ช่วยโจทย์วิชา Number Theory หน่อยค่ะ

[Jespata_ninin]

คือติดตรงขั้นอุปนัย อ่ะคะ มองไม่ออกเลย ช่วยแนะนำด้วยคะ ขอบคุณค่ะ

จงพิสูจน์ว่า $n^4-4n^2$ หารลงตัวด้วย 3 สำหรับทุกค่า $n\geqslant 2$
โดยใช้หลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

[FranceZii Siriseth]

จำนวนทุกจำนวนที่มากกว่า $2$ สามารถเขียนในรูป $3k,3k+1,3k+2$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Jespata_ninin

คือติดตรงขั้นอุปนัย อ่ะคะ มองไม่ออกเลย ช่วยแนะนำด้วยคะ ขอบคุณค่ะ

จงพิสูจน์ว่า $n^4-4n^2$ หารลงตัวด้วย 3 สำหรับทุกค่า $n\geqslant 2$
โดยใช้หลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

เป็นอุปนัยที่มีอุปนัยซ้อนอยู่อีกชั้นหนึ่งครับ

ในขั้นอุปนัยลองกระจาย $(n+1)^4 - 4(n+1)^2$ จะได้

$(n^4-4n^2) + 4(n^3-n) + 3(2n^2-1)$

ซึ่งจะได้ข้อสรุปที่ต้องการถ้ารู้ว่า $n^3-n$ หารด้วย $3$ ลงตัว

ส่วนนี้ต้องทำอุปนัยอีกรอบหนึ่งครับ แต่จะง่ายกว่า

[ohmohm]

ขอต่อนะครับ

$(n+1)^3-(n+1) $
$= (n+1)((n+1)^2 -1)$
$= (n+1)((n^2+2n+1)-1)$
$= n^3 + 2n^2 + n^2 + 2n$
$= 3n^2 + (n^3 - n) + 3n$