โจทย์สมการตรีโกณในMy Mathเล่ม64

[กิตติ]

พอดีเพิ่งซื้อมาเมื่อบ่ายนี้ เป็นโจทย์ในหน้าสุดท้าย ผมนั่งแก้ได้ข้อเดียว ไม่รู้ว่าผิดตรงไหน
$\sqrt{sinx} \cdot cosy=0$.......(1)
$2sin^2x-cos2y=2$..............(2)


จาก(1)ยกกำลังสองทั้งสองข้างได้
$sinx\cdot cos^2y=0$....(3)
จาก(2)แทน$cos2y$ด้วย$2cos^2y-1$จะได้ว่า
$2sin^2x-(2cos^2y-1)=2$
$2sin^2x-2cos^2y+1=2$
$2(sin^2x-cos^2y)=1$
$sin^2x-cos^2y=\frac{1}{2} $
$(sinx-cosy)(sinx+cosy)=\frac{1}{2}$........(4)
จาก(3)จะได้ว่า$sinx=0$ หรือ$cos^2y=0$ คือ$cosy=0$
ให้$cosy=0$แทนใน(4)จะได้ว่า $sin^2x=\frac{1}{2} \rightarrow sinx=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$; แต่จากสมการที่(1) $sinx\geqslant 0$
ให้$sinx=0$แทนใน(4)จะได้ว่า$cos^2y= -\frac{1}{2}$ ซึ่งสมการนี้ไม่เป็นจริง
คำตอบคือ$sinx= \frac{1}{\sqrt{2}},cosy=0$

ได้ค่าของ$x=\frac{\pi}{4}+2n\pi ,\frac{3\pi}{4}+2n\pi $ และค่าของ$y=\frac{(2n+1)\pi}{2} $ เมื่อ$n=0,1,2,3,...$

มีค้างอีก3ข้อเดี๋ยวคิดเสร็จค่อยรบกวนช่วยดูครับ

[ครูนะ]

โจทย์ของ Sup K หรือเปล่าครับ ผมอ่านหน้าสุดท้ายเรื่องเรขาคณิตครับ

ค่อนข้างยากทีเดียว ต้องใช้ความรู้เมเนลอส

[กิตติ]

ใช่แล้วครับ...เรขาคณิตไม่ถนัดครับ...เห็นโจทย์สมการตรีโกณแล้วลองทำดูครับ....ผมก็ลืมๆความรู้ตรีโกณไปบ้างแล้ว ลองทวนๆดูครับ ข้อแรกก็พิมพ์โจทย์ผิด ก็แก้แล้ว
ข้อต่อไปครับ
$4siny-6\sqrt{2}cosx=5+4cos^2y$...........(1)
$cos2x=0$..............(2)
จาก(2) $cos2x=2cos^2x-1=0 \rightarrow (\sqrt{2}cosx+1 )(\sqrt{2}cosx-1 )=0$
ดังนั้น$cos x =\pm \frac{1}{\sqrt{2} } $...นำค่า$cosx$ลงไปแทนทีละค่า
$cosx=\frac{1}{\sqrt{2} }$
$4siny-6 = 5+4cos^2y \rightarrow 4siny-6= 5+4(1-sin^2y)$
$4sin^2y+4siny-15=0$ แก้สมการได้ค่า$siny = \frac{3}{2} ,-\frac{5}{2} $
ซึ่งโดยค่า$-1\leqslant sin\theta \leqslant 1$....ค่าที่หาได้จึงใช้ไม่ได้
$cosx=-\frac{1}{\sqrt{2} }$
$4siny+6 = 5+4cos^2y \rightarrow sin^2y+4siny-3=0$
แก้สมการได้ค่า$siny = -\frac{3}{2} ,\frac{1}{2} $.....ค่าที่ใช้ได้คือ $siny = \frac{1}{2} $
ได้คำตอบคือ$cosx=-\frac{1}{\sqrt{2} },siny = \frac{1}{2}$
$x=(n+1)\pi -\frac{\pi }{4},(n+1)\pi +\frac{\pi }{4}$ และ
$y=2n\pi+\frac{\pi }{6},2n\pi+\frac{5\pi }{6}$
เมื่อ$n=0,1,2,3,...$

[กิตติ]

ข้อนี้ผมแก้แล้วไม่มีคำตอบในระบบจำนวนจริง.......ไม่รู้ว่าคิดผิดหรือเปล่า

$sin^2(-2x)-(3-\sqrt{2})tan5y=\frac{3\sqrt{2} -1}{2} $..............(1)
$tan^25y+(3-\sqrt{2})sin(-2x)=\frac{3\sqrt{2} -1}{2}$..............(2)

ให้$sin(-2x)=A$ และ $tan5y=B$
$A^2-(3-\sqrt{2})B=\frac{3\sqrt{2} -1}{2} $..............(1)
$B^2+(3-\sqrt{2})A=\frac{3\sqrt{2} -1}{2}$..............(2)
จะได้ว่า(1)=(2);$A^2-(3-\sqrt{2})B=B^2+(3-\sqrt{2})A$
$A^2-B^2 =(3-\sqrt{2})(A+B)$
$(A+B)(A-B) = (3-\sqrt{2})(A+B)$
$A-B = 3-\sqrt{2}$
$A=B+3-\sqrt{2}$..นำค่าไปแทนใน(2)
$B^2+(3-\sqrt{2})(B+3-\sqrt{2})=\frac{3\sqrt{2} -1}{2}$
$2B^2+2(3-\sqrt{2})(B+3-\sqrt{2})=3\sqrt{2} -1$
$2B^2+2(3-\sqrt{2})B+2(3-\sqrt{2})^2-3\sqrt{2} +1=0$
$2B^2+2(3-\sqrt{2})B+(23-15\sqrt{2}) =0$
มาตรวจตรง$b^2-4ac\geqslant 0$หรือไม่
$[2(3-\sqrt{2})]^2-4(2)(23-15\sqrt{2})$
$4(11-6\sqrt{2})-(184-120\sqrt{2})$
$44-24\sqrt{2}-184+120\sqrt{2}$
$96\sqrt{2}-140$ ซึ่งค่านี้ น้อยกว่า$0$....จึงไม่มีค่าที่สอดคล้อง
ดังนั้นจึงไม่มีค่าของ$x$และ$y$ในระบบจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ

[กิตติ]

ข้อ4...คิดคำตอบได้แค่ค่า$tan$ คิดเป็นค่ามุมไม่ได้เพราะมันติดรูทอิรุงตุงนัง ผมคิดผิดแล้วมั้งครับ เพราะปกติโจทย์น่าจะให้คำตอบออกมาสวยๆ

$tanx\cdot tany=5-2\sqrt{6} $..................(1)
$x+y=\frac{\pi }{4} $..................(2)

$tan(x+y)=tan(\frac{\pi }{4})=1$
$\frac{tanx+tany}{1-tanx\cdot tany}=1 $
แทนค่า$tanx\cdot tany$จาก(1)
$\frac{tanx+tany}{1-(5-2\sqrt{6})}=1$
$tanx+tany=2\sqrt{6}-4$
$tanx=(2\sqrt{6}-4)-tany$....นำไปแทนใน(1)
$tany\cdot ((2\sqrt{6}-4)-tany) = 5-2\sqrt{6}$
$tan^2y-(2\sqrt{6}-4)tany+(5-2\sqrt{6})=0$
$tany=\frac{(2\sqrt{6}-4)\pm \sqrt{(2\sqrt{6}-4)^2-4(5-2\sqrt{6})} }{2} $
$=\frac{(2\sqrt{6}-4)\pm \sqrt{20-8\sqrt{6}} }{2} $
$=\sqrt{6}-2\pm(\sqrt{3}-\sqrt{2})$
แก้สมการได้ค่า$tany=(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{2} +1) , tanx=(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{2} -1)$
และ$tanx=(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{2} +1) , tany=(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{2} -1)$

ถ้าจะตอบจริงคงต้องตอบเป็น$arctan$แล้วมั้งครับ

[★★★☆☆]

$\tan 37.5^\circ = \tan (75^\circ/ 2) = \sqrt{6}+\sqrt{3}-\sqrt{2}-2$

$\tan 7.5^\circ = \tan (15^\circ/ 2) = \sqrt{6}-\sqrt{3}+\sqrt{2}-2$

[กิตติ]

ขอบคุณครับที่ช่วยนั่งคิดให้ครับ.....

$tan 30 = tan(180-150) =\frac{tan180-tan150}{1+tan180tan150} =\frac{1}{\sqrt{3} } $

$tan 180 =0 \therefore \frac{1}{\sqrt{3}}=-tan150 \rightarrow tan150= -\frac{1}{\sqrt{3}} $

$tan150=\frac{2tan75}{1-tan^275} =-\frac{1}{\sqrt{3}}$

$2\sqrt{3}tan75=tan^275-1$

$tan^275-2\sqrt{3}tan75-1=0$

$tan75=\frac{2\sqrt{3}\pm \sqrt{12+4} }{2} =\sqrt{3}\pm2$ ค่าที่ใช้ได้คือ$\sqrt{3}+2$

$tan75=\frac{2tan37.5}{1-tan^237.5} =\sqrt{3}+2$

$(\sqrt{3}+2)tan^237.5-2tan37.5-(\sqrt{3}+2)=0$

$tan37.5=\frac{2\pm \sqrt{4+4(\sqrt{3}+2)^2} }{2(\sqrt{3}+2)} $

$tan 37.5 = 2+\sqrt{6}-\sqrt{3}-\sqrt{2}$

คิดไปคิดมามึนงงไปหมด....

