Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ข้อสอบโอลิมปิก
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 11 กันยายน 2010, 13:16
~ArT_Ty~'s Avatar
~ArT_Ty~ ~ArT_Ty~ ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 03 กรกฎาคม 2010
ข้อความ: 1,081
~ArT_Ty~ is on a distinguished road
Default สอวน ม.นเรศวร ปี 2553 วิชาคณิตศาสตร์

มี 14 ข้อแสดงวิธีทำครับ

เท่าที่จำได้ก็มีดังนี้

1.) $a,b,c$ เป็นคำตอบของสมการ $x^3-6x^2-16x+24$ จงหาพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม

ที่มี $a^2,b^2,c^2$ เป็นคำตอบ

2.) จงหาเซตคำตอบของสมการ $\sqrt{2x+8-6\sqrt{2x-1}}+\sqrt{2x+2\sqrt{2x-1}}=4$

3.) ให้ $a,b,c$ เป็นคำตอบของพหุนาม $x^3-7x^2+6x-1$

จงหา $\sum_{k = 0}^{3}(a^k+b^k+c^k) $

XX.) สี่เหลี่ยมผืนผ้า $ABCD$ มีจุด $P$ เป็นจุดภายใน $PA=5,PB=7,PC=6$ จงหา $PD$

XX.) TMO7 วันที่ 1 ข้อที่ 1

XX.) วงกลมรัศมี 1,2,3 สัมผัสกันและกัน มีช่องว่างตรงกลาง จงหารัศมีของวงกลมที่แนบอยู่ในช่องว่างนั้น

XX.) $(1)(4)(7)...(2011)$ มี 0 ต่อท้ายกี่ตัว

XX.) $2553^{2010}$ มีสองหลักสุดท้ายคือ

XX.) ให้ $a,b$ เป็นจำนวนเต็ม และมีโอเปอเรชัน $\odot $ ที่

$a\odot a=a+2$

$a\odot b=b\odot a$

$\frac{a\odot (a+b)}{a\odot b}=\frac{a+b}{b}$

จงหา $8\odot 5$

XX.) จงหาจำนวนอันดับของจำนวนเต็มบวก $(a,b,c,d,e)$ ที่สอดคล้องกับ

$a+b+c+d+e\leqslant a\times b\times c\times d\times e\leqslant 12$

XX.) จงหาจำนวนเต็มบวกที่มากที่สุดที่มีค่าไม่เกิน 4567 ที่หารด้วย 6,5,4,3 เหลือเศษ 5,4,3,2

และหารด้วย 23 ลงตัว

XX.) Name:  แฟ้มยังไม่มีชื่อ.jpg
Views: 4363
Size:  1.8 KB

มีจำนวนที่เรียงอยู่เป็นรูปสามเหลี่ยมคว่ำ เช่น 3,5,9

ถ้า $a,b,c$ เป็นจำนวนที่เรียงเป็นรูปสามเหลี่ยมคว่ำในรูป

โดยที่ $c$ อยู่ด้านล่างสุดของสามเหลี่ยม

ถ้า $a+b+c=6121$ จงหา $c$

XX.) จงหาเซตของจำนวนเต็มบวก 2 หลักที่หาร 8231 เหลือเศษ 41

XX.) จงหาค่าสูงสุดและต่ำสุดของ $9\sin^22\theta +8\sin \theta\cos \theta + 5\cos^22\theta $
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย...

11 กันยายน 2010 18:54 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ ~ArT_Ty~
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 11 กันยายน 2010, 15:50
Nemony's Avatar
Nemony Nemony ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 13 มิถุนายน 2010
ข้อความ: 31
Nemony is on a distinguished road
Default

XX.) $2553^{2010}$ มีสองหลักสุดท้ายคือ

ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 11 กันยายน 2010, 17:11
banker banker ไม่อยู่ในระบบ
เทพเซียน
 
วันที่สมัครสมาชิก: 24 มกราคม 2002
ข้อความ: 9,910
banker is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~ View Post
XX.) สี่เหลี่ยมผืนผ้า $ABCD$ มีจุด $P$ เป็นจุดภายใน $PA=5,PB=7,PC=6$ จงหา $PD$
Name:  2277.jpg
Views: 3821
Size:  9.8 KB

