Problems Collection (First Series)

[passer-by]

กระทู้นี้ จะเป็นวิทยาทานที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในรอบ 5 ปีที่ผมจะทำให้ webboard เลยก็ว่าได้ครับ

สิ่งที่ผมจะ post ในกระทู้นี้ หลังจากวันนี้ อาจจะไม่แตกต่างกับตอนที่ผมตั้งกระทู้WARM-UP เพียงแต่จะครอบคลุมโจทย์ ม.ต้น ,ม.ปลาย, โอลิมปิก,อุดมศึกษา ที่ผมเลือกสรรมาแล้วและผมไม่เคย post ที่ไหนมาก่อน โดยพยายามให้มีทั้งยาก ปานกลาง และง่าย กระจายกันไป ซึ่งความตั้งใจในขั้นแรกของผม คือจะทยอย post ให้ได้อย่างน้อย 200-300 ข้อ ภายในปีนี้

บอกตรงๆว่า ผมไม่ค่อยซีเรียส ว่า สิ่งที่ผมทำจะสูญเปล่า หรือจะแป๊กหรือไม่ แต่ผมถือว่า ผมได้ทำกุศลแบบหนึ่ง แค่นี้ก็พอแล้ว

นอกจากจะมีโจทย์มหาศาลแล้ว ผมจะพยายาม post Hint และแนวทางข้อที่สำคัญๆ ประกอบให้เป็นระยะๆครับ แต่คงไม่เฉลยทุกข้อ ถ้าใครมีคำถามก็สามารถถามเจาะเป็นข้อๆได้ครับ

ส่วนใครที่รอคอยการแจกของฟรีทางไปรษณีย์ เหมือนที่ผมเคยทำเมื่อ 2-3 ปีก่อน ปีนี้กลับมาแน่นอนครับ แต่ตอนนี้ยังบอกไม่ได้ว่าเดือนไหน
------------------------------------------------------------------------------------

1. P(x) เป็นพหุนามดีกรี 2 โดย $ x^2-2x+2 \leq P(x) \leq 2x^2-4x+3 $ ทุกจำนวนจริง x โดย P(11) =181 หาค่า P(16) (Hint: กราฟพาราโบลา)

2. AB= 12 , BC= 13 ,CA =15 , M อยู่บน AC โดยวงกลมแนบในสามเหลี่ยม ABM, BCM มีรัศมีเท่ากัน หาค่า $\,\, \frac{AM}{CM}$

3. จำนวนนับ a,b,c,d (a> b > c > d) และ $ a+b+c+d= 2010 = a^2-b^2+c^2-d^2 $
หาจำนวน a ทั้งหมดที่เป็นไปได้

4. a,b,c เป็นจำนวนจริง โดย
$ a^3-abc = 2\,\, , b^3-abc = 6 \,\, , c^3-abc = 20$

หาค่ามากสุดที่เป็นไปได้ของ $ a^3 + b^3+c^3 $

5. O เป็นจุดภายในสามเหลี่ยม ABC โดย AO= BO=15 , CO=7 โดย พื้นที่ สามเหลี่ยม ABC มีค่ามากสุด หาความยาวด้านสั้นสุดของสามเหลี่ยม

6. EF เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของครึ่งวงกลม ,A อยู่บน EF และ D,B,C อยู่บนครึ่งวงกลม โดย AD ตั้งฉากกับ EF และ AD,BE,CF แบ่งครึ่งมุม CAB,ABC, ACB ตามลำดับ พิสูจน์ว่า $ AD^2= AB \cdot AC$

7. $ 2^{29} $ เป็นเลข 9 หลักต่างกัน ถ้าไม่กดเครื่องคิดเลข หาว่าเลขโดดที่ไม่ปรากฏใน 9 หลักนี้คือเลขใด (Hint: Modulo)

8. ในบรรดา จำนวนด้านล่างนี้ มีจำนวนเต็มต่างกันกี่จำนวน
$ \left\lfloor \ \frac{1^2}{2010}\right\rfloor \,\, ,\left\lfloor \ \frac{2^2}{2010}\right\rfloor \,\, , \left\lfloor \ \frac{3^2}{2010}\right\rfloor \,\, \cdots\left\lfloor \ \frac{2010^2}{2010}\right\rfloor $

9. สามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมุมฉากหน้าจั่วที่ AB=BC มี P เป็นจุดภายในโดย $ PA = 5 \,\, ,PB= 2\sqrt{2} \,\, , PC= 3 $ หาพื้นที่สามเหลี่ยม ABC (Hint: ขยายรูปและต่อให้เกิดสามเหลี่ยมมุมฉากอีกรูป)

10. $ u,v \neq 0$ และ $ u^2+uv+v^2= 0$ หาค่า $ (\frac{u}{u+v})^{2010} +(\frac{v}{u+v})^{2010} $

11. ตาราง 3x3 เขียนเลข 1-9 ไม่ซ้ำกันลงไป จะได้ 9! ตาราง แต่ละตารางหาค่าผลบวกสมาชิกแต่ละแถว และเก็บค่าน้อยสุด มากสุดของผลบวกแต่ละตารางไว้ จากนั้นนำค่าเหล่านี้ที่เก็บไว้ของทุกตารางบวกกัน จะได้ผลลัพธ์เท่าใด (Hint: Symmetry)

12. หาจำนวนจริง $x$ ทั้งหมดที่ทำให้ $ x\,\, , \left\lfloor x\right\rfloor \,\, , x- \left\lfloor x\right\rfloor $ เป็นลำดับเรขาคณิต

13. หาเศษจากการหาร $ 1991^{2000}$ ด้วย 1 ล้าน

14. สี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 1 หน่วยและยาว $ \sqrt{2}$ หน่วย ถ้าหมุนรอบเส้นทแยงมุม 1 รอบจะได้รูปทรง 3 มิติที่มีปริมาตรเท่าใด

15. จำนวนจริง x,y,z หาค่าน้อยสุดของ $ 2x^2+2y^2+5z^2 -2xy-4yz -4x-2z+15$

16. A (x,y) ,B (a,b) เป็น 2 จุดในจตุภาคที่ 1 โดย B อยู่ทางตะวันออกเฉียงใต้ของ A ถ้ายิงลำแสงจาก A กระทบกระจกในแนวแกน Y โดยลำแสงสะท้อน มายังกระจกในแนวแกน X และสะท้อนกลับไปที่ B หาระยะทางที่แสงเคลื่อนที่ในเทอมของ a,b,x,y

17. 6 เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า ABCDEF มี P เป็นจุดกึ่งกลาง AB ยิงลำแสงจาก P กระทบ BC ,CD,DE,EF ,FA และกลับมาที่บางจุดบน AB หาขนาด $ \tan (B\hat{P}Q)$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้

18. หาจำนวนเฉพาะ p,q และเลขคู่ n>2 ซึ่งสอดคล้องกับ $ p^n + p^{n-1} +\cdots +p+1 = q^2+q+1 $

19. (ข้อนี้ไม่ใช่โจทย์แคลคูลัสนะครับ) ให้ x เป็นจำนวนจริง หาค่ามากสุดของ $ \sqrt{x^4-3x^2-6x+13} - \sqrt{x^4-x^2+1}$

20. มีจำนวนนับ n ไม่เกิน 100 กี่จำนวน ที่ทำให้ $ 5 | 3^n-n^2 $

[Switchgear]

ผมขอสนับสนุนและเป็นกำลังใจให้กับแนวคิดของคุณ passer-by ครับ!

ผมเชื่อว่าข้อมูลในกระทู้นี้จะไม่สูญเปล่า ไม่แป๊ก และเป็นกุศลอย่างยิ่งกับ
เยาวชนที่เติบโตขึ้นมาอีกหลายรุ่นเลย ...

[passer-by]

21. P(x) เป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ ดีกรีน้อยสุดที่ทำให้ $ \sqrt[3]{7} +\sqrt[3]{49} $ เป็นรากสมการ หาผลคูณรากทั้งหมดของ P(x)

22. สี่เหลี่ยมจัตุรัสซ้อนกัน 2 รูป และมี จุดกึ่งกลาง O ร่วมกัน ถ้าหมุนรูปเล็กข้างในทวนเข็มนาฬิการอบจุด O เป็นมุม $\theta $ โดยน้อยกว่า 45 องศา จนจุดมุมรูปเล็กทับด้านทั้งสี่ของรูปใหญ่ หาค่า $ \tan \theta$

23. P เป็นจุดนอกวงกลมจุดศูนย์กลาง O ,PA สัมผัสวงกลม โดย PA= OA=1 และเส้นตรง PBC ตัดวงกลมที่ B,C ถ้ามุม APC =75 องศา หาขนาด PC

24. หาค่า $$ \sum_{n=1}^{\infty} \arccos \left(\ \frac{1+\sqrt{n^2+2n}\sqrt{n^2+4n+3}}{(n+1)(n+2)} \right) $$ (Note: ไม่ยากมากแต่ต้องรอบคอบ)

25. จำนวนจริง a,b,c,x,y,z โดย $ a^2+b^2+c^2 = 25 \,\, , x^2+y^2+z^2 =36 \,\, , ax+by+cz = 30 $ หาค่า $ \frac{a+b+c}{x+y+z}$

26. สามเหลี่ยมด้านไม่เท่า ABC สะท้อนจุดมุมสามเหลี่ยมเทียบกับจุดตัดมัธยฐาน G กลายเป็น $ A',B',C'$ โดยพื้นที่สามเหลี่ยม $ A'B'C'$ เท่ากับ 72 หาพื้นที่ 6 เหลี่ยมที่เกิดจากสามเหลี่ยมทั้ง 2 รูปซ้อนกัน

27. เชื่อมจุดศูนย์กลางหน้าลูกบาศก์ที่ติดกัน เกิดเป็นพีระมิดฐานสี่เหลี่ยม 2 รูปซ้อนกัน หรือที่เรียกว่า octahedron จากนั้นเชื่อมจุดศูนย์กลางของหน้าที่อยู่ติดกันของ octahedron เกิดเป็นลูกบาศก์อีกลูก หาอัตราส่วนด้านของลูกบาศก์ใหม่ต่อลูกบาศก์เดิม

28. เลข 7 หลักต่างกันสร้างจาก 1-7 หาผลรวมเลข 7 หลักเหล่านี้

29. หาจำนวนเต็ม x,y ทั้งหมด ที่สอดคล้องกับ $ x^4-x+1 =y^2$ (Hint: Algebra)

30. วงกลมรัศมี 2,4,6 สัมผัสซึ่งกันและกัน เส้นสัมผัสร่วมของวงกลมรัศมี 2,4 ตัดกับ เส้นสัมผัสร่วมของวงกลมรัศมี 2,6 ที่จุด X หามุมที่เส้นสัมผัสตัดกัน

31. หาจำนวนนับ k,p ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $ 1^k+2^k+\cdots +n^k = (\frac{n(n+1)}{2})^p$ (Hint: ต้องคิดนอกกรอบแล้วจะง่ายมาก)

(คำถามแนว โอลิมปิกและอุดมศึกษา จะทยอยตามมาในข้อต่อๆไปครับ)

[หยินหยาง]

ยังไม่ได้เข้ามาตอบ แต่มาให้กำลังใจและร่วมสนับสนุนในสิ่งที่ทำครับ แค่คิดว่าจะพิมพ์โจทย์ 200-300 ข้อสำหรับผมแล้วถือว่าสาหัสสากรรจ์เลยเชียว ผมคิดว่าจะเกิดประโยชน์อย่างมาก ถ้ามีใครรวบรวมแล้วทำเป็น pdf ครับ แต่อย่างไรก็ขอชื่นชมครับ

[passer-by]

32. ABCD เป็นด้านของสี่เหลี่ยม โดยความยาวด้านเป็นจำนวนนับ และมี มุม A,C เป็นมุมฉาก ,BD =25 หาจำนวนนับที่เป็นไปได้ทั้งหมดของความยาว AC

33. ถ้าในโลกอนาคต , 2 คำใดๆ จะเหมือนกัน ถ้าใช้กลุ่มตัวอักษรเดียวกัน เช่น AABCC=ACBCA=BACCA เป็นต้น หาว่าจะมีคำ 9 ตัวอักษรต่างกันกี่คำ (สมมติว่าไม่มีการประดิษฐ์ตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวใหม่เพิ่ม)

34. n เป็นจำนวนนับ >3 , S= {1,2,..,n} $ A\subset S \,\, , A \neq \phi $ นิยาม m(A) แทนมัธยฐานของสมาชิกใน A หาค่า $$ \sum_{A} \,\, m(A) $$ (Hint: symmetry might help)

35. หาผลรวมรากจริงทั้งหมดของสมการ $ \log_{2}(-x^2+7x-10) + 4 \sqrt{\cos (\pi \sqrt{x^2+7})-1} = 1 $

36. ทรงสี่หน้า ABCD ยาวด้านละ 1 หน่วย P,Q เป็นจุดบน AB, CD ตามลำดับ หาระยะสั้นสุดระหว่าง P,Q

37. หาจำนวนจริง x,y,z ทั้งหมด ที่สอดคล้องกับสมการ $ \sqrt{3^x(4^y+5^z)} + \sqrt{4^y(3^x+5^z)}+ \sqrt{5^z(3^x+4^y)} = \sqrt{2}(3^x+4^y + 5^z) $ (Hint: inequality)

38. หาค่าเฉลี่ยของ $ (a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-d)^2 + \cdots (f-g)^2 $ โดย a,b,c,..,g เป็นการเรียงสับเปลี่ยนของ 1,2,3,11,12,13,14

39. กำหนดลำดับ 19,199,1999,... พิสูจน์ว่า 19 หารเทอมในลำดับลงตัว เป็นจำนวนอนันต์ ( prove that there're infinitely many numbers in sequence , divisible by 19)

40. a,n เป็นจำนวนนับที่มากกว่า 1 , หา หรม.ทั้งหมดที่เป็นไปได้ของ $ a^n(a+1)^{n+1} +a $ และ $ a^{n+1}(a+1)^n -1$

41. a,b,c > 0 พิสูจน์ $$ \frac{1}{a(b+1)} + \frac{1}{b(c+1)} + \frac{1}{c(a+1)} \geq \frac{3}{1+abc} $$

42.กำหนดจำนวนนับ n ที่ทำให้ 2n+1 และ 3n+1 เป็น perfect square พิสูจน์ว่า 5n+3 เป็นจำนวนประกอบ

43. แก้สมการ $ \log_{2010}(2009x) = \log_{2009}(2010x)$

44. (ข้อนี้หน้าตาคล้ายโจทย์โอลิมปิก แต่จริงๆเป็นโจทย์ ม.ปลายธรรมดา) n เป็นจำนวนนับที่ >3 พิสูจน์ว่า ค่าสัมบูรณ์ของรากทุกรากของสมการ $ x^n+x^{n-1}+2x^{n-2}+3x^{n-3}+\cdots (n-1)x+n = 0 $ น้อยกว่า $ \frac{3+\sqrt{5}}{2} $

45. (ข้อนี้เกิน ม.ปลายครับ) หาค่า $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} (\frac{n}{\frac{1}{2}+ \frac{2}{3}+\cdots \frac{n}{n+1}})^n $$

46. $ a_1 \,\, ,a_2 \,\, , a_3 \,\, , a_4 >0 $ พิสูจน์ว่า $$ \frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4} - \sqrt[4]{a_1a_2a_3a_4} \leq \frac{3}{4} max_{i,j} (\sqrt{a_i} -\sqrt{a_j})^2 $$ และพิสูจน์ด้วยว่า 3/4 เป็นค่าคงที่ที่ดีที่สุดของอสมการแล้ว

---------------------------------------
p.s. ผมจะพยายาม มาเพิ่มให้อย่างสม่ำเสมอ นะครับ

[passer-by]

47. หาจำนวนฟังก์ชันทั่วถึง $ f: \{ 1,2,3,..,100\} \rightarrow \{ 1,2,3,..,50\} $ โดย $ f(1) \leq f(2) \leq \cdots \leq f(100) $

48. พิสูจน์ว่ามีจำนวนนับต่างกัน $ a_i \,\, (i =1,2,...,2009)$ ซึ่ง $ a_i | \sum_{i=1}^{2009} a_i \,\, ,\forall i $
แต่ไม่มีจำนวนนับต่างกัน $ b_i \,\, (i =1,2,...,2009)$ ซึ่ง $ (b_i +b_j) | \sum_{i=1}^{2009} b_i \,\, ,\forall i \neq j $

49. หาจำนวนเต็ม m,n (m,n>1) โดย $ mn-1 | n^3-1 $

50. ระบายสี ทุกด้านและเส้นทแยงมุมของรูป 12 เหลี่ยมด้วยสีที่มีอยู่ 12 สี เป็นไปได้หรือไม่ว่า ทุก 3 สีใดๆ จะมีสามเหลี่ยมที่เชื่อมด้วย 3 สีดังกล่าว

51. จำนวนนับ $ n \geq 2 $ และจำนวนนับ $ a_1 , a_2 ,\dots ,a_n$ ซึ่ง $ 0< a_k \leq k $ ทุก k = 1,2,...,n ถ้า $ a_1+a_2+\dots +a_n$ เป็นเลขคู่ พิสูจน์ว่า สามารถ partition $a_i$ ออกเป็น 2 กลุ่ม โดยมีผลบวกเท่ากันได้ (Hint : Induction)

52. หาจำนวนจริง x ทั้งหมด ที่สอดคล้องกับ $ \left\lfloor x\right\rfloor + \left\lfloor 2x\right\rfloor + \cdots +\left\lfloor nx\right\rfloor = \frac{n(n+1)}{2} $

53. p(x) เป็นพหุนามที่มี สปส. เป็นจำนวนจริง โดย p(x)=x ไม่มีรากที่เป็นจำนวนจริง พิสูจน์ว่า p(p(x))=x ก็ไม่มีรากจำนวนจริง (Hint: พหุนามเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง)

54. หาจำนวนเฉพาะ p,q ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $ p^3 -q^5 = (p+q)^2 $

55. หาฟังก์ชัน $ f: R^+ \rightarrow R^+ $ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $ f(x^2)+f(y)= f(x^2+y+xf(2552y)) $ ทุกจำนวนจริงบวก x,y

56. พิสูจน์ว่าไม่มี $ f: R^+ \rightarrow R^+ $ ทีสอดคล้องกับ $ (x+y)f(yf(x)) = x^2f(f(x)+f(y))$ ทุกจำนวนจริงบวก x,y

57. หาฟังก์ชัน $ f: R \rightarrow R $ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $ (x+y)(f(x)-f(y)) = (x-y)f(x+y)$ ทุกจำนวนจริง x,y

58. t > -1 และ {a} คือ fractional part ของ a หรือพูดง่ายๆคือค่าหลังทศนิยมของ a จงหาค่า $$\int_0^{\,\,1}\int_0^{\,\,1} x^t y^t \left\{\frac{x}{y}\right\} \left\{\frac{y}{x}\right\} \,dx\,dy $$

59.กำหนดจำนวนนับ n จงหาค่า $$ \int_0^{\,\,\pi} \,\,\frac{2+2\cos x-\cos(n-1)x -2\cos nx -\cos (n+1)x}{1-\cos 2x} \,\, dx $$

60. กำหนดจำนวนจริง $ x_1 ,x_2 ,\dots ,x_n$ ถ้า $ x_1x_2\dots x_n -x_i $ เป็นเลขคี่ทุกจำนวนนับ i =1,2,..,n พิสูจน์ว่าทุก $x_i$ เป็นจำนวนอตรรกยะ

61. a,b,c> 0 ,abc= ab+bc+ca พิสูจน์ $$ \sum_{cyc} \,\, \frac{1}{1+a^2+b^2} \leq \frac{3}{19} $$

62. หาจำนวนเต็ม x,y ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $ 6(x!+3) = y^2+5 $ (Hint: Modulo)

[passer-by]

ก่อนจะไปต่อ อยากให้เห็นสัญลักษณ์หรืออักษรบางอย่างก่อน เพราะหลายข้อที่เป็นเรขาคณิตต่อจากนี้ ถ้าไม่กำหนดเป็นอย่างอื่นให้ยึดตามนี้

O,I,H,G หมายถึง จุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม ABC , จุดศูนย์กลางวงกลมแนบในสามเหลี่ยม ABC ,จุดตัดส่วนสูงของสามเหลี่ยม ABC และจุดตัดมัธยฐานของสามเหลี่ยม ABC

(ABC) หมายถึง วงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม ABC ,[ABC] แทนพื้นที่สามเหลี่ยม ABC

r,R หมายถึง รัศมีวงกลมแนบในสามเหลี่ยม ABC และ รัศมีวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม ABC

a,b,c แทนความยาวด้านตรงข้ามมุม A,B,C ของสามเหลี่ยม ABC

$ h_a ,h_b ,h_c$ แทนความยาวส่วนสูงที่ลากจากมุม A,B,C
-------------------------------------------------------------

63. สามเหลี่ยม ABC มีมุม C กาง 60 องศา , BC=4 และ D เป็นจุดกึ่งกลาง BC หาค่ามากสุดของ $ \tan(B\hat{A}D)$

64. ถ้า a,b,c,d,e,f เป็นจำนวนเต็มต่างกัน หาค่าน้อยสุดของ $ (a-b)^2+(b-c)^2+ \dots +(e-f)^2+(f-a)^2 $

65. พิสูจน์ว่าทุกจำนวนนับ n จะต้องมีจำนวนนับ m ซึ่ง n หลักสุดท้ายของ $m^3$ เป็นเลข 8 ทั้งหมด

66.กำหนดสามเหลี่ยม ABC พิสูจน์ $$ \frac{R}{2r} \geq \bigg(\frac{64(abc)^2}{(4a^2-(b-c)^2)(4b^2-(c-a)^2)(4c^2-(a-b)^2)} \bigg)^2 $$

