ช่วยกันเฉลยข้อสอบการแข่งขันคณิตศาสตร์โอลิมปิกแห่งประเทศไทย ปี 2549

[SoLuTioN]

1. กำหนดให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงสอดคล้องกับสมการ $a^2-bc-8a+7=0$ และ $b^2+c^2+bc-6a+6=0$ ค่าของ $a$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

2. สามเหลี่ยมด้านเท่ารูปหนึ่งแนบในวงรีซึ่งมีสมการคือ $x^2+5y^2=5$ จุดยอดจุดหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมนี้คือ จุด $(0,1)$ และส่วนสูงของรูปสามเหลี่ยมนี้อยู่บนแกน $y$ ด้านของรูปสามเหลี่ยมนี้เท่ากับเท่าใด

3. กำหนดให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับระบบสมการ

$xyz=1$

$x+\frac{1}{z}=25$

$y+\frac{1}{x}=49$

ถ้า $z+\frac{1}{y}=\frac{m}{n}$ เมื่อ $m$ และ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่ ห.ร.ม. $(m,n)=1$ แล้วค่าของ $m+n$ เท่ากับเท่าใด

4. กำหนดให้ $A=\{a_1,a_2,a_3,...a_n,...\}$ เป็นลำดับของจำนวนจริงนิยามลำดับ $\Delta A$ ดังนี้

$\Delta A=\{a_2-a_1,a_3-a_2,a_4-a_3,...,a_{n+1}-a_n,...\} $

ถ้า $\Delta(\Delta A)=\{1,1,1,...\}$ และสมมติว่า $a_{25}=1,000$ และ $a_{49}=1,900$ แล้วค่าของ $a_1$ เท่ากับเท่าใด

5. $\overline{AB}$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม ต่อ $\overline{AB}$ ไปทาง $A$ ไปถึงจุด $E$ ลากส่วนของเส้นตรง $\overline{ECD}$ ตัดเส้นรอบวงของครึ่งวงกลมที่ $C$ และ $D$ ลาก $\overline{BC}$ และ $\overline{BD}$ ถ้า $AED={24}^\circ$ และ $DBC={46}^\circ$ แล้ว $BCD$ เท่ากับเท่าใด

6. ให้ $ABCD$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ต่อด้าน $\overline{DA}$ ไปทาง $A$ ไปยังจุด $P$ และให้ $\overline{PC}$ ตัด $\overline{AB}$ ที่จุด $Q$ และ $\overline{DB}$ ที่จุด $R$ ถ้า $PQ=525$ หน่วย และ ถ้า $QR=80$ หน่วย แล้ว $RC$ ยาวเท่ากับเท่าใด

7. สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ กราฟพาราโบลา $y=(n^2+3n+2)x^2 - (2n+3)x + 1$ ตัดแกน $x$ ที่จุด $(a_n,0)$ และจุด $(b_n,0)$ ค่าของ $\sum_{n = 1}^{2550} a_nb_n$ เท่ากับเท่าใด

8. กำหนด $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ เมื่อ $a,b,c,d$ เป็นจำนวนจริง ถ้ากราฟของ $y=f(x)$ ตัดกับกราฟ $y=2x-1$ ที่จุด $x=1,2,3$ แล้วค่าของ $f(0) + f(4)$ เท่ากับเท่าใด

9. ถ้า $f(2x+1)=4x^2 +14x$ แล้ว ผลบวกของรากทั้งหมดของสมการ $f(x)=0$ เท่ากับเท่าใด

10. กำหนดให้ $f(x)=log(\frac{1+x}{1-x})$ เมื่อ $-1<x<1$ ค่าของ $f(\frac{3x+x^3}{1+3x^2})$ เท่ากับข้อใด

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ SoLuTioN

3. กำหนดให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับระบบสมการ

$xyz=1$

$x+\frac{1}{z}=25$

$y+\frac{1}{x}=49$

ถ้า $z+\frac{1}{y}=\frac{m}{n}$ เมื่อ $m$ และ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่ ห.ร.ม. $(m,n)=1$ แล้วค่าของ $m+n$ เท่ากับเท่าใด

ลองเริ่มจาก $\left(x+\dfrac{1}{z}\right)\left(y+\dfrac{1}{x}\right)\left(z+\dfrac{1}{y}\right)=2+x+y+z+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z }$

[SoLuTioN]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ แฟร์

4. กำหนดให้ A={a1,a2,a3,...an,...} เป็นลำดับของจำนวนจริงนิยามลำดับ ΔA ดังนี้
ΔA={a2−a1,a3−a2,a4−a3,...,an+1−an,...} ถ้า Δ(ΔA)={1,1,1,...}
และสมมติว่า a25=1,000 และ a49=1,900 แล้วค่าของ a1 เท่ากับเท่าใด