[★★★☆☆]

ผมคิดแบบนี้ครับ.



tan 75 = (tan 45 + tan 30)/(1 - tan 45 tan 30) = $(\sqrt{3} + 1)/(\sqrt{3} - 1)$

จากรูป ให้ AB = BD จะได้มุม A = 75/2

ให้ CD = $\sqrt{3} + 1$ และ BC = $\sqrt{3} - 1$

จะได้ $BD^2 = (\sqrt{3} + 1)^2+(\sqrt{3} - 1)^2$

ดังนั้น $BD = 2\sqrt{2}$

tan A = CD/AC = $ (\sqrt{3} + 1)/(2\sqrt{2} +\sqrt{3}-1)$

คอนจุเกตด้วย $2\sqrt{2}-(\sqrt{3}-1)$ จะได้ $(2\sqrt{2}-\sqrt{3}+1)/(\sqrt{3} + 1)$

คอนจุเกตด้วย $\sqrt{3}-1$ ก็จะได้ $\sqrt{6}+\sqrt{3}-\sqrt{2}-2$

[กิตติ]

ขอบคุณมากครับคุณ★★★☆☆ที่เขียนวิธีให้ได้เรียนรู้อีกวิธีหนึ่งในการหาค่ามุม พอดีผมไม่ค่อยถูกโรคกับพวกเรขาคณิต
จริงๆผมพาอ้อมโลกอีกแล้ว ทำไมผมไม่มองว่า$75=30+45$.....ไม่ค่อยได้ใช้ความรู้เก่ามันก็เลยขึ้นสนิม จริงไหมครับ
ไม่มีใครช่วยดูหน่อยเลยว่า ตรงไหนที่ผมคิดผิดไปบ้าง ช่วยชี้แนะด้วยครับ

[Onasdi]

ข้อสาม ผมคิดว่าพลาดไปนิดนึงตรง
$(A+B)(A-B) = (3-\sqrt{2})(A+B)$
$\Rightarrow A-B = 3-\sqrt{2}$

[กิตติ]

จาก$ac=ad$ แล้ว $c=d$....ถ้า$a \not= 0$
ผมใช้ตรงนี้มาสรุป....ดังนั้นเมื่อผมสรุปตามนี้แล้วไม่ได้คำตอบ นั่นแสดงว่า$A+B=0$..สรุปแบบนี้เลยได้ไหมครับ ถ้าเป็นอย่างนั้น $A= -B$
นำไปแทนในสมการ จะได้ว่าในสมการที่2
$B^2+(3-\sqrt{2})A=\frac{3\sqrt{2} -1}{2}$
$B^2-(3-\sqrt{2})B=\frac{3\sqrt{2} -1}{2}$
$2B^2-2(3-\sqrt{2})B-(3\sqrt{2} -1)=0$

$B=\frac{2\pm \sqrt{4(3-\sqrt{2})^2+4(2)(3\sqrt{2} -1)} }{2(2)} $
$B=\frac{2\pm \sqrt{44-24\sqrt{2}+24\sqrt{2}-8} }{4} $
$B= -1,2$ ดังนั้น$A=-2,1$

$sin(-\theta ) = -sin\theta $ ดังนั้น$sin2x=-1,2$ เนื่องจากค่า$-1\leqslant sin\theta\leqslant 1$ , $sin2x= -1$
จะได้ว่า....$2x=\frac{3\pi }{2} ,\frac{3\pi }{2}+2\pi+\frac{3\pi }{2}+4\pi,...,\frac{3\pi }{2}+2n\pi$

$x=\frac{3\pi }{4} ,\frac{3\pi }{4}+2\pi+\frac{3\pi }{4}+4\pi,...,\frac{3\pi }{4}+2n\pi$
$x=\frac{3\pi }{4}+2n\pi$ เมื่อ$n=0,1,2,...$

$tan5y= -1,2$
$tan5y = -1 \rightarrow 5y =\frac{3\pi }{4},\frac{3\pi }{4}+2n\pi $ กับ$5y= \frac{7\pi }{4},\frac{7\pi }{4}+2n$ เมื่อ$n=0,1,2,...$
$y=\frac{3\pi }{20}+2n\pi ,\frac{7\pi }{4}+2n\pi$ เมื่อ$n=0,1,2,...$

สำหรับ$tan5y=2$....ลืมวิธีการเปิดตารางค่าตรีโกณ ทิ้งไว้เท่านี้ก่อนแล้วกันครับ