$PD^2 + PB^2 = PA^2 + PC^2$

$PD^2 + 7^2 = 5^2 + 6^2$

$PD^2 = 12$

$PD = 2\sqrt{3} \ $ หน่วย
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน
แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว
เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว

ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก


รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ
(ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี)
(แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด)
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 11 กันยายน 2010, 17:12
กิตติ's Avatar
กิตติ กิตติ ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ธรรมชาติ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 08 พฤศจิกายน 2009
ข้อความ: 2,723
กิตติ is on a distinguished road
Default

ข้อแรกก็เล่นเอาผมหืดขึ้นคอแล้ว...ตอนแรกไปแก้สมการพหุนาม....เข้าป่าไปเลย เพิ่งคิดคำตอบเสร็จ
คำตอบคือ $x^3-168x^2-6376x+13824$
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก
ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม
"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย
ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน)
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 11 กันยายน 2010, 17:17
~ArT_Ty~'s Avatar
~ArT_Ty~ ~ArT_Ty~ ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 03 กรกฎาคม 2010
ข้อความ: 1,081
~ArT_Ty~ is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ View Post
ข้อแรกก็เล่นเอาผมหืดขึ้นคอแล้ว...ตอนแรกไปแก้สมการพหุนาม....เข้าป่าไปเลย เพิ่งคิดคำตอบเสร็จ
คำตอบคือ $x^3-168x^2-6376x+13824$
โทดครับๆ กำลัง 2 ครับ
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย...
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 11 กันยายน 2010, 17:21
Siren-Of-Step's Avatar
Siren-Of-Step Siren-Of-Step ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ธรรมชาติ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 กันยายน 2009
ข้อความ: 2,081
Siren-Of-Step is on a distinguished road
Default

2. Gives $\sqrt{2x-1} =t$
We have $\sqrt{t^2-6t+9} + \sqrt{t^2-2t+1}$
then$ \left|\,\right. t-3 \left|\,\right. +\left|\,\right. t-1\left|\,\right. =4$
Cases 1. $t < 1 , -t+1-t+3 = 4 , -2t = 0 , t = 0$
2. $1 \leqslant t \leqslant 3, t-1-t+3 = 4 , 2=4$
3. $t>3 , t-1+t-3 = 4 , t=4$

Union all cases , $t=0,4$ ....
** I Haven't checked the answers yet
__________________
Fortune Lady

11 กันยายน 2010 17:24 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Siren-Of-Step
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #7  
Old 11 กันยายน 2010, 17:22
กิตติ's Avatar
กิตติ กิตติ ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ธรรมชาติ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 08 พฤศจิกายน 2009
ข้อความ: 2,723
กิตติ is on a distinguished road
Default

โอ้โห....โดนสกัดดาวรุ่ง...ผมคิดเสร็จไปแล้ว ตอนนั่งทำยังแอบบ่นเลย ว่าเขาจะคัดจอมอึดหรือเปล่า
เดี๋ยวคิดใหม่ ไม่ยากแล้ว เพราะก่อนผ่านไปกำลังสาม ก็ต้องผ่านกำลังสองสอง

คำตอบคือ$x^3-68x^2+544x-576$
สมการที่มีรากเป็น$a^2,b^2,c^2$ คือ $x^3-(a^2+b^2+c^2)x^2+(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)x-(abc)^2$
จาก$x^3-6x^2-16x+24$ เทียบสัมประสิทธิ์ได้ว่า
$a+b+c =6$
$ab+bc+ac = -16$
$abc = -24$
$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)= 36+32=68$
$a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2=(ab+bc+ac)^2-2abc(a+b+c)= 256-2(-24)(6)=256+288=544$

มาลองหาสมการที่มีรากเป็น$a^3,b^3,c^3$ดีไหมครับ...ที่ผมตอบไปรู้สึกว่าทดเลขผิด เดี๋ยวเสร็จข้ออื่นค่อยว่ากัน
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก
ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม
"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย
ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน)

11 กันยายน 2010 17:37 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 4 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #8  
Old 11 กันยายน 2010, 17:32
Siren-Of-Step's Avatar
Siren-Of-Step Siren-Of-Step ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ธรรมชาติ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 กันยายน 2009
ข้อความ: 2,081
Siren-Of-Step is on a distinguished road
Default

3. $x^3 -7x^2+6x-1 = 0$
$\sum_{k=0}^{3} = 3+a+b+c+a^2+b^2+c^2+a^3+b^3+c^3 , a+b+c = 7 $
$a^2+b^2+c^2 +2ab+2bc+2ca = (a+b+c)^2 = 49 = a^2+b^2+c^2 +2(6) , a^2+b^2+c^2 = 37$
$a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) , a^3+b^3+c^3 = 7(37-(6)) + 1 = 216$

$\sum_{k=0}^{3} a^k+b^k+c^k = 263$
__________________
Fortune Lady
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #9  
Old 11 กันยายน 2010, 18:03
กิตติ's Avatar
กิตติ กิตติ ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ธรรมชาติ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 08 พฤศจิกายน 2009
ข้อความ: 2,723
กิตติ is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
จงหาเซตของจำนวนเต็มบวก 2 หลักที่หาร 8231 เหลือเศษ 41
จากเรื่องการหารเราเขียน$8231$ เป็น $8231=ab+41$ ดังนั้น$ab=8190$
ซึ่งความหมายของโจทย์คือ หาเลขสองหลักที่เป็นตัวประกอบของ$8190$โดยที่อยู่ระหว่าง$42-99$
แยกตัวประกอบของ$8190=2\times 7\times 3\times 3\times 5\times 13$
จะได้เซตคำตอบคือ$\left\{\,42,45,54,63,65,70,78,84,90,91\right\} $
เมื่อกี้คงเบลอหยิบเลขมาใช้ซ้ำซ้อน ขอบคุณครับที่ช่วยกันดู ผมชอบสะเพร่าประจำเลยครับ
แก้คำตอบเหลือแค่$\left\{\,42,45,63,65,70,78,90,91\right\} $
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก
ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม
"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย
ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน)

11 กันยายน 2010 20:18 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #10  
Old 11 กันยายน 2010, 18:54
~ArT_Ty~'s Avatar
~ArT_Ty~ ~ArT_Ty~ ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 03 กรกฎาคม 2010
ข้อความ: 1,081
~ArT_Ty~ is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step View Post
2. Gives $\sqrt{2x-1} =t$
We have $\sqrt{t^2-6t+9} + \sqrt{t^2-2t+1}$
then$ \left|\,\right. t-3 \left|\,\right. +\left|\,\right. t-1\left|\,\right. =4$
Cases 1. $t < 1 , -t+1-t+3 = 4 , -2t = 0 , t = 0$
2. $1 \leqslant t \leqslant 3, t-1-t+3 = 4 , 2=4$
3. $t>3 , t-1+t-3 = 4 , t=4$

Union all cases , $t=0,4$ ....
** I Haven't checked the answers yet
ขอโทษครับ โจทย์ผิดครับ

เอาอีกแล้ว
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย...
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #11  
Old 11 กันยายน 2010, 19:01
Siren-Of-Step's Avatar
Siren-Of-Step Siren-Of-Step ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ธรรมชาติ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 กันยายน 2009
ข้อความ: 2,081
Siren-Of-Step is on a distinguished road
Default