A = { 676 , 678 , 681 , 685 , ..... , 1,000 , ..... , 1,900 , ....... }
ΔA={ 2 , 3 , 4 , 5 , ....... }
Δ(ΔA) = { 1 , 1 , 1 , ..... }
a1 = 676 ตอบ

จาก A = { 676 , 678 , 681 , 685 , ..... , 1,000 , ..... , 1,900 , ....... } ทราบได้อย่างไรว่าต้องเริ่มที่ 676

[SoLuTioN]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ แฟร์

8. กำหนด f(x) = (x^4)+a(x^3)+b(x^2)+cx+d เมื่อ a,b,c,d เป็นจำนวนจริง
ถ้ากราฟของ y = f(x) ตัดกับกราฟ y = 2x−1 ที่จุด x = 1,2,3 แล้วค่าของ f(0) + f(4) เท่ากับเท่าใด

กราฟของ y = f(x) ตัดกับกราฟ y = 2x−1 ที่จุด (1,1) , (2,3) , (3,5)
f(0) = 0 + 0 + 0 + 0 + d = d
f(1) = 1 + a + b + c + d = 1
f(2) = 16 + 8a + 4b + 2c + d = 3
f(3) = 81 + 27a + 9b + 3c + d = 5
0 + 0 + 0 + d = d
a + b + c + d = 0
8a + 4b + 2c + d = -13
27a + 9b + 3c + d = -76
สมมติให้ d = 2 แล้วใช้เมทริกซ์ แก้ระบบสมการ
ได้ a = -6.5 , b = 14 , c = -9.5 , d = 2
f(4) = 28 , f(0) = 2
f(0) + f(4) = 28 + 2 = 30 ตอบ

ทำไมถึงสมมติ d = 2 อ่าครับ

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ SoLuTioN

4. กำหนดให้ $A=\{a_1,a_2,a_3,...a_n,...\}$ เป็นลำดับของจำนวนจริงนิยามลำดับ $\Delta A$ ดังนี้

$\Delta A=\{a_2-a_1,a_3-a_2,a_4-a_3,...,a_{n+1}-a_n,...\} $

ถ้า $\Delta(\Delta A)=\{1,1,1,...\}$ และสมมติว่า $a_{25}=1,000$ และ $a_{49}=1,900$ แล้วค่าของ $a_1$ เท่ากับเท่าใด

4. สมมติ $d_n = a_{n+1}-a_n$ สำหรับทุก $n \in \mathbb{N}$
$\Delta A = \{d_1,d_2,d_3,...,d_n,...\}$
$d_n-d_{n-1}=1$

$\displaystyle \sum_{k = 2}^{n} (d_k-d_{k-1}) = \sum_{k = 2}^{n} 1$

$d_n-d_1 = n-1$
$d_n = n+(d_1-1)$

$\displaystyle \sum_{k = 1}^{n-1}d_k = \sum_{k = 1}^{n-1}(k+d_1-1)$

$\displaystyle \sum_{k = 1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k) = \dfrac{n(n-1)}{2}+(n-1)(d_1-1)$

$a_n-a_1 = \dfrac{n(n-1)}{2}+(n-1)(d_1-1)$
$a_n = a_1 + (n-1)(d_1-1)+\dfrac{n(n-1)}{2}$

แทนค่า n = 25
$a_{25} = a_1 + 24(d_1-1)+300 = 1000$ ---(1)

แทนค่า n = 49
$a_{49} = a_1 + 48(d_1-1)+1176 = 1900$ ---(2)

2(1)-(2);
$a_1 = 676$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ SoLuTioN

8. กำหนด $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ เมื่อ $a,b,c,d$ เป็นจำนวนจริง ถ้ากราฟของ $y=f(x)$ ตัดกับกราฟ $y=2x-1$ ที่จุด $x=1,2,3$ แล้วค่าของ $f(0) + f(4)$ เท่ากับเท่าใด

จากข้อกำหนดของโจทย์จะได้ว่า $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-k)+(2x-1)$ สำหรับบาง $k$

จะได้ $f(0)+f(4)=(6k-1)+(31-6k)=30$

[kongp]

เบื่อจัง Solve แต่แม็ท ใช้คอมพ์เขียนอัลกอริธึมกันบ้างสิครับ โจทย์แบบนี้ คือว่าขึ้นอยู่กับการมองปัญหาเหมือนกัน