ใครรู้ว่าเก่ง เลข เข้า มา

[คุณชายน้อย]

ไหน ๆ ก็ไหน ๆ ขอแจมโจทย์ง่าย ๆ ซัก 2 ข้อ ลองทำฝึกลับสมองดูนะครับ
จงหา $S_n$ ของอนุกรม
1. $\frac{1}{1} +\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+... = ?$ (โจทย์กำหนดมาให้ 4 พจน์แรกนะครับ)
2. 1+(2+3+4)+(5+6+7+8+9)+(10+11+12+13+14+15+16)+... = ? (โจทย์กำหนดมาให้ 4 พจน์แรกนะครับ)

[Marskoto]

น่าลองดีนี่ครับ
1. $S_n = \frac{12}{2n^{2}+3n+1}+\frac{4}{n+1}$
2. $S_n = \frac{1}{12}\left(\,2n^{3}+6n^{2}+4n\right)$

ถ้าผิดพลาดประการใดขอคำชี้แนะด้วยครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Marskoto

น่าลองดีนี่ครับ
1. $S_n = \frac{12}{2n^{2}+3n+1}+\frac{4}{n+1}$
2. $S_n = \frac{1}{12}\left(\,2n^{3}+6n^{2}+4n\right)$

ถ้าผิดพลาดประการใดขอคำชี้แนะด้วยครับ

ผิดทั้ง 2 ข้อเลยครับ
ข้อ 1. รู้สึกว่าเคยเป็นข้อสอบ A-NET ถ้าจำไม่ผิดนะครับ ให้ใช้ telescoping ช่วยด้วยครับ
ข้อ 2. สังเกตดีๆ ครับ จะได้ว่า
$s_1 = 1$ มี 1พจน์
$s_2 = 1+2+3+4 =10$ มี 4 พจน์ คือ $2^2$
$s_3 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9 =45$ มี 9 พจน์ คือ $3^2$
$s_4 = 1+2+3+...+16 =136$ มี 16 พจน์ คือ $4^2$
...
$s_n =1+2+3+...+n^2 =....$ มันก็คือผลบวกตั้งแต่ ...ถึง... ดังนั้นคำตอบก็คือ...

[Marskoto]

อ่าครับ คิดยังไงครับ ช่วยทำให้ดูทีครับ

[t.B.]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Marskoto

อ่าครับ คิดยังไงครับ ช่วยทำให้ดูทีครับ

ข้อ1 ลองหา $a_n$ แล้ว take zigma สิครับ
ข้อ2 คิดว่าที่คุณหยินหยางแนะไว้ก็ัชัดมากแล้ว
ลองคิดดูเองก่อนครับ หรือแสดงวิธีคิดมาก็ได้ครับ จะได้ช่วยกันดูว่าทำตรงไหน หาอะไรผิดมันจะดีกว่าไหมครับ

[Marskoto]

1.$a_n = \frac{1}{1+2+3+...+n}$
=$\sum_{i = 1}^{n}a_n$
=$\sum_{i = 1}^{n}\frac{1}{1+2+3+...+n}$
=$\sum_{i = 1}^{n}\frac{1}{\frac{i}{2}\left(\,i+1\right)}$
=$\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{2(i^{2}+i)}$
=$\frac{1}{2}\sum_{i = 1}^{n}\frac{1}{(i^{2}}+\sum_{i = 1}^{n}\frac{1}{i}$
=$\frac{1}{2}\left(\,\frac{1}{\frac{n}{6}(2n+1)(n+1)}+\frac{1}{\frac{n}{2}(n+1)}\right)$
=$\frac{1}{2}\left(\,\frac{1}{\frac{2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}+\frac{1}{\frac{n^{2}+n}{2}}\right)$
$S_n=\frac{1}{\frac{2n^{3}+6n^{2}+4n}{6} }$

ได้อย่างนี้ ถูกต้องหรือปล่าวครับ

[Marskoto]

กลับไปนั่งคิดมาหลายชั่วโมงเหมือนกันครับ เปิดๆหนังสือไปก็พอนึกได้อย่างนี้ เลยลองทำ ไม่รู้ว่าถูกหรือปล่าวนะครับ ถ้าผิดก็ขอคำชี้แนะที่ถูกต้องด้วยนะครับ

1+(2+3+4)+(5+6+7+8+9)+(10+11+12+13+14+15+16+17)+....
ผมก็ลองดูว่า พจน์แรกมี 1 พจน์ที่ 2 มี 3
ก็ได้ พจน์สุดท้าย คือ 2n-1 แต่ก็รู้สึกว่าซับซ้อนมากครับ ก็ลองทำต่อเล่นๆครับ
$ S_nพจน์ =\sum_{i = 1}^{n}a_nพจน์$
=$\sum_{i = 1}^{n}2i-1$
=$2\sum_{i = 1}^{n}i-\sum_{i = 1}^{n}1$
=$2(\frac{n}{2}(n+1))-n$
$S_nพจน์=n^{2}$
ก็ทำต่อเลยสิครับ
$S_n=\sum_{i = 1}^{n}i^{2}$
$=\frac{n}{6}(2n+1)(n+1)$
$S_n =\frac{1}{6}(2n^{3}+3n^{2}+n)$

[t.B.]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Marskoto

1.$a_n = \frac{1}{1+2+3+...+n}$
=$\sum_{i = 1}^{n}a_n$
=$\sum_{i = 1}^{n}\frac{1}{1+2+3+...+n}$
=$\sum_{i = 1}^{n}\frac{1}{\frac{i}{2}\left(\,i+1\right)}$
=$\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{2(i^{2}+i)}$
=$\frac{1}{2}\sum_{i = 1}^{n}\frac{1}{(i^{2}}+\sum_{i = 1}^{n}\frac{1}{i}$
=$\frac{1}{2}\left(\,\frac{1}{\frac{n}{6}(2n+1)(n+1)}+\frac{1}{\frac{n}{2}(n+1)}\right)$
=$\frac{1}{2}\left(\,\frac{1}{\frac{2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}+\frac{1}{\frac{n^{2}+n}{2}}\right)$
$S_n=\frac{1}{\frac{2n^{3}+6n^{2}+4n}{6} }$

ได้อย่างนี้ ถูกต้องหรือปล่าวครับ

ข้อแรก.เริ่มผิดตั้งแต่บรรทัดแรกที่ีสีแดง ทำให้ผิดต่อกันยาวจนจบครับ ซิกม่ากระจายเข้ามาในผลคูณไม่ได้นะครับ
ต้องใช้เทคนิคเทเลสโกปิค(Telescopic) เพื่อทำให้ผลคูณเป็นผลต่าง
ก็คือ $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} -\frac{1}{n+1} $ จากนั้นค่อยกระจายซิกม่าเข้ามาได้ครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Marskoto

1+(2+3+4)+(5+6+7+8+9)+(10+11+12+13+14+15+16+17)+....
ผมก็ลองดูว่า พจน์แรกมี 1 พจน์ที่ 2 มี 3
ก็ได้ พจน์สุดท้าย คือ 2n-1 แต่ก็รู้สึกว่าซับซ้อนมากครับ ก็ลองทำต่อเล่นๆครับ

ไปกันใหญ่แล้วครับ ต้องทำความเข้าใจใหม่ $a_n$ หมายถึงค่า a ในลำดับใดๆพจน์ที่ n ไม่ได้หมายถึง จำนวนพจน์ ใน $a_n$ ว่ามีกี่พจน์ นะครับ

[Marskoto]

