ช่้วยหน่อยครับ เรื่องลำดับเลขคณิต

[akungs]

ถ้า A,B,C เป็นมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม ABC และ sin A,sin B,sin C เป็นลำดับเลขคณิตแล้ว จงพิสูจน์ว่า $ cot\frac{A}{2} ,cot\frac{B}{2} ,cot\frac{C}{2} $ เป็นลำดับเลขคณิตด้วย

ช่วยทีครับผมคิดตั้งนานยังไม่ออกเลย ส่งพรุ่งนี้แล้ว

[กิตติ]

หา$cot\frac{A}{2} $ในรูปของ$cosA$กับ$sinA$
จะได้ว่า$cot\frac{A}{2} = \frac{1+cosA}{sinA} $....ไปพิสูจน์เองแล้วกันครับ ไม่งั้นยาว
จากกฎของ$sin$ จะได้ว่า$sinA=ak$, $sinB=bk$, $sinC=ck$ เมื่อให้$k$เป็นค่าคงที่
จากกฏของ$cosine$จะได้ว่า$cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} $
$cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} $
$cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} $
โจทย์กำหนดให้$sinA,sinB,sinC$เป็นลำดับเลขคณิต
$bk=ak+d$ และ$ck=bk+d$ เมื่อ$d$เป็นค่าคงที่(ผมจำไม่ได้แล้วว่าเขากำหนดว่าชื่ออะไร)
$d=(b-a)k=(c-b)k$ ดังนั้น$a-b=b-c$
มาหาค่าของ$cot\frac{A}{2}=\frac{(b+c-a)(a+b+c)}{2abck} $....จากการแทนค่า$sin$และ$cos$
เช่นเดียวกันจะได้ว่า$cot\frac{B}{2}=\frac{(a+c-b)(a+b+c)}{2abck}$
$cot\frac{C}{2}=\frac{(a+b-c)(a+b+c)}{2abck}$
ให้$\frac{(a+b+c)}{2abck} =M$
ดังนั้นสมมุติว่า$cot\frac{A}{2},cot\frac{B}{2},cot\frac{C}{2}$เป็นลำดับเลขคณิต
จะได้ว่า$cot\frac{B}{2}-cot\frac{A}{2}=M(2a-2b) =2M(a-b)$
$cot\frac{C}{2}-cot\frac{B}{2}=M(2b-2c) =2M(b-c)$
จากที่เรารู้ว่า$a-b=b-c$ ดังนั้น$2M(b-c)=2M(a-b)$
ดังนั้น$cot\frac{A}{2},cot\frac{B}{2},cot\frac{C}{2}$ จึงเป็นลำดับเลขคณิต

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ akungs

ถ้า A,B,C เป็นมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม ABC และ sin A,sin B,sin C เป็นลำดับเลขคณิตแล้ว จงพิสูจน์ว่า $ cot\frac{A}{2} ,cot\frac{B}{2} ,cot\frac{C}{2} $ เป็นลำดับเลขคณิตด้วย

ช่วยทีครับผมคิดตั้งนานยังไม่ออกเลย ส่งพรุ่งนี้แล้ว

ถ้า sin A, sin B, sin C เป็นลำดับเลขคณิตแล้วจะได้ว่า

2sin B = sin A + sin C

2sin (pi -(A + C)) = 2sin[(A+C)/2]Cos[(A-C)/2]

sin(A + C) = sin[(A+C)/2] cos[(A-C)/2]

2sin [(A+C)/2] cos[(A+C)/2] = sin[(A+C)/2] cos[(A-C)/2]

2cos[(A + C)/2] = cos[(A-C)/2]

2cos(A/2)cos(C/2) - 2sin(A/2)sin(C/2) = cos(A/2)cos(C/2) + sin(A/2)sin (C/2)

cos(A/2)cos(C/2) = 3sin(A/2)sin(C/2)

cos(A/2)cos(C/2) - sin(A/2)sin(C/2) = 2sin(A/2)sin(C/2)

cos(A+C)/2 = 2sin(A/2)sin(C/2)

1/ cos(A+C)/2 = 1/2sin(A/2)sin(C/2)

นำ sin(A+C)/2 คูณทั้งสองข้าง

$\frac{\sin(A+C)/2}{\cos(A+C)/2} = \frac{\sin(A+C)/2}{2\sin(A/2)\sin(C/2)}$

$\tan[(A+C)/2] = \frac{\sin(A/2)\cos(C/2) + \cos(A/2)\sin(C/2)}{2\sin(A/2)\sin(C/2)}$

$2\tan[(\pi-B)/2] = \cot(C/2) + \cot(A/2)$

$2\cot (B/2) = \cot(C/2) + \cot(A/2)$

$\cot(B/2) - \cot(A/2) = \cot(C/2) - \cot(B/2)$

ดังนั้น $\cot(A/2), \cot(B/2), \cot(C/2)$

เป็นลำดับเลขคณิต.

[กิตติ]

วิธีของคุณgon....สมาร์ทกว่าของผมเยอะเลย....ของผมลากโน่นลากนี่เข้ามาทำ
ขอบคุณครับ..อีกมุมหนึ่งของการแก้โจทย์

[gon]

ถ้าึลองคิด 10 คน บางทีอาจจะได้ 10 วิธีที่ต่างกันครับ.

[akungs]

ขอบคุณสำหรับคำตอบนะครับ ผมทำตั้งนานแก้ข้อนี้ไม่ออกนี่แปลว่าผมพื้นฐานไม่ดีรึเปล่าครับ เพราะนี่เป็นโจทย์มาจากที่โรงเรียนเค้าบอกว่าเป็นข้อสอบโอเน็ต

[กิตติ]

ลองทำบ่อยๆครับ หาตัวอย่างมาทำ เวลามองโจทย์แล้วจะพอเห็นเองว่าใช้ความรู้อะไรแก้ได้บ้าง
ผมว่าข้อนี้เขาทดสอบความเข้าใจทั้งของเรื่องตรีโกณกับลำดับเลขคณิต น่าจะหนักไปทางตรีโกณมากกว่า
สู้ๆๆครับ

[gon]

ปัญหาข้อนี้นั้นผมคิดว่าไม่ใช่โอเน็ตแน่นอนครับ สำหรับระดับความยาก ผมคิดว่ายากกว่าโอเน็ต เอเน็ต หรือพวก GAT-PAT อะไรเทือกนั้นครับ ถ้าทำไม่ได้ไม่ถือเป็นเรื่องแปลก

เรื่องตรีโกณส่วนมากแล้วนักเรียนอย่างน้อย 9 ใน 10 จะไม่ชอบครับ เพราะสูตรเยอะ แต่ิสิ่งสำคัญที่สุดในเรื่องนี้ก็คือ ต้องพิสูจน์สูตรได้ทุกสูตร แล้วก็ท่องสูตรที่สำคัญให้ได้คร่าว ๆ จากนั้นจึงลุยแก้ปัญหา ในตอนแรกจะพบว่าสูตรมันจะนึกไม่ออกหรือไม่แน่ใจ อันนี้คือยังถือว่าจำสูตรไม่ได้ครับ แ่ต่ถ้าไม่ยอมแพ้และทำไปเรื่อย ๆ ท้ายที่สุดจะถึงขั้นที่เรียก พูดถึงสูตรก็ท่องออกมาได้โดยฉับพลันครับ เหมือนเราร้องเพลงชาิติไทย

แต่กว่าจะถึงจุดนั้นได้ ก็ต้องเหนื่อยกว่านี้ครับ ที่จริงแล้วเนื้อหาเรื่องตรีโกณมีเยอะมากครับ ถ้าจะให้เรียนกันจริง ๆ เทอมนึงยังถือว่าน้่อยเกินไปด้วยซ้ำ.

ผมลองแต่งปัญหาให้ข้อนึง ถ้ามีเวลาก็ลองฝึกทำดูนะครับ

จงพิสูจน์ว่า $ \sin 3A = -4\sin A \sin(A+\frac{2\pi}{3})\sin(A+\frac{4\pi}{3})$