67. วงกลมผ่าน B,C ของสามเหลี่ยม ABC วงกลมตัด AB,AC ที่ D,E ตามลำดับ มัธยฐาน AF ตัด DE ที่ L พิสูจน์ $ \frac{LD}{LE} = \frac{AC^2}{AB^2} $

68. แก้ระบบสมการ $ \cos x + \cos y +\cos z = \frac{3\sqrt{3}}{2} \,\, ,\sin x + \sin y +\sin z = \frac{3}{2}$

69. สามเหลี่ยม ABC มีมุม C เท่ากับ 120 องศา โดยมี F เป็นจุดกึ่งกลางส่วนโค้ง ACB พิสูจน์ HF=FO

70. เลขคี่บวกต่างกัน $ a_1,a_2,\dots, a_n$ โดย $ |a_i-a_j| $ ต่างกันหมดทุก $ i \neq j $ พิสูจน์ $$ \sum_{i=1} ^n a_i \geq \frac{n(n^2+2)}{3}$$

71. เขียนเลข 1 ถึง 400 ในตาราง 20x20 แต่ละช่องไม่ซ้ำกัน พิสูจน์ว่ามีบางแถวหรือบางคอลัมน์ ที่มี 2 จำนวนซึ่งมีผลต่างมากกว่าหรือเท่ากับ 209 (Hint: พิจารณา {1,2,..,91} กับ {300,301,...,400} )

72. พิสูจน์ $$ (\prod_{cyc} \,\,\frac{h_a}{h_b+h_c} )^{1/3} \leq \frac{1}{6}\bigg(\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}} \bigg)$$

73. ให้ p เป็นจำนวนเฉพาะซึ่ง 128p+1 เป็นจำนวนประกอบ และ $ 128p+1 | 2^{64p}-1 $ พิสูจน์ว่า $ 128p+1 | 2^{64}-1 $

74. k,n เป็นจำนวนนับโดย $ k \leq n$ และ $a_i \geq 0 \,\, \forall i $ พิสูจน์ $$ a_1a_2\dots a_k+a_2a_3\dots a_{k+1} +\dots a_{n-k+1}a_{n-k+2}\dots a_n \leq \bigg(\frac{\sum_{i=1}^n a_i}{k} \bigg)^k $$

75. n เป็นเลขคู่บวก พิสูจน์ $ n^2-1 | 2^{n!}-1$

76. สามเหลี่ยมมีส่วนสูง 10,12,15 หน่วย หาความยาวด้านทั้งสาม

77. $ f: R \times R \rightarrow Z $ โดย $ 5| f(A)+f(B)+f(C) $ ทุกสามเหลี่ยมด้านเท่า ABC พิสูจน์ว่า $ 5 |f(P) $ ทุกจุด P ในระนาบ XY (Note: Z เป็นเซตของจำนวนเต็ม)

78. หา $ f: R\times R \rightarrow R $ ทั้งหมดโดย $ f(A)+f(B)+...+f(E) = 0 $ ทุกจุดมุมห้าเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า ABCDE

79. กำหนดจำนวนนับ n หาค่า $$ \int_0^{\infty} \,\, \frac{x^n}{e^x + \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}} \,\, dx $$ (Hint: เศษกับส่วน สัมพันธ์กันอย่างไร)

80. สำหรับสามเหลี่ยมมุมแหลม ABC พิสูจน์ $$ \frac{9(AG^2+BG^2+CG^2)}{AO^2+BO^2+CO^2} -\,\, \frac{AH \cdot BH \cdot CH}{AI \cdot BI \cdot CI} \leq 8 $$

81. วงกลมแนบในสามเหลี่ยมมุมแหลม ABC สัมผัส BC ที่ D ในขณะที่ excircle (ตรงข้ามมุม B) สัมผัส BC ที่ E ถ้า AD=AE แล้วหาค่า $2\hat{C}-\hat{B}$

----------------------------------------------------------------------------------------------------
p.s. ผมจะค่อยๆทยอยเติม Hint ข้อที่พิมพ์ไปแล้วให้นะครับ

[passer-by]

ต่อให้ครบ 100 ไปเลยแล้วกัน!

82. หาค่า $$ \sum_{i=0}^{\infty} (-1)^i \,\, \int_0^{\,\,1} \,\, \frac{16x^3(1+x^{8i})}{(1+x^4)^{2i+2}} \,\, dx $$

83. อนุกรม $ \sum_{n=1}^{\infty} \{ (\frac{\sqrt{5}+1}{2})^n \}$ ลู่เข้าหรือลู่ออก (โดย {a} คือ ค่าหลังทศนิยมของ a)

84. กำหนด $ p_1=2$ และ $p_{n+1} $ เป็น prime divisor เล็กสุดของ $ np_1^{1!}p_2^{2!}\dots p_n^{n!} +1 $ พิสูจน์ว่าจำนวนเฉพาะทุกตัวปรากฏในลำดับ $p_n$

85. กำหนด $ p_1=2$ และ $p_{n+1} $ เป็น prime divisor ใหญ่สุดของ $ p_1p_2\dots p_n +1 $ พิสูจน์ว่าไม่มี 11 ปรากฏในลำดับ $p_n$

86. $ x_1,x_2,\dots x_n > 0$ และผลรวมเป็น 1 พิสูจน์ $$ \sum_{i=1}^n \,\,\frac{x_i+n}{1+x_i^2} \leq n^2 $$

87. พิสูจน์ว่ามีจำนวนนับ n เป็นอนันต์ที่ทำให้ $ n | 2^n+1$ แต่ไม่มีจำนวนนับ n>1 ที่ทำให้ $ n | 2^n-1$

88. ให้ n เป็นเลขคี่ที่มากกว่า 1 พิสูจน์ว่า $ n \nmid 3^n+1$

89. n > 3 พิสูจน์ว่า $ 2^n \pm 1 $ ไม่สามารถเขียนได้ในรูป $3^k$ (Note: Lemma นี้เอาไปประยุกต์ใช้ในโจทย์ทฤษฎีจำนวนได้หลายข้อเลยครับ)

90. จำนวนนับ n โดย 2n+1 และ 3n+1 เป็น perfect square พิสูจน์ว่า 40|n

91. พิสูจน์ว่า $ y^2 =x^3+7$ ไม่มีคำตอบในระบบจำนวนเต็ม

92. หาจำนวนนับ n ทั้งหมดที่ทำให้ $ n| 1^n+2^n+\dots (n-1)^n$

93. หาจำนวนนับ n ทั้งหมดซึ่งมีจำนวนนับ m ซึ่ง $ 1,2,..,n|m $ แต่ $ n+1,n+2,n+3 \nmid m$

94. สามเหลี่ยม ABC มี AB,BC,CA ยาว 65, 33,56 หน่วย ตามลำดับ หาขนาดรัศมีวงกลมที่สัมผัส AC,BC และ (ABC)

95. วงกลม 3 วงมีจุดศูนย์กลางที่จุดกึ่งกลางด้านสามเหลี่ยมมุมแหลม ABC วงกลมทั้ง 3 ผ่านจุด O และตัดกันเองที่ K,L,M พิสูจน์ว่า O เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมแนบในสามเหลี่ยม KLM

96. สามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว ABC มีมุมฉากที่ C ,ให้ P เป็นจุดบน BC และ M เป็นจุดกึ่งกลาง AB , L,N อยู่บน AP โดย CN ตั้งฉากกับ AP ,AL=CN ถ้า [ABC] =4[LMN] หาขนาดมุม LMN และ CAP

97. D เป็นจุดบน BC ของสามเหลี่ยม ABC โดย E,F เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมแนบในของสามเหลี่ยม ABD, ACD ตามลำดับ โดย BCEF เป็น cyclic พิสูจน์ $ \frac{AD+BD}{AD+CD} = \frac{AB}{AC}$

98. (ข้อนี้ดูเหมือนง่ายแต่ไม่ง่ายเลย) a,b,c >0 พิสูจน์ $$ \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} + \,\,\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq 2 $$

99. a,b,c เป็นจำนวนนับ โดย (a,b,c)= 1 และ $ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c} $ พิสูจน์ a+b เป็น perfect square

100. สามเหลี่ยมมุมแหลม ABC มี AD,BE,CF เป็นส่วนสูง และ EF ตัด (ABC) ที่ P,Q พิสูจน์ว่า OA ตั้งฉากกับ PQ และถ้า M เป็นจุดกึ่งกลาง BC พิสูจน์ $ AP^2 = 2(AD)(OM)$

101. (ข้อนี้เป็นโจทย์ที่ดีข้อหนึ่ง สำหรับผู้ที่อยากลองใช้อสมการ Holder) a,b,c > 0 พิสูจน์ $$ \frac{a+ \sqrt{ab} + \sqrt[3]{abc}}{3} \leq \sqrt[3]{a \cdot \frac{a+b}{2} \cdot \frac{a+b+c}{3}} $$

102. ถ้า$ (a_i,a_j)= (i,j)$ ทุก $ i \neq j$ พิสูจน์ว่า $ a_i =i \,\, , \forall i$

[กิตติ]

นับถือน้ำใจคุณpasser-by.....นั่งพิมพ์โจทย์ก็มือหงิกแล้วครับ
มาร่วมเป็นกำลังใจให้ครับ...กระทู้นี้ได้ประโยชน์อย่างแน่นอนครับ

[passer-by]

ผมเอาคำตอบเฉพาะข้อที่ไม่เป็นพิสูจน์ มาแปะให้ก่อนครับ วิธีทำคงพิมพ์ให้ครบทุกข้อไม่ไหว แต่ถ้าจะ discuss หรือจะให้ check ตรงไหน อันนี้พร้อมตอบครับ

ANSWER(1-34)

1. 406
2. 22/23
3. 501
4. 151/7
5. 20
7. 4
8. 1508
9. 14.5
10. 2
11. 30(9!)
12. $ 0\,\, ,\frac{\sqrt{5}+1}{2} $
13. 880001
14. $\frac{23\pi \sqrt{3}}{72}$
15. 10
16. $\sqrt{(x+a)^2+(y+b)^2}$
17. $[\frac{3\sqrt{3}}{10},\frac{3\sqrt{3}}{8}] $
18. (p,q,n)= (2,5,4)
19. $ \sqrt{10}$
20. 20
21. 56
22. $ \frac{9-4\sqrt{2}}{7}$
23. $ \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$
24. $ \frac{\pi}{6}$
25. 5/6
26. 48
27. 1/3
28. $ (2240)(10^7-1)$
29. $ (x,y)= (1, \pm 1) \,\, , (0, \pm 1) $
30. $ \frac{\pi}{6} + \arcsin(\frac{1}{3})$
31. (k,p)= (1,1) ,(3,2)
32. 20 ,24,25
33. $\binom{34}{9} $
34. $\frac{(n+1)(2^n-1)}{2} $

ANSWER(35-102)

35. 3
36. $ \frac{\sqrt{2}}{2}$
37. x=y=z=0
38. 392
40. 1
43. $\frac{1}{2009 \cdot 2010}$
45. $ e^{\gamma -1} $ เมื่อ $\gamma$ คือ Euler-Mascheroni constant
47. $ \binom{99}{50}$
49. $ (m,n)= (k^2,k) \,\, ,(k,k^2) \,\, \forall k>1 $
52. $ [1,1+\frac{1}{n}) $
54. (p,q)=(7,3)
55. $ f(x) =\sqrt{\frac{x}{638}}$
57. $ f(x)= ax^2+bx $ เมื่อ a,b เป็นจำนวนจริง
58. $ \frac{1}{(t+1)^2} - \frac{1}{(t+1)(t+2)}\zeta(t+2)$ เมื่อ $\zeta(k)= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^k}$
59. $ n \pi $
62. $ (x,y)= (2, \pm 5) \,\, , (3, \pm 7)$
63. $\frac{\sqrt{3}}{4\sqrt{2}-3}$
64. 18
68. ถ้า เอาแค่ 360 องศาแรก คือ 30 องศาทั้ง 3 มุม
76. $ \frac{48}{\sqrt{7}}\,\, ,\frac{40}{\sqrt{7}}\,\, ,\frac{32}{\sqrt{7}}$
78. f(x)= 0
79. (n!)(ln(2))
81. 180 องศา
82. $\pi$
83. ลู่ออก
92. n เป็นเลขคี่บวก
93. n=1,2,6
94. 24
96. $L\hat{M}N = 90^{\circ} \,\, , C\hat{A}P= 15^{\circ}$

[nooonuii]

ชอบอสมการของ Kiran Kedlaya ข้อ 101 มากครับ

เป็นโจทย์ Holder's inequality ที่ดีมากจริงๆ

[passer-by]

ตอนนี้ผมกำลังคิดว่า กระทู้จะสมบูรณ์ ถ้าผมสร้าง topic ย่อยเพื่อประมวลเทคนิคที่ใช้บ่อยๆ ใส่ไว้ในกระทู้นี้ด้วย โดยใช้โจทย์ ที่ post ไว้นี่แหละเป็นตัวตั้ง (คล้ายๆกับบทความ เรียนพีชคณิตจากโจทย์ปัญหา ใน My Maths)

แต่ขอ post คำถามให้ครบก่อนแล้วกันครับ ซึ่งน่าจะเสร็จ ภายในปลาย กรกฎาคม

ดูท่าทางงานนี้ จะเป็นงานช้างทีเดียว ทั้งโจทย์และบทความย่อย...แต่ไม่เป็นไร ไหนๆจะทำงานใหญ่แล้วต้อง fight ให้ถึงที่สุด
------------------------------------------------------------------------------------
103. สามเหลี่ยม ABC มี AB,BC,CA ยาว 8,7,5 หน่วย ตามลำดับ ต่อ CA ไปทาง A จนถึง D จากนั้นลากเส้นแบ่งครึ่งมุม DAB ตัด (ABC) ที่ E ลาก EF ตั้งฉากกับ AB ที่ F หาความยาว AF(Hint: หา 60 องศาให้เจอ)

104. หาจำนวนนับ n ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $ \binom{n}{k} | \binom{2n}{2k} \,\, , \forall k=1,2,\dots, n-1$

105. วงกลมแนบในสามเหลี่ยม ABC สัมผัส AB,AC ที่ X,Y ตามลำดับ K เป็นจุดกึ่งกลางส่วนโค้ง AB ของ (ABC) ด้านที่สั้นกว่า ถ้า XY แบ่งครึ่ง AK หาขนาดมุม BAC

106. จุด n จุดอยู่บนวงกลม (n > 3 และเป็นเลขคู่ ) ถ้าคอร์ดทุกเส้นที่มีจุดเหล่านี้เป็นจุดปลาย ไม่ใช่เส้นผ่านศูนย์กลาง พิสูจน์ว่าจำนวนสามเหลี่ยมมุมแหลมที่เกิดจากจุดเหล่านี้ เป็นเลขคู่และไม่เกิน $ \frac{1}{2} \binom{n}{3}$

107. นิยาม $ a_n = \cases{0 & , \text{จำนวนตัวประกอบที่เป็นบวกของ n เป็นเลขคี่} \cr 1 & , \text{จำนวนตัวประกอบที่เป็นบวกของ n เป็นเลขคู่}} $ โดย $ x = 0.a_1a_2\dots $ พิสูจน์ว่า x เป็นจำนวนอตรรกยะ

108. a,b,c > 0 ,a+b+c=1 พิสูจน์ $$ \sum_{cyc} \frac{a}{\sqrt{b}(b+c)} \geq \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{ab+bc+ca}} $$

109. สี่เหลี่ยม ABCD มีเส้นทแยงมุมตัดกันที่ X โดยมี $ M_1,M_2$ เป็นจุดตัดมัธยฐานของสามเหลี่ยม ABX, XDC ตามลำดับ และ $H_1,H_2$ เป็นจุดตัดส่วนสูงของสามเหลี่ยม BXC, AXD ตามลำดับ พิสูจน์ว่า $M_1M_2$ ตั้งฉากกับ $H_1H_2$

110. (ข้อนี้เป็นข้อสอบ TST ของบางประเทศ แต่ผมว่ามันควรจะเป็นแบบฝึกหัดให้เด็กเรียน abstract algebra จะเหมาะกว่า) S={1,2,…,n} $ A \subset S$ โดย $ \forall x,y \in A\,\, , x+y \in A $ หรือ $ x+y-n \in A$ พิสูจน์ว่า n(A) | n

111. พิสูจน์ว่า ถ้า $ A \subset \{ 1,2,…,2007 \} $ โดย n(A) = 27 แล้ว A บรรจุ 3 จำนวนต่างกัน โดย $ (a,b) |c $

112. ถ้าพหุนาม $ p(x)= x^{2010} \pm x^{2009}+\dots \pm x\pm1 $ ไม่มีรากจำนวนจริง หาจำนวนสัมประสิทธิ์ใน p(x) มากสุด ที่เป็น -1

113. จัดแข่งไพ่ poker แบบพบกันหมด โดยมีผู้เล่น 9 คน และแต่ละคู่ แข่งเพียง 1 ครั้งเท่านั้น โดยแบ่งการแข่งเป็น 4 รอบ แต่ละรอบแบ่งเป็น 3 กลุ่มๆละ 4 คน โดยกลุ่มเดียวกันจะพบกันหมดและไม่แข่งข้ามกลุ่มในแต่ละรอบใดๆ หาจำนวนวิธีจัดการแข่งขันทั้ง 4 รอบ

114. พิสูจน์ว่ามีจำนวนนับ n, n+2 เป็นอนันต์ที่ทั้งคู่ไม่สามารถเขียนได้ในรูปแบบผลต่างของจำนวนเฉพาะ

115. มีคน N คนมางานปาร์ตี้ ถ้าแต่ละคนจับมือกับคนอื่น ไม่เกิน 50 คน และทุก 50 คนใดๆ มี 2 คนที่เคยจับมือซึ่งกันและกัน หาค่ามากสุดของ N

116. ตาราง 16x16 บรรจุจำนวนเต็มทุกช่อง โดยทุกแถว ทุกคอลัมน์มีจำนวนเต็มต่างกันไม่เกิน 4 จำนวน หาว่าในตารางมีจำนวนเต็มมากสุดได้กี่จำนวน

117. n > 1 หาจำนวนหมากน้อยสุดในเทอมของ n ที่วางลงไปในกระดานหมากรุกขนาด nxn แล้วมี 4 หมากที่วางเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานเสมอ

118. (โจทย์ข้อนี้เจ๋งดีครับ ไม่เชื่อลองทำดู) หาคำตอบทั้งหมดของ $x_i$ ที่เป็นจำนวนจริงไม่ติดลบ ของระบบสมการ $ (x_1+x_2+\dots +x_k)( x_k+x_{k+1}+\dots +x_{2009}) \,\, ,\forall k=1,2,..,2009 $

119. M อยู่บนส่วนโค้ง BC ด้านตรงข้าม A ของ (ABC) IE,IF ตั้งฉากกับ MB, MC ตามลำดับ พิสูจน์ว่า $ \frac{IE+IF}{AM}$ ไม่ขึ้นกับตำแหน่งของ M

120. พิสูจน์ว่ามีจำนวนนับ n เป็นอนันต์ ที่ทำให้ $ \frac{(n+1)(n+2)\dots(n+500)}{500!}$ เป็นจำนวนนับที่มี prime divisor ทุกตัว > 500

121. f เป็นฟังก์ชันค่าจริง (real-valed function) และหาค่าอนุพันธ์อันดับ 1 ได้บน [a,b] ถ้า $f’(x) \geq f(x) > 0$ ทุก x ใน [a,b] พิสูจน์ว่า $ \int_{\,\,a}^{\,\,b} \,\, \frac{1}{f(x)} \,\, dx \leq \frac{1}{f(a)} - \frac{1}{f(b)}$

122. a,b >0 กำหนด $x_n$ แทนผลรวมทุกหลักของ $ \left\lfloor an+b \right\rfloor $ พิสูจน์ว่า $x_n$ บรรจุลำดับย่อยอนันต์เทอมที่เป็นค่าคงที่ (Hint: หา n ที่เหมาะสมที่ทำให้ผลบวกหลักอยู่ในช่วงแคบๆ)

123. สามเหลี่ยมหน้าจั่ว ABC มี AC=BC และD อยู่บน BC โดย OD ตั้งฉากกับ BI พิสูจน์ ID ขนานกับ AC

124. AD,BE,CF เป็นส่วนสูงของสามเหลี่ยม ABC K,M,N เป็น จุดตัดส่วนสูงของสามเหลี่ยม AEF, BFD, CDE ตามลำดับ พิสูจน์ว่าสามเหลี่ยม KMN เท่ากันทุกประการกับสามเหลี่ยม DEF

125. (A) p เป็นจำนวนเฉพาะ และกำหนดจำนวนเต็ม 2p-1 จำนวนต่างกัน พิสูจน์ว่ามี p จำนวนที่ผลรวมหารด้วย p ลงตัวเสมอ (Hint: contradiction แล้ว หาค่า $ \sum \,\, S_i \pmod {p} $ 2 แบบ เมื่อ $S_i $ แทน ผลบวกจำนวนใน subset ขนาด p ทั้งหมด
(B) เปลี่ยนจาก p เป็นจำนวนนับ n แล้วพิสูจน์อีกครั้ง (เรียกทฤษฎีนี้ว่า Erdos-Ginzburg-Ziv Theorem)

126. กำหนด p เป็นจำนวนเฉพาะ พิสูจน์ $$ \sum_{k=1}^{p^2-p} k^k \equiv -1 \pmod{p} $$

127. พิสูจน์ว่าทุกจำนวนนับ N จะมี จำนวนนับ m ซึ่ง $ m^{2553}+2010m^{2552}+500m+7 $ มี prime divisor ต่างกันอย่างน้อย N จำนวน

128. $ A_2 ,B_2,C_2$ เป็นจุดกึ่งกลางส่วนสูง $AA_1,BB_1,CC_1$ ของสามเหลี่ยมมุมแหลม ABC หาค่า $B_2\hat{A_1}C_2+ C_2\hat{B_1}A_2+ A_2\hat{C_1}B_2$

129. นักเรียน n คนแต่ละคนเป็นสมาชิกชมรม $\geq k$ ชมรม และทุกชมรมมีสมาชิกอย่างน้อย 1 คน ถ้า 2 ชมรมใดๆมีสมาชิกร่วมกันอย่างมาก 1 คน พิสูจน์ว่ามี $ \geq k$ ชมรม ที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากัน

130. พิสูจน์ว่าไม่มี nonzero reals a,b ที่ทำให้ทุก n > 3 มีพหุนาม $P_n(x)= x^n+\dots +ax^2+bx+1 $ ซึ่งมีรากเป็นจำนวนจริง n ราก

131. $ f,g,h :R \rightarrow R$ โดย $ f(g(0)) = g(f(0))= h(f(0)) = 0 $ และ $ f(x+g(y)) = g(h(f(x)) +y \,\ \, ,\forall x,y \in R $ พิสูจน์ h,f เป็นฟังก์ชันเดียวกันและ g สอดคล้องกับเงื่อนไขสมการโคชี

132. a,b,c เป็นจำนวนเต็ม พิสูจน์ $ (a+b+c)^2 | \sum_{cyc} (a-b)(a^2+b^2-c^2)c^2 $

133. คน 2n+1 คน ทุกๆ n คนจะมีบางคนในอีก n+1 คนที่เหลือซึ่งรู้จัก n คนเหล่านี้ พิสูจน์ว่ามีคนที่รู้จักคนอื่นครบทุกคน

134. สส. ประเทศหนึ่งมี 300 คน แต่ละคนเคยชกหน้า สส.คนอื่นมาแล้ว แต่ชก1 คนเท่านั้น พิสูจน์ว่ามีกลุ่มย่อย 100 คนที่แต่ละคนไม่เคยชก สส.ในกลุ่มย่อยนี้เลย (พิสูจน์ด้วยว่าถ้าเปลี่ยน 100 เป็น 101 อาจไม่จริง)

135. จัตุรัสขนาด 2009x2009 ถูกแบ่งเป็นช่องย่อยขนาด 1x1 โดยมีจัตุรัสขนาด 1489x1489 (ซึ่งแบ่งเป็นช่องย่อยแบบเดียวกัน) แนบในเป็นรูปข้าวหลามตัด โดย 4 มุมนอกสุดทับจุดมุมจัตุรัสย่อยของรูปใหญ่ หาจำนวนจุดมุมจัตุรัสย่อยของรูปในกับรูปนอกที่ทับกันพอดี (Hint : 1489 เป็นจำนวนเฉพาะ)

136. x,y เป็นจำนวนนับ โดย $ 2\leq x,y \leq 30000 $ พิสูจน์ว่า มีจำนวนนับ n ซึ่ง $ x^{2^n} + y^{2^n}$ ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ

137. หาจำนวนสับเซต $ B\subset \{1,2,…,2005 \}$ โดยผลรวมสมาชิกใน B $ \equiv 2010 \pmod{2048}$

138. (A) x,y,z,a,b,c > 0 พิสูจน์ $ \frac{x^3}{a^2} + \frac{y^3}{b^2} +\frac{z^3}{c^2} \geq \frac{(x+y+z)^3}{(a+b+c)^2}$
(B) P เป็นจุดภายในสามเหลี่ยม ABC โดย $ d_a, d_b, d_c$ เป็นระยะจาก P ไปยังด้านสามเหลี่ยม พิสูจน์ $ \sum d_ah^2_a \geq ( \sum d_a)^3 $

139. (ข้อนี้คล้ายข้อ 98 แต่ง่ายกว่าเยอะ) a,b,c > 0 พิสูจน์ $$ 4 \,\, \leq \,\, \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}} + \,\, \frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$$

140. หาลำดับเลขคณิตทั้งหมดที่ผลรวม n เทอมแรกเป็น perfect square ทุกจำนวนนับ n
----------------------------------------------------------------------------

[passer-by]

141. $ S_1,S_2,?,S_k \subset\{ 1,2,?,4n\} $ โดยแต่ละ subset มีสมาชิก 2n ตัว และ $ S_i \cap S_j$ มีสมาชิกอย่างมาก n ตัว (ทุก i ที่ต่างจาก j ) พิสูจน์ว่า $ k \leq 6^{\frac{n+1}{2}}$

142. สามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม เส้นตรง S สัมผัส (ABC) ที่ B โดยมี K เป็นจุดปลายเส้นตั้งฉากจาก H ไป S ถ้าให้ L เป็นจุดกึ่งกลาง AC พิสูจน์ว่าสามเหลี่ยม BKL เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

143. สามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม มี AK เป็นส่วนสูง ถ้า KOH เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลมและ P เป็น circumcenter ของ (KOH) , Q เป็นจุดสมมาตรของ P เทียบกับ OH พิสูจน์ว่า Q อยู่บนเส้นที่เชื่อมจุดกึ่งกลางด้าน AB,AC

144. หาผลรวมรากจินตภาพของสมการ $ x^{10}-10x+9 =0 $

145. $ A=\{2^n-3 | n \in N\}$ พิสูจน์ว่ามี subset ของ A ที่เป็นเซตอนันต์ที่สมาชิก 2 ตัวใดๆเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์

146. $ A=\{ k^{k-1} | k \in N \,\, , 1 \leq k \leq p \} $ หาจำนวนเฉพาะ p ทั้งหมดที่ทำให้ A เป็นระบบส่วนตกค้างบริบูรณ์ modulo p ( complete residue system modulo p)

147. $ A_k =\{ i^k | i \in N \,\, , 1 \leq i \leq p \} $ โดย k เป็นจำนวนนับ >1 และ p เป็นจำนวนเฉพาะคี่ โดย (k,p-1) =1 พิสูจน์ว่า A เป็นระบบส่วนตกค้างบริบูรณ์ modulo p ( complete residue system modulo p) (Note: lemma ข้อนี้ เอาไปประยุกต์ใช้ในโจทย์อื่นๆได้)

148. รูปหลายเหลี่ยมนูน (convex polygon) มี 1415 ด้านและมีเส้นรอบรูป 2001 หน่วย พิสูจน์ว่ามีสามเหลี่ยมที่มีจุดมุมของรูปหลายเหลี่ยมเป็นจุดยอด และมีพื้นที่ น้อยกว่า 1 ตารางหน่วย

149. กำหนดจำนวนเฉพาะ p พิสูจน์ว่า มีจำนวนนับ n ซึ่ง $ p^n $ มี 0 ติดกัน 2553 ตัว

150. วงกลม I แนบในสามเหลี่ยมมุมแหลม ABC สัมผัส AB, BC,CA ที่ F,D,E ตามลำดับ ลากส่วนสูง AK และให้ P เป็นจุดบน AK ที่ทำให้ AP เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางวงกลม Mที่สัมผัสภายนอกวงกลม I และตัด AB,AC ที่ X,Y ตามลำดับ ถ้า AE =15 , XY = 8 และรัศมีวงกลม M เท่ากับ 5 หาขนาด BC