อ๋อครับ ขอบคุณมากนะครับ
ต่ออันที่ผิดนะครับ
=$\frac{1}{2}\sum_{i = 1}^{n}\frac{1}{i}-\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{i+1}$
=$\frac{1}{2}\left(\,\frac{n}{\frac{n}{2}(n+1)}-\frac{n}{\frac{n}{2}(n+1)+n } \right)$
=$\frac{1}{2}\left(\,\frac{1}{\frac{n+1}{2}}-\frac{1}{\frac{3n+1}{2} } \right)$
=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{3n+1}$
=$\frac{2n}{(n+1)(3n+1)}$
=$\frac{2n}{3n^{2}+4n+1}$

ส่วนข้อ 2 ทำตามคุณหยินหยางใบ้ให้ครับ
$S_n = \sum_{i = 1}^{n}i^{2}$
$=\frac{n}{6}(2n+1)(n+1)$
$=\frac{n}{6}(2n^{2}+3n+1)$
$=\frac{2n^{3}+3n^{2}+n}{6}$

ใช้หรือปล่าวครับ แต่ได้คำตอบเหมือนที่ผมเคยคิดไว้อ่ะครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Marskoto

อ๋อครับ ขอบคุณมากนะครับ
ต่ออันที่ผิดนะครับ
=$\frac{1}{2}\sum_{i = 1}^{n}\frac{1}{i}-\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{i+1}$
=$\frac{1}{2}\left(\,\frac{n}{\frac{n}{2}(n+1)}-\frac{n}{\frac{n}{2}(n+1)+n } \right)$
=$\frac{1}{2}\left(\,\frac{1}{\frac{n+1}{2}}-\frac{1}{\frac{3n+1}{2} } \right)$
=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{3n+1}$
=$\frac{2n}{(n+1)(3n+1)}$
=$\frac{2n}{3n^{2}+4n+1}$

ส่วนข้อ 2 ทำตามคุณหยินหยางใบ้ให้ครับ
$S_n = \sum_{i = 1}^{n}i^{2}$
$=\frac{n}{6}(2n+1)(n+1)$
$=\frac{n}{6}(2n^{2}+3n+1)$
$=\frac{2n^{3}+3n^{2}+n}{6}$

ใช้หรือปล่าวครับ แต่ได้คำตอบเหมือนที่ผมเคยคิดไว้อ่ะครับ

ผิดเหมือนเดิมครับ แต่ไม่เป็นไรครับ ผมไม่ได้อธิบายละเอียดก็เพราะว่าอยากให้ทำได้โดยการ hint ก่อน งั้นผมขอเริ่มอธิบายแบบกระดาษทรายเบอร์ 0 ก็แล้วกัน
ข้อ1 . ผิดตั้งแต่แรกเลยครับ ขอเริ่มว่าจากโจทย์เราจะพบว่าพจน์ที่ $a_n=\frac{1}{\frac{i(i+1)}{2} } = {\frac{2}{i(i+1)} }$ จากตรงนี้เราจะสังเกตได้ว่าพจน์ที่ว่าสามารถแยกได้เป็น $2( \frac{1}{i} - \frac{1}{i+1} )$
ต่อจากนี้เราก็จะใช้หลักการของ telescoping คือการเขียนผลบวกที่กำหนดให้อยู่ในรูปแบบที่ขยายแล้วพจน์ตัดกันจนเหลือไม่กี่พจน์ ลองดูตัวอย่างนี้
$a_1 = 2( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} )$ เมื่อ $i =1$
$a_2 = 2( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} )$ เมื่อ $i =2$
$a_3 = 2( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} )$ เมื่อ $i =3$
...
$a_n = 2( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} )$ เมื่อ $i =n$
โจทย์ถาม $S_n$ ก็คือเอา $a_1+a_2+a_3+...+a_n$ ซึ่งเห็นว่าพจน์จะมีการตัดกันเหลือเพียง $2( \frac{1}{1} - \frac{1}{n+1} ) = \frac{2n}{n+1}$
บรรทัดข้างล่างเขียนให้ดูชัดๆอีกที
$2[(\frac{1}{1} - \frac{1}{2})+ ( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} )+...+( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} )]$ วิธีการนี้แหละเรียกว่าใช้หลักการของ telescoping
ส่วนข้อ 2 ผมว่าผมอธิบายละเอียดแล้วนะ ลองกลับไปดูอีกครั้ง ต้องเข้าใจซะก่อนว่าโจทย์เค้าอุตส่าห์เขียนไว้เพื่อให้คนทำสังเกตได้ง่าย ถ้าเปลี่ยนใหม่ให้ยากขึ้นโจทย์จะกำหนดอย่างนี้ครับ
ลำดับชุดหนึ่งเป็นดังนี้ คือ $1,9,35,91,... .$ ให้หา $S_n$
คนทำต้องสังเกตเองครับว่า
$a_1 = 1$
$a_2 = 2+3+4 =9$
$a_3 = 5+6+7+8+9 =35$
....
$a_n = ......$
หลังจากนี้ไปดูข้อความของผมต่อนะครับ และถ้าเข้าใจการหาผลบวกของลำดับเลขคณิต จาก 1 ถึง n ละก็ไม่น่ามีปัญหาครับเพราะเปลี่ยนจากถึง $n$ มาเป็น $n^2$

[[SIL]]

1. อยากให้คิดว่า $1+2+3+...+n = \frac{n(n+1)}{2}$

[[SIL]]

ข้อ 2 ผมลองใช้วิธีหาพจน์แรกของตัวที่ n และพจน์สุดท้ายของตัวที่ n เอาครับแล้วยัดซิกมาเข้าไป ถ้าคำตอบถูกนะครับ

ได้ออกมาหน้าตาไม่ดีเลยครับ

$\frac{n}{2}(n+1)(n^2-n+2)-n$ ลองแทน1,2,3 แล้วโอเคครับ

[Marskoto]

งั้นข้อ 1. มันก็ได้$a_n = \frac{1}{\frac{n}{2}(n+1)}$ใช่หรือปล่าวครับ
ข้อ 2. ผมลองใช้วิธีโบราณอ่ะครับ
$a+b+c = 1$
$4a+2b+c = 9$
$9a+3b+c =35$
ได้$a_n = 9n^{2}+11n+3$
แล้ว take Sigma ต่อครับ
ได้คำตอบ $3n^{3}-n^{2}-n$

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ hmm

คือผมจะสอบเลขเอเน็ทอะอยากทำให้ได้ ซัก70(อาจจะแอบฝัน) ใครเก่งๆบอกหน่อยดิคับว่าพวกนาย ทำโจทย์เยอะขนาดไหน อะคือปานกลางไม่เก่งอะ ขอเคล็ดหน่อยนะครับท่านทำโจทย์เยอะมั้ยแล้ววิธีการทำโจทย์ของท่านเป้นไง(เช่น ทำไปเรื่อยข้อที่ไมได้(พยามคิดเท่าไรก็ไม่ได้)ค่อยมาดูเฉลยหรือมีวิธียังไงครับ)

ผมชอบใจตรงที่คุณ ลูกชิ้น บอกว่า "บางคนต้องใช้สมองคิด บางคนใช้ใส้ติ่งคิดก็ออก...ครับ (อาจารย์ท่านนึงบอกมา)"

และที่คุณ หยินหยาง บอกว่า "ต้องถามตัวเองก่อนว่าตอนนี้เราอยู่ตรงไหน จะได้รู้ว่าต้องทำอีกเท่าไร ดังนั้นลองหยิบข้อสอบเก่าแล้้วจับเวลาดูว่าได้คะแนนเท่าไร เอา 2 ปีหลังก่อนเลยครับ พอทำเสร็จก็มาดูว่าข้อที่ผิด ผิดเพราะอะไร หาสาเหตุให้เจอ เช่นคำนวณผิดหรือ ไม่รู้เรื่องเลย เป็นต้น เพราะแต่ละปัญหาก็จะแก้ไม่เหมือนกัน ส่วนข้อที่ถูกก็ดูด้วยครับว่าที่ถูกนะฟลุคหรือเปล่า แนวทางที่เฉลยกับของเราคิดแตกต่างกันหรือไม่เพราะเหตุใด อันนี้ช่วยได้เยอะเหมือนกันในเรื่องของเทคนิคหรือการประยุกต์ใช้ในการทำข้อสอบ เมื่อเรารู้ว่าตอนนี้อยู่ตรงไหนแล้วก็จะได้แก้ได้ถูก อย่างน้อยๆ ตอนนี้เรื่องทุกเรื่องในชั้น ม.4-6 ต้องรู้เรื่องและเข้าใจเป็นอย่างดีแล้วครับเพราะเท่าที่ดูข้อสอบจะเน้นเชิงวิเคราะห์และทักษะกระบวนการคิดทางคณิตศาสตร์ซึ่งต้องอาศัยปร ะสบการณ์ในการทำโจทย์พอสมควร เวลาที่หลือต่อนี้ไปคงเน้นการทำโจทย์เป็นหลักแต่ถ้ายังต้องมาทำความเข้าใจกับเรื่องที่เรียนไปแล้วละก็ เหนื่อยครับเป้า 70 ไม่ง่ายครับ เอาใจช่วยครับ
ผมรู้จัก พนักงานขายตรงสินค้ายี่ห้อหนึ่ง เขามีคติประจำใจคือ ฝันให้ไกลไปให้ถึง และทุกวันนี้เขาก็ประสบความสำเร็จครับเพราะเขาใช้ความฝันเป็นแรงผลักดันครับ"

ก่อนอื่น เราต้องรู้จักความสามารถของตนเองในปัจจุบันก่อน แล้วปรับปรุงโดยการ ฝึกทำข้อสอบเก่าๆ แบบว่า ทำให้มาก ทำให้ชำนาญ วิเคราะห์ผลที่ได้พร้อมปรับลดข้อบกพร่อง โดยเน้นเฉพาะบางเรื่องที่จำเป็นจริงๆ(เพราะมีเวลาน้อย) และการเป้า 70 ต้องวางแผนเรื่องเวลา+บทเรียนให้ดี สมัยผมเรียน มีเพื่อนบางคนไม่ยอมทำในบางข้อ เพราะกลัวเสียเวลาจนเกินไป(เวลามีจำกัด) มีสาเหตุต่างๆเช่น ยากเกิน, ยาวเกินไป, ได้คำตอบไม่ตรง, งง เป็นต้น

แต่ถ้าต้องการได้คะแนน 90-100 ก็ต้องเน้นทั้งหมด และต้องเร็วพอที่จะทำเสร็จทันเวลา โดยมีเทคนิคหลากหลายขึ้น
โดยโจทย์ 1 ข้อต้องคิดทั้ง Forward และ Backward เพื่อตรวจสอบคำตอบทุกข้อ

ตอนผมสอบ Ent' มีเพียงชุดเดียว 50 ข้อ 3ชั่วโมง - ผมมั่วไป 2 ข้อเพราะไม่ได้อ่านโจทย์(แบบว่าโจทย์มันยาวมากๆ)
ผมชดเชยด้วยการไปเน้นที่การฝนเลขประจำตัวสอบ และฝนคำตอบให้ชัดเจนถูกต้อง ถูกข้อ(เช็คทุกๆ 7-10 ข้อ)
เพราะบางครั้งเราอาจจะข้ามบางข้อไปก่อนจึงมีโอกาสที่จะฝนผิดข้อได้(ต้องระวัง) -- ข้อที่ทำได้จะต้องมีคะแนน
ถ้าทำได้เกือบทุกวิชารับรองEnt' ติดแน่ๆ แล้วแต่ว่าจะเลือกคณะอะไร