Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ข้อสอบโอลิมปิก
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 28 มีนาคม 2016, 16:57
Pitchayut Pitchayut ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 มกราคม 2015
ข้อความ: 352
Pitchayut is on a distinguished road
Default สอวน. ศูนย์สวนกุหลาบ ค่าย 2 ปี 58 (เข้าค่าย มี.ค. 59)

อีกสามวิชาสอบพรุ่งนี้ครับ ขอเฉลยหรือ hint พีชคณิตข้อ 4 ด้วยครับ

ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 28 มีนาคม 2016, 18:16
กขฃคฅฆง's Avatar
กขฃคฅฆง กขฃคฅฆง ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 เมษายน 2015
ข้อความ: 419
กขฃคฅฆง is on a distinguished road
Default

__________________
เหนือฟ้ายังมีอวกาศ

29 มีนาคม 2016 17:07 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กขฃคฅฆง
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 29 มีนาคม 2016, 17:15
Pitchayut Pitchayut ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 มกราคม 2015
ข้อความ: 352
Pitchayut is on a distinguished road
Default

solution สวยมากเลยครับคุณ กขฃคฅง
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 30 มีนาคม 2016, 21:11
gon's Avatar
gon gon ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎขั้นสูง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 มีนาคม 2001
ข้อความ: 4,605
gon is on a distinguished road
Default

ของอีกวันมาถึงหรือยังครับ.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 31 มีนาคม 2016, 10:38
กขฃคฅฆง's Avatar
กขฃคฅฆง กขฃคฅฆง ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 เมษายน 2015
ข้อความ: 419
กขฃคฅฆง is on a distinguished road
Default

มาเพิ่มข้อสอบครับ (ข้อละ 10 คะแนน ทั้งหมด)



__________________
เหนือฟ้ายังมีอวกาศ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 31 มีนาคม 2016, 10:39
กขฃคฅฆง's Avatar
กขฃคฅฆง กขฃคฅฆง ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 เมษายน 2015
ข้อความ: 419
กขฃคฅฆง is on a distinguished road
Default

ขอ hint FE ข้อ 1,2,4,5 กับ NT ข้อ 3,5 หน่อยครับ
__________________
เหนือฟ้ายังมีอวกาศ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #7  
Old 31 มีนาคม 2016, 15:37
Pitchayut Pitchayut ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 มกราคม 2015
ข้อความ: 352
Pitchayut is on a distinguished road
Default

Hint FE
1. แทน $y=\dfrac{2f(x)-x}{f(x)-1}$ จะเกิดสิ่งมหัศจรรย์ อย่าลืมแยกเคส $f(x)=1$
4. แทน $f(x)\leq 2(1+x)$ ลงในอีกสมการ จะได้ $f(x)\leq\sqrt{2}(1+x)$ ทำไปเรื่อยๆ (อุปนัย) จะได้ $f(x)\leq 1+x$ ถัดจากนั้นสมมติ $f(r)<1+r$ พิสูจน์ให้ได้ว่า $f(r+1)<r$

คอมบิข้อ 4 เห็นเพื่อนนับถึกกันเยอะมากเลยครับ แต่ผมใช้สร้างฟังก์ชัน
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #8  
Old 01 เมษายน 2016, 18:02
ThE-dArK-lOrD ThE-dArK-lOrD ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 01 เมษายน 2016
ข้อความ: 22
ThE-dArK-lOrD is on a distinguished road
Default

For the prove of $f(x) \geq x+1$, I used Ramanujan Nested Radical

03 เมษายน 2016 00:55 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ ThE-dArK-lOrD
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #9  
Old 01 เมษายน 2016, 18:10
ThE-dArK-lOrD ThE-dArK-lOrD ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 01 เมษายน 2016
ข้อความ: 22
ThE-dArK-lOrD is on a distinguished road
Default

Idea for problem number $2$ of FE
From the problem, $f(f(x)+2g(x)+3f(y))=g(x)+2f(x)+3g(y)$
We get that $f(f(y)+2g(y)+3f(x))=g(y)+2f(y)+3g(x)$
If $f(x)+g(y) \ge g(x)+f(y) \rightarrow g(x)+2f(x)+3g(y)\ge g(y)+2f(y)+3g(x)$
Then $f(f(x)+2g(x)+3f(y)) \ge f(f(y)+2g(y)+3f(x))$
That is $f(x)+2g(x)+3f(y) \ge f(y)+2g(y)+3f(x)$ contradict with $f(x)+g(y) \ge g(x)+f(y)$

And for the case $f(x)+g(y) \le g(x)+f(y)$ , we can get contradict with similar way
So $f(x)+g(y) = g(x)+f(y)$ give us $f(x)=g(x)+k$
And the rest is easy.

03 เมษายน 2016 00:54 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ ThE-dArK-lOrD
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #10  
Old 01 เมษายน 2016, 21:04
Amankris's Avatar
Amankris Amankris ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ธรรมชาติ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 13 มกราคม 2007
ข้อความ: 2,492
Amankris is on a distinguished road
Default

ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #11  
Old 03 เมษายน 2016, 14:35
Amankris's Avatar
Amankris Amankris ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ธรรมชาติ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 13 มกราคม 2007
ข้อความ: 2,492
Amankris is on a distinguished road
Default

ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #12  
Old 03 เมษายน 2016, 22:40
ThE-dArK-lOrD ThE-dArK-lOrD ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 01 เมษายน 2016
ข้อความ: 22
ThE-dArK-lOrD is on a distinguished road
Default

