a,b,c 3 ตัวแปร

[nut123]

$a+b+c=a^2+b^2+c^2
ทั้งสามเป็นจริงบวก
จงแสดงว่า
(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2\leqslant ab+bc+ca$

[nooonuii]

ขอบคุณสำำหรับโจทย์สวยๆครับ ขออนุญาตจดใส่ death note

จับเงื่อนไขโจทย์มายกกำลังสองทั้งสองข้าง

จะได้ว่าอสมการสมมูลกับ

$a^4+b^4+c^4\geq a^2+b^2+c^2$

จากนั้นก็ Holder เลยครับ

[nut123]

เช็กอสมการสมมูลทำอย่างนี้เองรึครับแต่
อสมการมันสมมูลกับ
$a^2+b^2+c^2<,=a^4+b^4+c^4$ หรือเปล่าวครับ
คือผมเอามาจาก weird inequality black lecture อ่ะครับ
แล้วอาจารย์หาโจทย์ inequality+solution จากไหนหรือครับ
คือตอนนี้หนังสือที่ผมมีก็แค่
1.hojoo 161
2.old and new ine:1
3.หนังสือเยอรมันของ คุณกิตติเคยแจกน่ะครับเล่มหน้าปกเขียวๆ
4.secret in inequality (เล่มนี้ผมว่าโจทย์ดีแต่วิธีถึกมากประมาณว่ามันไม่ใช่แนวของไทยเลยอ่ะข้อที่คุณ Rose joker เฉลยในนี้นใช้วิธีถึกมากอ่ะครับผิดกับของที่คุณ rose ที่เน้น idea เป็นหลักอ่ะครับ)

ตอนนี้ผมอ่าน secret อยู่แต่ผมทำไม่ได้เลยอ่ะครับแต่ผมก็ทำไม่ได้อ่ะครับผมอยากจะเก่งอสมการกว่านี้แต่ไม่รู้จะมีวิธีฝึกฝนอย่างไรและหาข้อมูลอ่านจากไหน ที่ตรงที่สุดน่ะครับ
รบกวนอาจารย์ช่วยแนะนำแนวทางหน่อยได้ไหมครับ
ขอบคุณล่วงหน้าครับ

[nooonuii]

โจทย์พวกนี้ ส่วนใหญ่ผมชอบคิดเองมากกว่าครับ

เผอิญว่าผมไม่มีข้อจำกัดเรื่องของเวลาจึงคิดไปได้เรื่อยๆำไม่รีบ

ออกบ้าง ไม่ออกบ้างก็ไม่เป็นไร แต่สำหรับคนที่กำลังเตรียมตัวเข้าค่ายคงมีเวลาจำกัด

ต้องพยายามสกัดเอาเทคนิคมาให้ได้จากโจทย์หลายๆประเภท

ผมว่าถ้าจะให้ตรงที่สุดคงต้องเดาใจอาจารย์ผู้สอนว่าอาจารย์มีหนังสือเล่มไหนอยู่ในมือครับ

ซึ่งผมเองก็ไม่รู้ว่าในค่ายเขาเรียนอะไรกันบ้าง คงให้คำแนะนำไม่ได้ในส่วนนี้

ถามคนที่มีประสบการณ์มาก่อนน่าจะได้ครับ

ลองหาหนังสือพวกนี้มาอ่านดูครับ

1. Olympiad Inequalities by Thomas Mildorf

2. Problem Solving Strategies by Arthur Engel

3. A < B by Kiran Kedlaya

4. Equations and Inequalities by Jiri Herman, Radan Kucera, Jaromir Simsa

5. The IMO Compendium

6. Mathematical Maniatures by Titu Andreescu, Svetoslav Savchev

7. Basics of Olympiad Inequalities by Samin Riast

8. Inequalities: A mathematical Olympiad Approach by Radmila Bulajich Manfrino, et al

9. The Cauchy- Schwarz master Classs by J. Michael Steele

----------------------------------------------------------------------------------------

โจทย์ข้อนี้ผมก็เห็นแว้บๆว่ามาจาก Warm up problem set นะครับ

ผมเรียนรู้เทคนิคของข้อนี้มาจาก Secrets in Inequalities

จริงๆแล้วผมชอบเล่มนี้มากเพราะให้แนวคิดดีๆหลายอย่างที่ผมยังไม่มี

แต่โจทย์บางข้อก็ยากเกินไปจริงๆนั่นแหละครับ ผมก็พยายามสกัดเอามาเฉพาะส่วนที่ผมเข้าถึงได้เท่านั้น

แปะเฉลยไว้ให้สำหรับคนที่อยากรู้วิธีคิดครับ

Solution:

เนื่องจาก $2(ab+bc+ca-a^2b^2-b^2c^2-c^2a^2)=a^4+b^4+c^4-a^2-b^2-c^2$

อสมการสมมูลกับ $a^4+b^4+c^4\geq a^2+b^2+c^2$

จาก Holder's inequality จะได้

$(a^4+b^4+c^4)(a+b+c)(a+b+c)\geq (a^2+b^2+c^2)^3$

บรรทัดเดียวจบ

[nut123]

ผมมีทุกเล่มอยู่แล้วครับ
ผมคงพยายามไม่มากพอ
เองครับ

[nooonuii]

ถ้ามีทุกเล่มแล้วก็เหลือแค่ลุยอย่างเดียวครับ

ถ้ามีเวลาพออยากให้ลองคิดเยอะๆครับ

ไม่ต้องพึ่งเฉลยในตอนแรก จนเมื่อไม่รู้ทางไปแล้วถึงค่อยดู

ตอนนี้ผมไม่เน้นทำโจทย์จากหนังสือแล้ว สร้างขึ้นมาเองเลย

เพราะมีความรู้สึกว่าโจทย์อสมการ ทางใครก็ทางมัน

ถ้าเราเดินไปถูกทางที่คนคิดโจทย์เขาวางไว้ก็ออก ถ้าเดินไม่ถูกทางก็ตัน

ถ้าใครได้ลองสร้างโจทย์ด้วยตัวเองแล้วจะรู้ว่า

การสร้างโจทย์สวยๆขึ้นมาซักข้อนั้นยากกว่าแก้โจทย์ของคนอื่นเสียอีก

[~ArT_Ty~]

พอมีลิงก์ให้ดาวน์โหลดมั้ยครับ

[nooonuii]

มีหลายเล่มที่สามารถใส่ google แล้วขึ้นมาเลยครับ

ลองหาดู ถ้าอันไหนยังไม่ได้ส่ง pm มาครับ