แนวคิดเก่าครับ
$t+1 + \left|\,\right. t-3 \left|\,\right. =4$
$\left|\,\right. t-3 \left|\,\right. = 3-t$
$t-3 \leqslant 0 , t \leqslant 3$ แต่ $t \geqslant 0$
เราจะได้ $0\leqslant t\leqslant 3 , 0 \leqslant \sqrt{2x-1} \leqslant 3,\frac{1}{2} \leqslant x \leqslant 5$
__________________
Fortune Lady
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #12  
Old 11 กันยายน 2010, 19:19
กิตติ's Avatar
กิตติ กิตติ ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ธรรมชาติ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 08 พฤศจิกายน 2009
ข้อความ: 2,723
กิตติ is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
จงหาค่าสูงสุดและต่ำสุดของ $9\sin^22\theta +8\sin \theta\cos \theta + 5\cos^22\theta $
ผมคิดได้ $4$ กับ $13$
$9\sin^22\theta +8\sin \theta\cos \theta + 5\cos^22\theta =4sin^22\theta+4sin2\theta+5$
$=(2sin2\theta+1)^2+4$
จาก$-1\leqslant sin\theta\leqslant 1 \rightarrow -1\leqslant sin2\theta\leqslant 1$
$-2\leqslant 2sin2\theta\leqslant 2 \rightarrow -1\leqslant 2sin2\theta+1 \leqslant 3$
$0\leqslant (2sin2\theta+1)^2 \leqslant 9$
$4\leqslant (2sin2\theta+1)^2 +4\leqslant 13$
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก
ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม
"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย
ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน)
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #13  
Old 11 กันยายน 2010, 19:32
~ArT_Ty~'s Avatar
~ArT_Ty~ ~ArT_Ty~ ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 03 กรกฎาคม 2010
ข้อความ: 1,081
~ArT_Ty~ is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ View Post
จากเรื่องการหารเราเขียน$8231$ เป็น $8231=ab+41$ ดังนั้น$ab=8190$
ซึ่งความหมายของโจทย์คือ หาเลขสองหลักที่เป็นตัวประกอบของ$8190$โดยที่อยู่ระหว่าง$42-99$
แยกตัวประกอบของ$8190=2\times 7\times 3\times 3\times 5\times 13$
จะได้เซตคำตอบคือ$\left\{\,42,45,54,63,65,70,78,84,90,91\right\} $
ไม่มี 84 ครับ มันหารไม่ลงครับ
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย...
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #14  
Old 11 กันยายน 2010, 19:36
~ArT_Ty~'s Avatar
~ArT_Ty~ ~ArT_Ty~ ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 03 กรกฎาคม 2010
ข้อความ: 1,081
~ArT_Ty~ is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~ View Post

XX.) ให้ $a,b$ เป็นจำนวนเต็ม และมีโอเปอเรชัน $\odot $ ที่

$a\odot a=a+2$

$a\odot b=b\odot a$

$\frac{a\odot (a+b)}{a\odot b}=\frac{a+b}{b}$

จงหา $8\odot 5$
ข้อนี้ผมได้ 240 ครับ

ผิดหรือถูกครับ
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย...
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #15  
Old 11 กันยายน 2010, 19:43
banker banker ไม่อยู่ในระบบ
เทพเซียน
 
วันที่สมัครสมาชิก: 24 มกราคม 2002
ข้อความ: 9,910
banker is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ View Post
จากเรื่องการหารเราเขียน$8231$ เป็น $8231=ab+41$ ดังนั้น$ab=8190$
ซึ่งความหมายของโจทย์คือ หาเลขสองหลักที่เป็นตัวประกอบของ$8190$โดยที่อยู่ระหว่าง$42-99$
แยกตัวประกอบของ$8190=2\times 7\times 3\times 3\times 5\times 13$
จะได้เซตคำตอบคือ$\left\{\,42,45,\color{red}{54} ,63,65,70,78,\color{red}{84},90,91\right\} $

54 กับ 84 ไม่เป็นตัวประกอบของ 8190 ครับ
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน
แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว
เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว

ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก


รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ
(ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี)
(แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด)
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
TOP 100 : โรงเรียนที่ดีที่สุดในประเทศไทยปี2553 คusักคณิm ฟรีสไตล์ 28 02 สิงหาคม 2011 21:43
ฤดูการแข่งขันคณิตศาสตร์ 2553 เริ่มแล้ว banker ข่าวคราวแวดวงประถม ปลาย 35 09 ธันวาคม 2010 09:38
คะแนนสูงสุดแอดมิชชั่น 2553 คusักคณิm ฟรีสไตล์ 8 02 กรกฎาคม 2010 16:19
หาค่าเฉลี่ย 1,3,5,...,2553 ช่วยทีค่ะ N e n e E ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป 3 27 เมษายน 2010 19:38
ระบบแอดมิชชั่นส์ ปี 2553 กับ การสอบ GAT และ PAT sck ข่าวคราวแวดวง ม.ปลาย 5 19 มิถุนายน 2009 11:35

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 15:12


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha