เพชรยอดมงกุฎ(ทำไม่ได้ครับช่วยที)ปี 48

[RedfoX]

1. กำหนดให้ R เป็นเซตของจำนวนจริง และความสัมพันธ์
\[
r = \{ (x,y) \in R \times R \bot y^2 = xy + 8\}
\]
จำนวนสมาชิก ของ
\[
r \cap r^{ - 1}
\]
เท่ากับเท่าไร (ขอแนวคิดนะครับ)
2.ถ้าเส้นตรง ax+by+c=0 สัมผัสเส้นโค้ง
\[
y = a(3x - 2)^2
\]
ที่ จุด (-1,2 ) จงหาสมการของเส้นสัมผัวเว้นโค้งนี้แล้ว a+b+c มีค่าเท่าไร เมื่อ หรม.ของ a,b,c เท่ากับ 1
(คิดแล้ว a,b,c ไม่เป็นจำนวนเต็มครับ )
3.ถ้า
\[
Ax^2 + Bx + C = 0
\]
มี A,B,C เป็นลำดับเลขคณิตและผลคูณของรากทั้งสองเป็นสองเท่าของผลบวกของรากทั้งสองนั้น
แล้ว
\[
AC + 8B^2
\]
มีค่าเท่าไร (คิดเป็นตัวเลขไม่ได้น่ะครับ)

[M@gpie]

ข้อ 1. ในเซต $r\cap r^{-1}$ จะอยู่บนเส้นตรง $x=y$ ครับผม
ข้อ 2. ผมก็ได้ $a$ ไม่เป็นจำนวนเต็มครับ
ข้อ 3. ได้ตัวเลข .... ครับ

[RedfoX]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ M@gpie

ข้อ 1. ในเซต $r\cap r^{-1}$ จะอยู่บนเส้นตรง $x=y$ ครับผม

หมายความว่าไงหรือครับ

[gnopy]

ก็หากรณี x = y รู้สึกว่าผมคิดได้ 2 อะ ส่วนข้อ3 นั้นได้ตัวเลขครับ
ปล. ข้อสอบชุดนี้ผมเคยทำแล้ว และซื้อหนังสือมาด้วย แต่ตอนนี้่อยู่ที่บ้านครับเปิดเฉลยคำตอบให้ดูมะได้

[M@gpie]

อ่า คิดไปคิดมาเริ่มแปลกๆครับ เหมือนคิดไม่ครบ ขอเปลี่ยนวิธีทำครับเป็น
\[ r=\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 | y^2=xy+8\}, \; \; r^{-1}=\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 | x^2=xy+8\}\]
จับสองสมการลบกันจะได้ $x^2-y^2=0$ จะได้ 2 กรณีคือ $y=x, \;\; y=-x$ เอาไปแก้สมการก็จะได้ผลลัพธ์คือ 2 คำตอบ เหมือนน้อง gnopy ครับ

[RedfoX]

อ๋ิอเข้าใจละครับ (ตอนนี้ได้หมดทุกข้อแล้วครับขอบคุณมากนะครับทุกท่าน) อืม แล้วหนังสือ ที่คุณ gnopy ว่านี่มีขายที่ไหนหรือครับ ผมไม่เคยเห็นเลยอะ
ขอถามเพิ่มอีกข้อนะครับ
ถ้า (a,b) & (c,d) เป็นคำตอบ ของสมการ
\[
y^2 (x + 1) = 1567 + x^2
\]
โดยที่ a,b,c,d เป็นจำนวนเต็มบวก แล้ว a+b+c+d เท่ากับเท่าไร

[RedfoX]

กำหนดให้
\[
(x_1 ,y_1 ),(x_2 ,y_2 ),(x_3 ,y_3 )
\]
เป็นคำตอบของระบบสมการ
\[
\begin{array}{l}
x^3 - 3x^2 y = 2005 \\
y^3 - 3xy^2 = 2004 \\
\end{array}
\]
ถ้า
\[
\left( {1 - \frac{{x_1 }}{{y_1 }}} \right)\left( {1 - \frac{{x_2 }}{{y_2 }}} \right)\left( {1 - \frac{{x_3 }}{{y_3 }}} \right) = A^{ - 1}
\]
แล้ว A =?

