โจทย์ 5 ข้อที่คิดไม่ออก

[[FC]_Inuyasha]

1.ให้ $d$ เป็นจน.เต็มบวกที่มากที่สุดซึ่งหาร ผลบวกสามค่าด้านล่างนี้ลงตัว
$ 1+2+3+...+999+1000$
$1^{2007}+2^{2007}+3^{2007}+...+999^{2007}+1000^{2007}$
$1^{2009}+2^{2009}+3^{2009}+...+999^{2009}+1000^{2009}$
ข้อใดเป็นจริงสำหรับ $d$
$1) d=1$ $2)1<d\leqslant10^{2}$ $3)10^{2}<d\leqslant 10^{4}$ $4)10^{4}<d\leqslant 10^{6}$
2.ให้ $a$ และ $b$ เป็นจน.เต็มบวกซึ่งไม่เป็นจน.เฉพาะ และสอดคล้องกับสมการด้านล่างนี้
$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{15}+\frac{1}{16}=\frac{a}{b}$
จงหาจน.เฉพาะที่น้อยที่สุด ซึ่งเป็นตัวประกอบของ $a$
$1)3$ $2)7$ $3)13$ $4)ไม่มีข้อถูก$
3.เลขใดต่อไปนี้ที่ไม่สามารถเขียนอยู่ในรูป $a^{3}+b^{3} เมื่อa และ bเป้นจน.เต็ม$
$1)700056$ $2)707713$ $3)7000639$ $4)7077283$ $5)7077915$
4.จงหาจน.ซับเซตที่มีสมาชิก $7$ ตัว ของเซต ${1,2,3,4,5,6,7,8,9}$ และผลบวกของสมาชิก$7$ตัวนั้น เป็นพหุคูณของ3
5.จงหาจน.เต็มบวก m ที่น้อยที่สุดตามสมการต่อไปนี้ สำหรับพหุนาม $u(x)$ และ $v(x)ซึ่งมีสัมประสิทธิ์เป็นจน.เต็ม$
$(x+2)(x+5)(x+7)u(x)-(x-2)(x-5)(x-7)v(x) = m$
$1)1260$ $2)1680$ $3)3780$ $4)7560$
ช่วยเฉลยวิธีทำมาทุกข้อ จะดีมากเลยนะครับ

[Amankris]

$1).$ คาดว่าคงพิมพ์ผิด แก้ให้หน่อยก็ดีนะครับ
$s=(500)(1001)$
$A=1^{2007}+2^{2007}+...+1000^{2007}$
$B=1^{2009}+2^{2009}+...+1000^{2009}$

Outline

$500|[i^{2007}+(1000-i)^{2007}]--->500|A$
$1001|[i^{2007}+(1001-i)^{2007}]--->1001|A$
$s|A$

$500|[i^{2009}+(1000-i)^{2009}]--->500|B$
$1001|[i^{2009}+(1001-i)^{2009}]--->1001|B$
$s|B$

$gcd(s,A,B)=s$

$2).$

$3).$

Outline

$x^3\equiv 0,\pm 1(mod7)$
$a^3+b^3\equiv 0,\pm 1,\pm 2(mod7)$

ตอบ ตัวเลือก 4 (เหลือแค่ต้องแสดงว่า อีกสามตัวเลือกจะมี a, b ที่สอดคล้อง)

$4).$
$U=\left\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\}$

Outline

$A=\left\{1,4,7\right\}$
$B=\left\{2,5,8\right\}$
$C=\left\{3,6,9\right\}$

พิจารณา $X=\left\{\left\{a,b\right\}\subset U|[a\not= b]\wedge [3|a+b]\right\}$ //ดูสองตัวที่เหลือ ผลรวมต้องหารด้วยสามลงตัว
$[a\in A\wedge b\in B]$ $\vee [\left\{a,b\right\}\subset C]$ //ตัวนึงอยู่ใน A ตัวนึงอยู่ใน B หรือไม่ก็อยู่ใน C ทั้งคู่
$|X|=\binom{3}{1}\binom{3}{1}+\binom{3}{2}$ //จำนวนวิธีที่เลือก a,b

$5).$

Outline

$x=2$ $;$ $(4)(7)(9)|m$
$x=5$ $;$ $(7)(10)(12)|m$
$x=7$ $;$ $(9)(12)(14)|m$
$2^3\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7|m$

$m\geqslant 7560$ (เหลือแค่แสดงว่ามี u(x) และ v(x) ที่สอดคล้อง)

[[FC]_Inuyasha]

ข้อ 2. แก้ไขให้แล้วครับ ส่วนข้อ1. ต้องแก้ตรงไหนเหรอครับผมยังไม่เข้าใจวิธีทำ และข้อ4.ด้วยครับ
ปล.ผมอยู่ม.ต้นน่ะครับ พอมีวิธีที่เข้าใจง่ายกว่านี้ไหมครับ

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [FC]_Inuyasha

ข้อ 2. แก้ไขให้แล้วครับ ส่วนข้อ1. ต้องแก้ตรงไหนเหรอครับผมยังไม่เข้าใจวิธีทำ และข้อ4.ด้วยครับ
ปล.ผมอยู่ม.ต้นน่ะครับ พอมีวิธีที่เข้าใจง่ายกว่านี้ไหมครับ

เพิ่มเติมข้อสี่ให้แล้วนะ

ส่วนข้อสอง เหลือให้คนอื่นมาช่วยบ้างดีกว่า

ข้อ 1 แก้ตรงนี้ครับ

$...+999^(2007)+$
$...+999^(2009)+$

ส่วนวิธีคิดคือ จับคู่แบบที่ผมบอกไว้

[[FC]_Inuyasha]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

$1).$ คาดว่าคงพิมพ์ผิด แก้ให้หน่อยก็ดีนะครับ
$A=1^{2007}+2^{2007}+...+1000^{2007}$
$B=1^{2009}+2^{2009}+...+1000^{2009}$

Outline

$500|[i^{2007}+(1000-i)^{2007}]--->500|A$
$1001|[i^{2007}+(1001-i)^{2007}]--->1001|A$
$s|A$

$500|[i^{2009}+(1000-i)^{2009}]--->500|B$
$1001|[i^{2009}+(1001-i)^{2009}]--->1001|B$
$s|B$

$gcd(s,A,B)=s$

ตรงสีแดงๆมันมาได้ไงครับ แล้ว i แทนจน.จินตภาพเหรอครับ

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [FC]_Inuyasha

ตรงสีแดงๆมันมาได้ไงครับ แล้ว i แทนจน.จินตภาพเหรอครับ

จำนวนจินตภาพเกี่ยวไรด้วยครับเนี่ย (มุขใช่ปะ ฮาๆ)

วิธีจับคู่ไงครับ (i เป็นจำนวนนับไรก็ได้)

[[FC]_Inuyasha]

แล้วทำไม 500 กับ 1001จึงหารลงตัวล่ะครับ ช่วยขยายความหน่อยครับ

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [FC]_Inuyasha

แล้วทำไม 500 กับ 1001จึงหารลงตัวล่ะครับ ช่วยขยายความหน่อยครับ

ใช้เอกลักษณ์
$n$ เป็นเลขคี่ ; $x^n+y^n=(x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}y+...+y^{n-1})$

[[FC]_Inuyasha]

ว้าว สุดยอดครับ

[[FC]_Inuyasha]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [FC]_Inuyasha

1.ให้ $d$ เป็นจน.เต็มบวกที่มากที่สุดซึ่งหาร ผลบวกสามค่าด้านล่างนี้ลงตัว

2.ให้ $a$ และ $b$ เป็นจน.เต็มบวกซึ่งไม่เป็นจน.เฉพาะ และสอดคล้องกับสมการด้านล่างนี้
$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{15}+\frac{1}{16}=\frac{a}{b}$
จงหาจน.เฉพาะที่น้อยที่สุด ซึ่งเป็นตัวประกอบของ $a$
$1)3$ $2)7$ $3)13$ $4)ไม่มีข้อถูก$

ข้อ2ยังไม่มีคนมาตอบเลยครับ ผมก็ยังทำไม่ได้ คุณ Amankris ช่วยเฉลยอีกซักข้อได้ไหมครับ

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [FC]_Inuyasha

ข้อ2ยังไม่มีคนมาตอบเลยครับ ผมก็ยังทำไม่ได้ คุณ Amankris ช่วยเฉลยอีกซักข้อได้ไหมครับ

ข้อนี้ผมว่าไม่ง่ายเลยนะ (เพราะผมไปทำในรูปทั่วไป ซึ่งมันไม่มีวิธีหา)

วิธีง่ายๆคือไล่เชคทีละตัวครับ (เริ่มจาก $16!=(2^{15})(3^6)(5^3)(7^2)(11)(13)$)