ที่รื้อขึ้นมานานแล้ว
ผมได้ สมมติฐาน อย่างนี้อะครับ
$$n^2+(\frac{n^2-1}{2})^2=(\frac{n^2+1}{2})^2$$
ช่วยแนะด้วยครับ

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MoO_O~^^

ขอโทดนะครับ ที่รื้อขึ้นมานานแล้ว
ผมได้ สมมติฐาน อย่างนี้อะครับ
$$n^2+(\frac{n^2-1}{2})^2=(\frac{n^2+1}{2})^2$$
ช่วยแนะด้วยครับ

ได้เหมือนกันครับ
นี่คือเลขชุดปีทาโกรัสสินะครับ

[MoO_O~^^]

ครับ ขอบคุณมากๆเลยครับ ที่มาตอบใหั
ปล. ชุดเลขปีทาโกรัสหรอครับ ว่าละ คุ้นๆเหมือนเคยเห็น

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [FC]_Inuyasha

SOS คือไรเหรอครับ

SOS = sum of squares

[poper]

4.2 $$\frac{a^2-b^2-c^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2-c^2-a^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{c^2-a^2-b^2}{(a-b)(a-c)}$$

ข้อนี้ก็ไม่รู้ว่าโจทย์ผิดมั้ยนะครับ ผมทำได้แค่นี้อ่ะครับ
$$\frac{a^2-b^2-c^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2-c^2-a^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{c^2-a^2-b^2}{(a-b)(a-c)}$$ $$=\frac{-a^2-b^2-c^2}{(a-b)(a-c)}$$ $$=-\frac{a^2+b^2+c^2}{(a-b)(a-c)}$$

[poper]

มาเพิ่มแล้วนะครับ
โจทย์ปัญหา 1.4
1. จงพิสูจน์เอกลักษณ์ในข้อต่อไปนี้
1.1 $(a+b+c+d)^2+(a+b-c-d)^2+(a-b+c-d)^2+(a-b-c+d)^2=4(a^2+b^2+c^2+d^2)$
1.2 $(a+b+c)^3-(a+b-c)^3-(c+a-b)^3-(b+c-a)^3=24abc$
1.3 $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-bc-ca-ab)=\frac{1}{2}(a+b+c)[(b-c)^2+(c-a)^2+(a-b)^2]$
1.4 $xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)+2xyz=(y+z)(z+x)(x+y)$
1.5 $a^3+b^3+c^3+3(b+c)(c+a)(a+b)=(a+b+c)^3$
แค่นี้ก่อนท่านใดสนใจเชิญเลยนะครับ
มาเพิ่มอีก 5 ข้อครับ
1.6 $(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)-(ax+by+cz)^2=(bx-ay)^2+(cy-bz)^2+(az-cx)^2$
1.7 $a^4+b^4-c^4-2a^2b^2+4abc^2=(a+b+c)(a+b-c)(a^2+b^2+c^2-2ab)$
1.8 $x^2y^2z^2-(x+y+z)xyz+xy+yz+zx-1=(xz-1)(yz-1)(xy-1)$
1.9 $x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3-x^4yz-xy^4z-xyz^4=(xz-y^2)(yz-x^2)(xy-z^2)$
1.10 $(2a-b)^3+(2b-c)^3+(2c-a)^3=3(2a-b)(2b-c)(2c-a)$

[BLACK-Dragon]

ข้อ 1.5

$a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)(ab+bc+ca)+3xyz$

$3(b+c)(c+a)(a+b)=3(a+b+c)(ab+bc+ca)-3xyz$

$a^3+b^3+c^3+3(b+c)(c+a)(a+b)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+2(a+b+c)(ab+bc+ca)$

$=(a+b+c)(a+b+c)^2$

$=(a+b+c)^3$

[BLACK-Dragon]

ข้อ 1.4

$xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)+2xyz=x^2y+x^2z+y^2x+y^z+z^2x+z^2y+2xyz$