[nongtum]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RedfoX

ถ้า (a,b) & (c,d) เป็นคำตอบ ของสมการ
\[
y^2 (x + 1) = 1567 + x^2
\]
โดยที่ a,b,c,d เป็นจำนวนเต็มบวก แล้ว a+b+c+d เท่ากับเท่าไร

ลองพิจารณา $y^2=x-1+\frac{2^5\times7^2}{x+1}$ ดูสิครับ

[gnopy]

หนังสือพอดีว่าปี49ผมได้เข้าร่วมการแข่งขันแล้วก็ซื้อที่เค้าขายกันในโรง
เรียนที่ไปแข่ง แล้วก็เห็นอยู่ตามศูนย์หนังสือจุฬา(ลองไปสอบถามดู) มาบุญครองครับ ซีเอ็ดชั้น 7 หรือลองดูแถวซีเอ็ดสาขาต่างๆ มันเล่มสีเหลืองปนกับสีเขียวอะครับ

[M@gpie]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RedfoX

กำหนดให้
\[
(x_1 ,y_1 ),(x_2 ,y_2 ),(x_3 ,y_3 )
\]
เป็นคำตอบของระบบสมการ
\[
\begin{array}{l}
x^3 - 3x^2 y = 2005 \\
y^3 - 3xy^2 = 2004 \\
\end{array}
\]
ถ้า
\[
\left( {1 - \frac{{x_1 }}{{y_1 }}} \right)\left( {1 - \frac{{x_2 }}{{y_2 }}} \right)\left( {1 - \frac{{x_3 }}{{y_3 }}} \right) = A^{ - 1}
\]
แล้ว A =?

ตอบ $A=1002$ ใช่ไหมครับ

[RedfoX]

ทำยังไงละครับ ทำไม่เป็นนะครับ

[หยินหยาง]

แนวคิดแบบนี้หรือเปล่าครับคุณ M@gpie
$\begin{array}{l}
x^3 - 3x^2 y = 2005 \\
y^3 - 3xy^2 = 2004 \\
\end{array}$
จากสมการข้างบน นำมาลบกันจะได้ว่า x-y =1 หรือ x =y+1
นำไปแทนค่าในสมการข้างบนสมการที่ 1 จะได้ $2y^3+3y^2+2004 = 0$
และนำ x =y+1แทนลงใน $\left( {1 - \frac{{x_1 }}{{y_1 }}} \right)\left( {1 - \frac{{x_2 }}{{y_2 }}} \right)\left( {1 - \frac{{x_3 }}{{y_3 }}} \right) = A^{ - 1}$
จะได้ว่า $\frac{-1}{y_1y_2y_3} = A^{ - 1}$
ดังนั้นจะได้ว่า A = 1002

[M@gpie]

ถูกต้องนะคร้าบ ผม ที่ถามคำตอบก่อนเพราะไม่แน่ใจน่ะครับว่าถูกไหม
ส่วนอีกข้อทำตามที่พี่ nongtum แนะนำแล้ว ก็ยังแยกกรณีอ่วม พอสมควรทีเดียวครับ มีวิธีสั้นๆไหมเอ่ย?

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RedfoX

อ๋ิอเข้าใจละครับ (ตอนนี้ได้หมดทุกข้อแล้วครับขอบคุณมากนะครับทุกท่าน) อืม แล้วหนังสือ ที่คุณ gnopy ว่านี่มีขายที่ไหนหรือครับ ผมไม่เคยเห็นเลยอะ
ขอถามเพิ่มอีกข้อนะครับ
ถ้า (a,b) & (c,d) เป็นคำตอบ ของสมการ
\[
y^2 (x + 1) = 1567 + x^2
\]
โดยที่ a,b,c,d เป็นจำนวนเต็มบวก แล้ว a+b+c+d เท่ากับเท่าไร

จากการแนะนำของคุณ nongtum จะได้ว่า
$(a,b) $ $ (c,d) $คือ $ (1,28) $ $(783,28)$

ดังนั้น $a+b+c+d =840$

[RedfoX]

สงสัยอีกข้อนึงครับ
พื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC ที่มีจุดยอดที่ A(1,-1,1) B(2,1,-1) C(-1,-1,-2) เท่ากับกี่ตารางหน่วย
ีสงสับว่ามันเป็นรูปสามมิตินิ แล้วงี้พื้นที่มันจะเอาด้านไหนอะครับ