Ascending & Descending digits

[Chronon]

เพิ่งจะสอบวิชา Combinatorics มาสดๆ ร้อนๆ ครับ ไม่รู้ว่าจะถูกรึเปล่า

สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ ใดๆ จะกล่าวว่า $n$ เป็น Ascending(Descending) digit
ก็ต่อเมื่อ ตัวเลขในแต่ละหลักของ $n$ เมื่ออ่านจากซ้ายไปขวา เป็นลำดับไม่ลด(ไม่เพิ่ม) โดยที่ไม่มีเลข 0 อยู่ใน $n$
เช่น 1244679 เป็น Ascending digit 644441 เป็น Descending digit แต่ 1465 ไม่เป็นทั้งสองอย่าง
จงหาจำนวน Ascending และ Descending digit ทั้งหมดที่น้อยกว่า 1,000,000,000

ผมสังเกตว่าเราสามารถนำเลข 0 มาต่อข้างหน้า n ให้มีความยาว 9 หลักได้ เช่น 000644441
ก็เลยคิดว่าจำนวนเลข 0-9 ทั้งหมดใน n ต้องรวมกันได้ 9
ให้ $x_{i}$ คือจำนวนของตัวเลข $i$ ที่ปรากฎใน $n$
ดังนั้นจำนวนของ Ascending digit ก็น่าจะเท่ากับจำนวนคำตอบของสมการ $x_{0}+x_{1}+x_{2}+...+x_{9}=9$
Descending digit ก็น่าจะเท่ากับจำนวนคำตอบของสมการ $x_{0}+x_{9}+x_{8}+...+x_{1}=9$ โดยที่ $x_{i}\geqslant 0$
ดังนั้นจำนวนของ Ascending และ Descending digit ทั้งหมดก็คือจำนวนของคำตอบของสมการทั้งสองมาบวกกัน
แต่ว่าบางจำนวนเป็นทั้ง Ascending และ Descending digit เช่น 1111 5555555
ก็เลยต้องเอาไปลบออก ซึ่งก็มีทั้งหมด 81 จำนวน

คร่าวๆ ก็ประมาณนี้ครับ ผิดพลาดตรงไหนก็ขอคำชี้แนะด้วยครับ

[Onasdi]

รู้สึกแปลกๆตรงที่เอาศูนย์มาต่อข้างหน้าอะครับ เพราะเช่นจำนวน descending $(x_0,\dots,x_9)=(1,8,0,0,\dots,0)$
อาจจะหมายถึง 011111111 หรือ 11111110 ก็ได้

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Chronon

สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ ใดๆ จะกล่าวว่า $n$ เป็น Ascending(Descending) digit ก็ต่อเมื่อ ตัวเลขในแต่ละหลักของ $n$ เมื่ออ่านจากซ้ายไปขวา เป็นลำดับไม่ลด(ไม่เพิ่ม) โดยที่ไม่มีเลข 0 อยู่ใน $n$ เช่น 1244679 เป็น Ascending digit 644441 เป็น Descending digit แต่ 1465 ไม่เป็นทั้งสองอย่าง
จงหาจำนวน Ascending และ Descending digit ทั้งหมดที่น้อยกว่า 1,000,000,000

IDEA FOR ASCENDING DIGIT :

สมมติจะหา ascending 5 หลักนะครับ

ให้เราสร้าง bit string ที่มี 0 อยู่ 9 ตัว และ 1 อยู่ 5 ตัว โดยให้ 0 นำหน้าเสมอ

เช่น 00011000110100 ให้เลข 1 แต่ละตัว จำค่าจำนวน 0 ที่ปรากฏก่อนหน้าไว้ เช่นในกรณีนี้ จะได้ว่าเลข 1 แต่ละตัวจำค่า 3,3,6,6,7 เอาไว้ แค่นี้ก็ได้ ascending digit 1 จำนวน แล้วครับ จากนั้นก็น่าจะทำต่อเองได้แล้วนะครับ

[Chronon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Onasdi

รู้สึกแปลกๆตรงที่เอาศูนย์มาต่อข้างหน้าอะครับ เพราะเช่นจำนวน descending $(x_0,\dots,x_9)=(1,8,0,0,\dots,0)$
อาจจะหมายถึง 011111111 หรือ 11111110 ก็ได้

คือ จำนวน Ascending,Descending digits จะไม่มีเลข 0 ปรากฎอยู่ึครับ
ที่ผมเอาเลข 0 ไปแปะข้างหน้าก็เพื่อให้ใช้แทนตัวเลขที่มีจำนวนหลักน้อยๆ ได้ครับผม

Idea ของคุณ Passer-by น่าสนใจดีครับ ผมก็เคยคิดเรื่องคล้ายๆ กันเหมือนกัน
แต่ตอนนั้นไม่แน่ใจว่าตัวเองจะทำต่อถูกหรือเปล่า

ถ้าเจอช่องโหว่ตรงไหนก็ขอความกรุณาแก้ไขให้ด้วยนะครับ กังวลกะข้อนี้มากๆ

[Onasdi]

อ่อ ผมอ่านโจทย์ผิดเองครับ

ผมว่าไอเดียถูกแล้ว แต่ต้องลบออกตัวนึงในแต่ละกรณีคือ (9,0,0,...,0) ซึ่งให้เลข 000...0