151. ข้อสอบ 4 ข้อ แต่ละข้อมี 3 ตัวเลือก สำหรับผู้เข้าสอบ 3 คนใดๆ จะต้องมีโจทย์อย่างน้อย 1 ข้อที่ผู้เข้าสอบทั้งสาม ตอบครบ 3 ตัวเลือก หาจำนวนมากสุดของผู้เข้าสอบ

152. สามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลมที่ไม่ใช่สามเหลี่ยมหน้าจั่ว เส้นแบ่งครึ่งมุม BAC ตัด (ABC) ที่ D , E,F เป็นจุดสมมาตรของ D เทียบกับ BC และ O ตามลำดับ ,AE ตัด FH ที่ L และ M เป็นจุดกึ่งกลางของ BC พิสูจน์ LM ตั้งฉากกับ AF

153. หาจำนวนนับ x,y,z ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ $ (x+y)(1+xy) = 2^z $

154. พิสูจน์ว่ามีพหุนามดีกรี $d$ ซึ่ง เมื่อ composite กัน $n$ ครั้ง (สำหรับจำนวนนับ n ใดๆ) จะมีรากเป็นจำนวนจริงต่างกัน $d^n$ ราก

155. หาจำนวนนับ x,y ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ $(x+y)^x = x^y$

156. S(n) แทนผลบวกแต่ละหลักของ $2^n$ หาจำนวนนับ n ทั้งหมดที่ทำให้ $ S(n+1) -S(n) =1$

157. กำหนด $a_0=1 , b_0=0=c_0$ และ $ a_n = a_{n-1}+ \frac{c_{n-1}}{n} \,\, , b_n = b_{n-1}+ \frac{a_{n-1}}{n} \,\, , c_n =c_{n-1}+ \frac{b_{n-1}}{n} $
นิยาม $ d_n = (a_n-b_n)^2 +(b_n-c_n)^2 +(c_n-a_n)^2 $ พิสูจน์ว่า $ d_n < \frac{6}{n} \,\, ,\forall n \geq 1$

158. AB เป็นคอร์ดของวงกลมที่ไม่ใช่เส้นผ่านศูนย์กลาง คอร์ด $A_1B_1$ ตัดคอร์ด $A_2B_2$ ที่จุดกึ่งกลาง P บน AB ถ้าเส้นสัมผัสวงกลมที่ $A_1,B_1$ ตัดกันที่ $C_1$ และเนสัมผัสวงกลมที่ $A_2,B_2$ ตัดกันที่ $C_2$ , C เป็นจุดตัดของ $ AC_1$ และ $BC_2$ พิสูจน์ว่าสามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ก็ต่อเมื่อ สามเหลี่ยม $CC_1C_2$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

159. กำหนด $ A= \{ 1,2,..,7\} $ และทุกสับเซตที่มีสมาชิก 3 ตัวจะถูกระบายสี โดยมีกฎอยู่ว่า 2 subsets ที่ไม่มีสมาชิกร่วมกัน จะระบายสีต่างกัน หาว่าต้องใช้สีน้อยสุดกี่สีในการระบาย

160. ให้ f เป็นฟังก์ชันค่าจริง ที่หาอนุพันธ์อันดับ 1 ได้บน $ (a,\infty) $ สำหรับบางจำนวนจริง a และ $\lim_{x \to \infty} f(x) $ หาค่าได้และไม่เป็น $ \pm \infty$ ,จำเป็นหรือไม่ที่ $\lim_{x\to \infty} f?(x) $ หาค่าได้ และถ้าหาค่าได้ จำเป็นต้องเป็น 0 หรือไม่

161. P เป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง และ $ P(\sin^2 x) = P(\cos^2 x - 2) \,\, , \forall x \in R$ พิสูจน์ว่ามีพหุนาม Q โดยทุกจำนวนจริง x , $ P(x) = Q(x^2+x) $

162. กำหนด n เป็นจำนวนนับที่มากกว่า 12 และจุด $ P_1,P_2,..,P_n , Q$ พิสูจน์ว่ามีจุด $P_i$ และระยะ $P_iP_j$ (โดย j ต่างจาก i) อย่างน้อย $\frac{n}{6}-1$ ระยะ ที่น้อยกว่า $QP_i$

163. พิสูจน์ว่ามีจำนวนนับ n ที่ทำให้ $ | \sin n| < (\frac{1}{2})^{20} $

164. หาจำนวนฟังก์ชัน f จาก {1,2,3,4,5} ไปยัง {1,2,3,4,5} โดย $ f(f(x)) =x \,\, , \forall x =1,2,3,4,5$

165. สามเหลี่ยม ABC มี M, N เป็นจุดกึ่งกลาง AC,AB ตามลำดับ D,E เป็นจุดบน AC,AB โดย D อยู่ระหว่าง M,C และ E อยู่ระหว่าง A,N (AMN) ตัด (ADE) ที่ P $( \neq A)$ ต่อ AP พบ BC ที่ Q พิสูจน์ว่า $ \frac{BQ}{QC} \cdot \frac{MD}{NE}$ ไม่ขึ้นกับตำแหน่ง D,E

166. a,b,c >0 พิสูจน์ $$ \sum_{cyc} \,\,\sqrt[3]{\frac{a^2+bc}{b^2+c^2}} \geq \,\,\frac{9\sqrt[3]{abc}}{a+b+c}$$

167. (A) กำหนด m เป็นจำนวนนับที่มากกว่า 1 พิสูจน์ว่ามีจำนวนนับ r โดย (r,m)=1 และ $ i_1 < i_2 <?$ ซึ่ง $2^{i_k}-1 \equiv r \pmod{m}$
(B) ให้ $v_2(n)$ แทนเลขชี้กำลังของ 2 ในการกระจาย n! พิสูจน์ว่า สำหรับจำนวนนับ a,m ใดๆ จะมี n >1 ซึ่ง $ v_2(n) \equiv a \pmod{m}$

168. จำนวนนับ m >1 โดย $ n| a^m-1 $ ทุก a ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n พิสูจน์ว่า $ n \leq 4m(2^m-1)$

169. สามเหลี่ยม ABC พิสูจน์ $$ (h_a+h_b+h_c) ? 9r \geq \,\, 2s\cdot \sqrt{ \frac{2r}{R}} - 6r \sqrt{3} $$ เมื่อ s = (a+b+c)/2

170. วงกลม 2 วงตัดกันที่ D,P AB เป็นเส้นสัมผัสร่วมที่ใกล้ D ,ลาก AD พบวงกลมอีกวงที่ C และให้ M เป็นจุดกึ่งกลาง BC พิสูจน์ว่า $D\hat{P}M = B\hat{D}C $
------------------------------------------------------------------
ที่เหลือ เอาไว้ กลาง มิถุนายน จะมา ทยอย post นะครับ (ตอนนี้ ความขี้เกียจเริ่มครอบงำ ) คาดว่าจะมีโจทย์ advance geometry ในสัดส่วนที่มากขึ้น หลังจากนี้ครับ

[กิตติ]

ตื่นเช้ามากเลยครับคุณpasser-by.....ยกนิ้วให้ครับ กระทู้นี้คงยาวมากๆๆ

[-SIL-]

ผมพูดไม่ค่อยเก่ง แต่ขอขอบคุณมากครับ และดีใจที่ประเทศไทยมีคนอย่างพี่อยู่