Solution for #5 (Cr. Sirius)
We denote $P(x,y)$ for $f(x)^2 \geq f(x+y)(f(x)+y)$ for all $x,y \in \mathbb{R}^+$
Since $f(x+y)(f(x)+y) >f(x)f(x+y)$
From $P(x,y)$ we get $f(x) > f(x+y)$ for all $x,y \in \mathbb{R}^+$, so $f$ is strictly decreasing
Then $P(x,f(x))$ give us new assertion $Q(x); \frac{f(x)}{2} \geq f(x+f(x))$ for all $x\in \mathbb{R}^+$
Since $Q(x+f(x)),Q(x)$ and $f$ is strictly decreasing give us $\frac{f(x)}{4} \geq \frac{f(x+f(x))}{2} \geq f(x+f(x)+f(x+f(x))) \geq f(x+f(x)+\frac{f(x)}{2})$ for all $x\in \mathbb{R}^+$
So we get assertion $R_1(x);\frac{f(x)}{4} \geq f(x+\frac{3}{2}f(x))$
From $R_1(x+f(x)),Q(x)$ and $f$ is strictly decreasing give us $\frac{f(x)}{8} \geq \frac{f(x+f(x))}{4} \geq f(x+f(x)+\frac{3}{2}f(x+f(x))) \geq f(x+f(x)+\frac{3}{2} \cdot \frac{f(x)}{2})=f(x+\frac{7}{4}f(x))$ for all $x\in \mathbb{R}^+$
So we get assertion $R_2(x); \frac{f(x)}{8} \geq f(x+\frac{7}{4}f(x))$
Then we can easily proved in similar way by induction on $n \in \mathbb{Z}^+$ that $R_n(x); \frac{f(x)}{2^{n+1}} \geq f(x+(2-\frac{1}{2^n})f(x))$ for all $x\in \mathbb{R}^+$
So we get that for all $n\in \mathbb{Z}^+$, we have $\frac{f(x)}{2^{n+1}} \geq f(x+(2-\frac{1}{2^n})f(x)) >f(x+2f(x))$ for all $x\in \mathbb{R}^+$
But when $n \rightarrow \infty$ we have $\frac{f(x)}{2^{n+1}} \rightarrow 0$
Contradict the existence of $f(x+2f(x)) \in \mathbb{R}^+$

P.S. Dear Amankris
I believe that you have beautiful solution by A.M.-G.M., can you show it to me, plz ?

03 เมษายน 2016 22:44 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 4 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ ThE-dArK-lOrD
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #13  
Old 04 เมษายน 2016, 16:00
Pitchayut Pitchayut ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 มกราคม 2015
ข้อความ: 352
Pitchayut is on a distinguished road
Default

ข้อ 5 อีกวิธีจากเว็บ imomath.com

สามารถพิสูจน์ได้ง่ายมากว่า $f$ เป็นฟังก์ชันลดโดยแท้

ตรึง $x\in\mathbb{R}$ เลือก $n\in\mathbb{N}$ ที่ทำให้ $n\geq\dfrac{1}{f(x+1)}$

จาก $f(x)^2\geq f(x+y)(f(x)+y)$ จัดรูปเป็น $f(x)-f(x+y)\geq\dfrac{yf(x)}{f(x)+y}$

นั่นคือ $f\left(x+\dfrac kn\right)-f\left(x+\dfrac{k+1}n\right)\geq\dfrac{f\left(x+\dfrac kn\right)\cdot\dfrac 1n}{f\left(x+\dfrac kn\right)+\dfrac 1n}\geq \dfrac{f\left(x+\dfrac kn\right)}{n f\left(x+\dfrac kn\right)+1} $

จาก $n\geq\dfrac{1}{f(x+1)}$ เพราะฉะนั้น $f\left(x+\dfrac kn\right)\geq f(x+1)\geq \dfrac 1n$

นั่นคือ $1\leq f\left(x+\dfrac kn\right)$ ทำให้ $f\left(x+\dfrac kn\right)-f\left(x+\dfrac{k+1}n\right)\geq \dfrac{f\left(x+\dfrac kn\right)}{n f\left(x+\dfrac kn\right)+1}\geq\dfrac{f\left(x+\dfrac kn\right)}{n f\left(x+\dfrac kn\right)+n f\left(x+\dfrac kn\right)}=\dfrac{1}{2n}$

สามารถพิสูจน์ต่อเองได้ว่า $f(x)-f(x+1)\geq \dfrac 12$ ซึ่งทำให้เกิดข้อขัดแย้ง
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #14  
Old 04 เมษายน 2016, 19:32
ROCKY's Avatar
ROCKY ROCKY ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 08 เมษายน 2012
ข้อความ: 6
ROCKY is on a distinguished road
Default

http://artofproblemsolving.com/commu...201181p1106459
__________________
...Only NOOBS would use a signature.....
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #15  
Old 05 เมษายน 2016, 03:50
Amankris's Avatar
Amankris Amankris ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ธรรมชาติ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 13 มกราคม 2007
ข้อความ: 2,492
Amankris is on a distinguished road
Default

จัดรูปใหม่ได้ $f(x)-f(x+y)\ge y\cdot\dfrac{f(x+y)}{f(x)}$

ดังนั้น $\displaystyle\sum_{k=1}^n \left(f(t+\dfrac{k-1}{n})-f(t+\dfrac{k}{n})\right)\ge \dfrac{1}{n}\cdot\sum_{k=1}^n \dfrac{f(t+\dfrac{k}{n})}{f(t+\dfrac{k-1}{n})}$

ใช้ am-gm กับพจน์ทางขวา จะได้ $f(t)-f(t+1)\ge \sqrt[n]{\dfrac{f(t+1)}{f(t)}}$

แต่เนื่องจากมี $t$ ที่ทำให้ฝั่งซ้ายน้อยกว่า $1$ จึงได้ว่ามี $n$ ซึ่งใหญ่พอ ที่ทำให้อสมการเป็นเท็จ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 20:33


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha