Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > อสมการ
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 05 ตุลาคม 2007, 22:33
dektep's Avatar
dektep dektep ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 07 มีนาคม 2007
ข้อความ: 580
dektep is on a distinguished road
Default โจทย์จาก India

$x,y,z \geq$ 0 and $xyz \geq xy+yz+zx$ prove that $xyz \geq 3(x+y+z)$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 05 ตุลาคม 2007, 23:06
Spotanus's Avatar
Spotanus Spotanus ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าหยก
 
วันที่สมัครสมาชิก: 28 มีนาคม 2007
ข้อความ: 171
Spotanus is on a distinguished road
Default

โอ้ ผมไม่คิดว่าจะทำอสมการออกนะครับเนี่ย เพราะไม่ถนัดเล้ยย
Solution ผม เพื่อให้ดูง่ายเราเปลี่ยน $\frac{1}{x} =a,\frac{1}{y} =b,\frac{1}{z} =c$
แล้วเราก็จะพบว่า โจทย์จะสมมูลกับ
"กำหนดให้ $a,b,c\geq 0, a+b+c\leq 1$ จงแสดงว่า $ab+bc+ca\leq \frac{1}{3} $"
เริ่มดูดีแล้ว 555+
จากนั้น เราจะพบว่า
จาก $a+b+c\leq 1$ ทำให้ $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca\leq 1$
จะได้ว่า;
$ab+bc+ca\leq \frac{1-\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) }{2} \leq \frac{1-\left(\frac{\left(a+b+c\right)^{2} }{3} \right) }{2}\leq \frac{1}{3}$

ปล.พิมพ์เปลี่ยนภาษาไปมา แถมยังต้องใช้ Math fonts นี่ยากจังเลย "- -
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 05 ตุลาคม 2007, 23:22
dektep's Avatar
dektep dektep ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 07 มีนาคม 2007
ข้อความ: 580
dektep is on a distinguished road
Default

ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 05 ตุลาคม 2007, 23:31
Spotanus's Avatar
Spotanus Spotanus ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าหยก
 
วันที่สมัครสมาชิก: 28 มีนาคม 2007
ข้อความ: 171
Spotanus is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ dektep View Post
$(xy+yz+zx)^2 \geq 3xyz(x+y+z)$
มาจากไหนหรอครับ ?
__________________
ในโลกนี้มีอสมการมากมายที่กระจายไม่ออก
ดังนั้นถ้ารู้ว่าตนกระจอกก็อย่าอาย
ถ้าอยากออกก็ต้องกระจาย จะได้ไม่ต้องอายที่ตนกระจอก


(Vasc's)
$$\left( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)^{2} \geq 3\left(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a\right)$$

05 ตุลาคม 2007 23:32 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Spotanus
เหตุผล: ใส่โค้ดผิด
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 05 ตุลาคม 2007, 23:46
dektep's Avatar
dektep dektep ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 07 มีนาคม 2007
ข้อความ: 580
dektep is on a distinguished road
Default

จากcauchy-schwarz; $ab+bc+bc \leq a^2+b^2+c^2$ ให้ $a=xy,b=yz,c=zx$ แล้วบวกด้วย 2xyz(x+y+z) ทั้งสองข้าง
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 17:04


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha