Binomial

[Influenza_Mathematics]

1. จงพิสูจน์
$\dbinom{m}{0}\dbinom{n}{k}+\dbinom{m}{1}\dbinom{n}{k-1}+..+\dbinom{m}{k}\dbinom{n}{0} = \dbinom{m+n}{k}$
2. จงพิสูจน์ $\dbinom{n}{1}+\dbinom{n}{3}+\dbinom{n}{5}+...+\dbinom{n}{q} = 2^{n-1}$ สำหรับ $q=n$ เมื่อ $n$ เป็นเลขคี่ $q=n-1$ เมื่อ $n$ เป็นเลขคู่

ขอคำแนะนำด้วยครับ

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics

1. จงพิสูจน์
$\dbinom{m}{0}\dbinom{n}{k}+\dbinom{m}{1}\dbinom{n}{k-1}+..+\dbinom{m}{k}\dbinom{n}{0} = \dbinom{m+n}{k}$
2. จงพิสูจน์ $\dbinom{n}{1}+\dbinom{n}{3}+\dbinom{n}{5}+...+\dbinom{n}{q} = 2^{n-1}$ สำหรับ $q=n$ เมื่อ $n$ เป็นเลขคี่ $q=n-1$ เมื่อ $n$ เป็นเลขคู่

ขอคำแนะนำด้วยครับ

ข้อ 1 ลองพิจรณาการเลือกคน k คนจากผู้ชาย m คนหญิง n คน ดูครับ
ข้อ 2 ลองพิสูจน์ว่า $\dbinom{n}{1}+\dbinom{n}{3}+\dbinom{n}{5}+...=\dbinom{n}{2}+\dbinom{n}{4}+\dbinom{n}{6}+...$

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics

1. จงพิสูจน์
$\dbinom{m}{0}\dbinom{n}{k}+\dbinom{m}{1}\dbinom{n}{k-1}+..+\dbinom{m}{k}\dbinom{n}{0} = \dbinom{m+n}{k}$

นี่เรียกว่าเอกลักษณ์การเลือกคณะกรรมการครับ ในที่นี้จะพิสูจน์ในเชิงคอมบินาทอริก หลักการก็คือ เราคิดเสียว่ามีคนอยู่ m+n คน เราต้องการเลือกคนมา k คนเพื่อเป็นกรรมการซึ่งทำได้ = R.H.S. วิธี ตามโจทย์

แต่ในขณะเดียวกัน คนจำนวน m+n คนนี้ ถ้าเราคิิดว่ามีแบ่งออกเป็น 2 กลุ่ม คือกลุ่มละ m คน กับ n คน จากนั้นก็แบ่งกรณีย่อย ๆ ออกเป็นทั้งหมด k + 1 กรณี เช่น กรณีที่ 1, กลุ่มแรกเลือกมา 0 คน อีกกลุ่มเลือกมา k คน , กรณีที่ 2, ....

จากนั้นโดยกฎของการบวก ก็จะได้เอกลักษณ์ตามที่ต้องการครับ.

[Influenza_Mathematics]

ต่อไปเลยนะครับ
มีจุด $10$ จุด อยู่บนเส้นรอบวงของวงกลมมวงหนึ่ง จะสร้างรูปหลายเหลี่ยมนูนที่มีจุดยอดอยู่ในจุดเหล่านี้ได้ทั้งหมดกี่รูป

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics

ต่อไปเลยนะครับ
มีจุด $10$ จุด อยู่บนเส้นรอบวงของวงกลมมวงหนึ่ง จะสร้างรูปหลายเหลี่ยมนูนที่มีจุดยอดอยู่ในจุดเหล่านี้ได้ทั้งหมดกี่รูป

ก็แบ่งกรณีเช่นเคยครับ รูปสามเหลี่ยมมี $\binom{10}{?}$ รูป, รูปสี่้เหลี่ยมมี ... , ... , รูปสิบเหลี่ยมมี ...

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics

ต่อไปเลยนะครับ
มีจุด $10$ จุด อยู่บนเส้นรอบวงของวงกลมมวงหนึ่ง จะสร้างรูปหลายเหลี่ยมนูนที่มีจุดยอดอยู่ในจุดเหล่านี้ได้ทั้งหมดกี่รูป

$\binom{10}{3}+\binom{10}{4}+...+\binom{10}{10}=2^{10}-1-10-45$

[Influenza_Mathematics]

ปล.หลายเหลี่ยมนูน (สี่เหลี่ยมนูนคืออะไร)

[Influenza_Mathematics]

ปลุกหน่อยครับ ถ้าไม่มีเวลาเฉลยหมดจริงๆ ขอ hint ก็ได้ครับ

[gon]

รูปหลายเหลี่ยมนูน (convex polygon) คือรูปหลายเหลี่ยมที่มุมภายในแต่ละุีมุมมีค่าน้อยกว่า 180 องศา

15.
$S = m! + \frac{(m+1)m!}{1!} + \frac{(m+2)(m+1)m!}{2!} + ... + \frac{(m+n)(m+n-1)...(m+1)m!}{n!}$

$= m![\binom{m}{0} + \binom{m+1}{1} + \binom{m+2}{2} + ... + \binom{m+n}{n}] = m!\binom{m+n+1}{n}$

[gon]

16. วิธีที่ 1.

เนื่องจาก $\binom{n}{r} = \frac{n}{r}\binom{n-1}{r-1}$

ดังนั้น $$\sum_{r = 1}^{n}r^2 \binom{n}{r} = \sum_{r = 1}^{n}nr \binom{n-1}{r-1} = n\sum_{r = 1}^{n}r\binom{n-1}{r-1}$$$$=n\sum_{r = 1}^{n}[(r-1)+1]\binom{n-1}{r-1} = n[\sum_{r = 1}^{n}(r-1)\binom{n-1}{r-1}+\sum_{r = 1}^{n}\binom{n-1}{r-1}]$$$$=n[(n-1)2^{n-2}+2^{n-1}]$$(ประยุกต์เอกลักษณ์ $\sum_{r = 1}^{n}r\binom{n}{r} = n\cdot 2^{n-1}$)
$$=n\cdot 2^{n-2}[n-1+2] = n(n+1)2^{n-2}$$

[gon]

16.1 วิธีที่ 2.

เนื่องจาก $(1+x)^n = \sum_{r = 0}^{n}\binom{n}{r}x^r$

หาอนุพันธ์เทียบกับ x จะได้

$n(1+x)^{n-1} = \sum_{r = 0}^{n}r\binom{n}{r}x^{r-1} ~~~...(1)$

หาอนุพันธ์เทียบกับ x จะได้

$(n-1)n(1+x)^{n-2} = \sum_{r = 0}^{n}r(r-1)\binom{n}{r}x^{r-2}$

นำ x คูณทั้งสองข้างจะได้

$(n-1)n(1+x)^{n-2}x = \sum_{r = 0}^{n}r(r-1)\binom{n}{r}x^{r-1}~~~...(2)$

(1)+(2) , $n(1+x)^{n-1} + (n-1)n(1+x)^{n-2}x = \sum_{r = 0}^{n}r^2\binom{n}{r}x^{r-1} $

แทนค่า x = 1 จะได้

$n\cdot 2^{n-1}+(n-1)n\cdot 2^{n-2} = \sum_{r = 0}^{n}r^2\binom{n}{r}$

เมื่อจัดรูป ก็จะได้เหมือนวิธีที่ 1.