$=(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz$

จากข้อ 1.5

$(y+z)(z+x)(x+y)=(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz$

[poper]

1.1 $(a+b+c+d)^2+(a+b-c-d)^2+(a-b+c-d)^2+(a-b-c+d)^2=4(a^2+b^2+c^2+d^2)$

$$=[(a+b)+(c+d)]^2+[(a+b)-(c+d)]^2+[(a-b)+(c-d)]^2+[(a-b)-(c-d)]^2$$ $$=2(a+b)^2+2(c+d)2+2(a-b)^2+2(c-d)^2$$ $$=2(2a^2+2b^2+2c^2+2d^2)$$ $$=4(a^2+b^2+c^2+d^2)$$

1.2 $(a+b+c)^3-(a+b-c)^3-(c+a-b)^3-(b+c-a)^3=24abc$

$$=[(a+b)+c]^3-[(a+b)-c]^3-[c+(a-b)]^3-[c-(a-b)]^3$$ $$=[6(a+b)^2c+2c^3]-[2c^3+6(a-b)^2c]$$ $$=6c[(a+b)^2-(a-b)^2]$$ $$=6c(4ab)=24abc$$

1.3 $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-bc-ca-ab)=\frac{1}{2}(a+b+c)[(b-c)^2+(c-a)^2+(a-b)^2]$

$$=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc$$ $$=[(a+b)^3+c^3]-3ab(a+b+c)$$ $$(a+b+c)((a+b)^2-(a+b)c+c^2)-3ab(a+b+c)$$ $$=(a+b+c)[a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab]$$ $$=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-bc-ac-ab)$$ $$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-bc-ac-ab)=(a+b+c)[\frac{2a^2+2b^2+2c^2-2bc-2ac-2ab}{2}]$$ $$=\frac{1}{2}(a+b+c)[(b-c)^2+(c-a)^2+(a-b)^2]$$

1.4 $xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)+2xyz=(y+z)(z+x)(x+y)$

ข้อนี้ผมทำอีกแบบกับคุณ BLACK-Dragon ครับ
$$=x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2+2xyz$$ $$=(y+z)x^2+(y+z)^2x+yz(y+z)$$ $$=(y+z)(x^2+(y+z)x+yz)=(y+z)(z+x)(x+y)$$

1.5 $a^3+b^3+c^3+3(b+c)(c+a)(a+b)=(a+b+c)^3$

ข้อนี้ทำแบบคุณ BLACK-Dragon ง่ายกว่าแต่ก็ขอลงไว้เผื่อละกันครับ
$$=(a^3+b^3)+c^3+3(b+c)(c+a)(a+b)$$ $$=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3+3(b+c)(c+a)(a+b)$$ $$[(a+b)^3+c^3]-3(a+b)[ab-(b+c)(c+a)]$$ $$=(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3(a+b)(-ac-c^2-bc)$$ $$(a+b+c)[a^2+b^2+c^2+2ab-ac-bc]+3c(a+b)(a+b+c)$$ $$=(a+b+c)[(a+b+c)^2-3c(a+b)+3c(a+b)]$$ $$=(a+b+c)^3$$

[BLACK-Dragon]

คุณ poper ทำข้อ 1.2 แค่ 4 บรรทัดเองครับ

สุดยอดครับเก่งมาก ๆ คาราวะ

ส่วนผมเกือบ 1 หน้า เต็มๆเลย

[BLACK-Dragon]

คุณ poper

มีอีกไหมอ่ะครับ

[poper]

กลับไปดูข้อ 1.5 ของคุณ BLACK-Dragon แล้ว ตรง $3xyz$ ต้องเป็น $3abc$ รึป่าวครับ
ส่วนโจทย์ประเภทนี่ผมก็ไม่ค่อยรู้จักเอกลักษณ์มากมายนัก ก็เลยจัดกลุ่มนู้นกลุ่มนี้แล้วค่อยๆแยกออกมา ถ้าไม่ได้ถึงจะกระจายนะครับ